2020-2021學年人教A版數(shù)學選修2-2學案：2 . 3 數(shù)學歸納法

2.3數(shù)學歸納法

內容標準學科素養(yǎng)

提升數(shù)學運算

1.了解數(shù)學歸納法的原理；

增強邏輯推理

2.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題.

拓深直觀想象

01謠前自主預習@------------------------------------------------------掌握基本知識.注重基礎訓練

授課提示：對應學生用書第44頁

I基礎認識I

知識點

預習教材P92-95,思考并完成以下問題

1.對于一個與正整數(shù)有關的等式"（“一1）（〃-2）…50）=0.試驗證當〃=1,n—2,???,

〃=50時等式成立嗎？

提示：成立.

2.能否通過以上等式歸納出當”=51時等式也成立？為什么？

提示：不能，上面的等式只對"取1到50的正整數(shù)成立.

知識梳理（1）數(shù)學歸納法的定義

一般地，證明一個與正整數(shù)"有關的命題,可按下列步驟進行：

①（歸納奠基）證明當〃取第一個值”o（〃oWN*）時命題成立；

②（歸納遞推）假設當〃=k（k，〃o,ACN"）時命題成立，證明當u=k+l時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)”都成立.這種證明方

法叫做數(shù)學歸納法.

（2）數(shù)學歸納法的框圖表示

驗證〃=如時若"=鼠左二小）時命題成立,

命題成立證明時命題也成立

歸納奠基歸納遞推

s---------------7----------------

命題對從小開始所有的正整數(shù)n都成立

思考：1.數(shù)學歸納法中兩個步驟的作用及關系是怎樣的？

提示：步驟①是命題論證的基礎，步驟②是判斷命題的正確性能否遞推下去的保證.這

兩個步驟缺一不可，如果只有步驟①缺少步躲②，則無法判斷〃=%伏＞〃0）時命題是否成立；

如果只有步躲②缺少步驟①這個基礎，假設就失去了成立的前提，步躲②就沒有意義了.

2.試體會數(shù)學歸納法與歸納推理的區(qū)別與聯(lián)系.

提示：區(qū)別：歸納推理是一種推理方法，作用是提出猜想，但是不能確定猜想是否正確：

數(shù)學歸納法是一種演繹推理，它將一個無窮歸納過程轉化為一個有限步驟的證明過程.

聯(lián)系：與正整數(shù)有關的命題，一般需要先由歸納推理得出猜想，再用數(shù)學歸納法證明猜

想是正確的；用數(shù)學歸納法證明命題時，兩個步驟缺一不可，且步驟(2)中必須用到歸納假設.

［自我檢測］

1一戶+2

1.用數(shù)學歸納法證明“1+〃+〃2+…+於計1=1--(0^1)”.在驗證〃=1時，左端

1—a

計算所得項為()

A.1+aB.1+a+a2

C.1+?+a2+a3D.1+a+/+“3+/

1一4"+2

解析：等式“1+“+/+—+。2，，+1=-^］(。#1)”左端和式中。的次數(shù)由0次依次遞

增.當〃=后時，最高次數(shù)為Qk+1)次，用數(shù)學歸納法證明，在臉證”=1時，左端的計算所

得項為l+a+^+a3.

答案：C

2.用數(shù)學歸納法證明1+2+2?+…+2"r=2"-l(〃GN*)的過程如下：

(1)當”=1時，左邊=1,右邊=21一1=1,等式成立.

(2)假設當〃=MkGN*)時等式成立,即1+2+2?+…+2-|=2*—1,則當〃=hH時，i

1—2t+l

+2+22+…+2-1+2*=下一1=2內|-1.所以當”=4+1時，等式也成立.由此可知對于任

何“GN’,等式都成立.

上述證明，錯誤是.

解析：本題中第二步假設〃=k時等式成立，證明〃=4+1成立時，應用了等比數(shù)列的求

和公式，而未用假設條件，這與數(shù)學歸納的要求不符.

答案：未用歸納假設

02踝堂合作探究@------------------------------------------------------洞悉學習方向，把脈核心問題

授課提示：對應學生用書第44頁

探究一用數(shù)學歸納法證明等式

［例1］用數(shù)學歸納法證明：1X4+2X7+3X102-----〃(3"+1)=〃(〃+1)2(其中“GN").

