數學蘇教版選修2-3學案1.3組合

1.3組合學習目標重點、難點1．通過實例能理解組合的概念；2．能利用計數原理推導組合數公式；3．能理解組合數的有關性質；4．能用組合數公式解決簡單的實際問題.重點：排列與組合的區(qū)分，及組合數公式．難點：排列與組合的區(qū)分，利用組合數公式解決簡單的實際問題.1．組合的概念一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．預習交流1如何區(qū)分排列問題和組合問題？提示：區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關，若交換某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題；而交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題．2．組合數從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！).預習交流2如何理解和記憶組合數公式？提示：同排列數公式相類比，在排列數公式的基礎上，分母再乘以m！.3．組合數的性質性質1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，性質2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).預習交流3如何理解和記憶組合數的性質？提示：從n個元素中取m個元素，就剩余(n－m)個元素，故Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).從n＋1個元素中取m個元素記作Ceq\o\al(m,n＋1)，可認為分作兩類：第一類為含有某元素a的取法為Ceq\o\al(m－1,n)；第二類不含有此元素a，則為Ceq\o\al(m,n)，由分類計數原理知：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).在預習中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關注？請在下列表格中做個備忘吧！我的學困點我的學疑點一、組合問題判斷下列問題是組合問題，還是排列問題．①設集合A＝{a，b，c，d}，則集合A的含3個元素的子集有多少個？②一個班中有52人，任兩個人握一次手，共握多少次手？③4人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？思路分析：交換兩個元素的順序，看結果是否有影響，如無影響則是組合問題．解：①因為集合中取出的元素具有“無序性”，故這是組合問題；②因為兩人握手是相互的，沒有順序之分，故這是組合問題；③因為5種工作是不同的，一種分工方法就是從5種不同的工作中選出4種，按一定的順序分配給4個人，它與順序有關，故這是排列問題．下列問題中，是組合問題的有__________．①從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成一件工作，有多少種不同的選法；②從a，b，c，d四名學生中選2名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法；③a，b，c，d四支足球隊進行單循環(huán)賽，共需多少場比賽；④a，b，c，d四支足球隊爭奪冠亞軍，有多少種不同的結果．答案：①③解析：①2名學生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題；②2名學生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題；③單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題；④冠亞軍是有順序的，是排列問題．組合問題與順序無關，而排列問題與順序有關．二、組合數公式及組合數的性質(1)計算Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)已知Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，求n；(3)化簡Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＋1.思路分析：先把組合數利用性質化簡或利用組合數性質直接求解．解：(1)Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2)＋200＝5150.(2)由Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，知3n＋6＝4n－2或3n＋6＋(4n－2)＝18，解得n＝8或2.而3n＋6≤18且4n－2≤18，即n≤4且n∈N*，∴n＝2.(3)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＋1＝1＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＝Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＝Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＝Ceq\o\al(5,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(4,8)＝Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(4,8)＝Ceq\o\al(5,9)＝Ceq\o\al(4,9)＝eq\f(9×8×7×6,4×3×2×1)＝126.(1)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝__________；(2)(Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(97,100))÷Aeq\o\al(3,101)＝__________.答案：(1)329(2)eq\f(1,6)解析：(1)原式＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)－1＝…＝Ceq\o\al(4,10)＋Ceq\o\al(3,10)－1＝Ceq\o\al(4,11)－1＝329.(2)原式＝Ceq\o\al(98,101)÷Aeq\o\al(3,101)＝Ceq\o\al(3,101)÷Aeq\o\al(3,101)＝eq\f(A\o\al(3,101),3！)÷Aeq\o\al(3,101)＝eq\f(1,6).利用組合數的性質解題時，要抓住公式的結構特征，應用時，可結合題目的特點，靈活運用公式變形，達到解題的目的．三、組合知識的實際應用現有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)現要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？思路分析：由于選出的教師不需要考慮順序，因此是組合問題．第(1)小題選2名教師不考慮男女，實質上是從10個不同的元素中取出2個的組合問題，可用直接法求解．第(2)小題必須選男、女教師各2名，才算完成所做的事，因此需要分兩步進行，先從6名男教師中選2名，再從4名女教師中選2名．解：(1)從10名教師中選2名參加會議的選法數，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45種．(2)從6名男教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,6)，從4名女教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,4)種，根據分步乘法計數原理，因此共有不同的選法Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(6×5,2×1)·eq\f(4×3,2×1)＝90種．某小組共有10名學生，其中女生3名，現選舉2名代表，至少有1名女生當選的不同選法有多少種？解：方法一：(直接法)至少1名女生當選可分為兩類：第一類：1