［證明］⑴當”=1時，左邊=1義4=4,右邊=1X22=4,左邊=右邊，等式成立.

(2)假設當〃=&(kGN*)時等式成立，即1X4+2X7+3X10H---H(3&+1)=%伏+1產(chǎn)

那么當n=k+l時,1X4+2X7+3X++…+-34+1)+(Z+1)［3也+1)+1］="&+1)2+

(k+l)[3(k+l)+l]=(k+l)(F+4k+4)=(%+l)K%+l)+l]2,即當n=k+\時等式也成立.

根據(jù)(1)和(2),可知等式對任何〃GN*都成立.

方法技巧用數(shù)學歸納法證明恒等式時，一是弄清"取第一個值“°時等式兩端項的情況;

二是弄清從"=%到〃=%+1等式兩端增加了哪些項，減少了哪些項；三是證明〃=4+1時結

論也成立，要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系，并朝"=A+1證明目標的表達式變形.

跟蹤探究L求證：T+2+…+壯7與=*+出+…+如GN)

證明：(1)當”=1時，左邊=1—3=:,

右邊=]+]=/,左邊=右邊.

(2)假設當a=k(kNl,kGN*)時等式成立，

即1一2+Q—4+…+日一元=申+用+…+9，

_1,1,1,1

~k+2k+32Z+12(k+l)，

即當”=A+1時，等式也成立.

綜合(1),(2)可知，對一切“GN*,等式成立.

探究二用數(shù)學歸納法證明不等式

1115

求

例

證+>K22

21+2石b

〃〃￡N*).

+1

111157

------

34566

0-

故左邊〉右邊，不等式成立.

(2)假設當〃=火仗》2,kGN*)時，命題成立,

11±5

即+>-

J%+2弘6

K+1

則當n=k+\時，

1?1,±,

伏+1)+1(k+1)+23%十3A+13k+23伙+1)

—&+1+k+2++3k+(34+1+34+2+3*+3&+1)>6

13A+23k+3k+\f

法一：（分析法）

5

-

6

即3A+1+3A+2+3&+3-

只需證(3A+2)(3Z+3)+(3k+l)(3k+3)+(3k+l)(3k+2)-3(3k+l)(3k+2)20,

只需證(9F+15&+6)+(9F+12&+3)+(9F+9X+2)—(27必+27A+6))0,

只需證9k+520,顯然成立.

所以當n=k+1時，不等式也成立.

法二：(放縮法)

(*)式>(3X——看)+|4

所以當n=k+1時，不等式也成立.

由(1)(2)可知，原不等式對一切〃22,均成立.

延伸探究把本例改為求證士+士+士+…士>*〃6").

證明：(1)當”=1時，左邊=3>號，不等式成立.

(2)假設當"=k(k2l,AGN*)時，不等式成立，

即用'+定+申+"TH>24,

則當〃=%+i時，出+士+…+1+Jn+壯？

攵十2%十3Zk2Z十12Z+2

-L-L.-L-+...+±+-l-->—^>H_i__!------L

=k+]+k+2+k+32r2k+\+2k+2k+\24十+2A+1十+2氏+2k+1'

2k+l2k+2k+1

2(k+1)+(2k+1)—2(2k+1)

=2(A+1)(2&+1)

=——1——>0

2伏+1)(2%+1)'

,麟+lk+2k+32r2k+l2k+2k+124十2k+l2A+2k+124'

?,?當”=々+1時，不等式成立.

由(1)(2)知對于任意正整數(shù)外不等式成立.

方法技巧用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關鍵

(1)驗證第一個”的值時，要注意"0不一定為1,若”>根(機為正整數(shù))，則”0=m+1.

(2)證明不等式的第二步中，從〃=%到”=女+1的推導過程中，一定要用到歸納假設，不

應用歸納假設的證明不是數(shù)學歸納法，因為缺少歸納假設.

(3)用數(shù)學歸納法證明與〃有關的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按

要求進行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取

前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個〃值開始都成立的結論,

常用數(shù)學歸納法證明.

(4)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由"=%時成立得〃=%+1時成立，主要方法有比較

法、分析法、綜合法、放縮法等.

跟蹤探究2.用數(shù)學歸納法證明：dK<〃+l(〃GN*)

證明：①當〃=1時，左邊=小，右邊=2,小V2成立.

②假設當"=依1之1,AGN")時，結論成立，即.儲+k<Z+l成立.

則當n=k+\時，左邊=+1>+(&+1)=yjlc+k+2k+2<yl(k+l)2+2k+2=

N(k+2)2-l<k+2,

.,.n=k+1時，不等式也成立.

由①②可知，<H+1(nGN*).

探究三歸納——猜想——證明

［例3］若不等式一匕+士+-昌+…對一切正整數(shù)n都成立.

n-r1〃十2〃十33〃十124

(1)猜想正整數(shù)。的最大值；

(2)并用數(shù)學歸納法證明你的猜想.

［解析］(1)當〃=1時，Ay+W+W=1j=||,即翁〉/，所以“V26,而“是正

整數(shù)，所以猜想”的最大值為25.

(2)證明：下面用數(shù)學歸納法證明±+義+=…+丁匕>系.

n+1n+2n+33n+l24

①當n=\時，已證.

②假設當&GN*)時不等式成立，即出+士+士+…+五匕>招.

AvI1KI乙KI33K!144+

那么當〃=A+1時，

[I[I]」,1,1■I■1I1

也+1)+1伙+1)+2(&+1)+33k+l3Z+23A+33伙+1)+1

,I+T+jt+2+'"+3jl+l)+Gjl+2+3jt+3+3A+4TH')

^25______L_

24+(3A+23A+33&+4k+\

=25r一處士D一.2_]

-24干|_9廬+18Z+83(&+l)」

25J6(A+1)2

>24+|_9廬+18A+93(&+l)_

=25

=24,

即當n=k~\-1時不等式也成立.

根據(jù)①②，可知對任意"GN",都有』+工+工+…+旺7＞名.所以正整數(shù)”的

〃+1n+2〃+33〃+124

最大值為25.

方法技巧1.“歸納一猜想一證明”的一般環(huán)節(jié)

2.“歸納—猜想—證明”的主要題型

(1)已知數(shù)列的遞推公式，求通項或前〃項和.

(2)由一些恒成立的等式、不等式改編的探究性問題，及求使命題成立的參數(shù)值問題.

(3)給出一些簡單的命題(〃=1,2,3,…)，猜想并證明對任意正整數(shù)〃都成立的一般性命題.

跟蹤探究3.考察下列各式

2=2X1

3X4=4X1X3

4X5X6=8X1X3X5

5X6X7X8=16X1X3X5X7

你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？

解析：由題意得，2=2X1,3X4=4X1X3,4X5X6=8X1X3X5,5X6X7X8=

16X1X3X5X7,…，

猜想:("+1)(”+2)(〃+3)…2〃=2"-1?3?5…?(2〃-1),

下面利用數(shù)學歸納法進行證明.

(1)當?=1時，猜想顯然成立；

(2)假設當"=k(Z'l,ZCN")時，猜想成立，即(k+l)(k+2)(A+3)…2%=2人「3?5」???(2k-

1),

那么當n=k+\時，

(%+1+1)(々+1+2)(%+1+3)?…?2(&+1)

=伏+1)伙+2)?2k-(2k+l)-2

=2*-1-3-5(2k~\)(2k+\\2

=2"」35?…?(2Z+1)

=2*+1-13-5---［2(*+1)-1］

所以當”=k+l時猜想成立.

根據(jù)(1)(2)可知對任意正整數(shù)猜想均成立.

103謠后討論探究@------------------------------------------------------總結規(guī)律方法，提升核心素養(yǎng)

授課提示：對應學生用書第46頁

I課后小結］

在應用數(shù)學歸納法證題時應注意以下幾點：

(1)驗證是基礎：找準起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定是1.

(2)遞推是關鍵：正確分析由〃=%到〃=%+1時式子項數(shù)的變化是應用數(shù)學歸納法成功證

明問題的保障；

(3)利用假設是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設，這是數(shù)學歸納法的核心環(huán)節(jié)，

否則這樣的證明就不是數(shù)學歸納法證明.

［素養(yǎng)培優(yōu)］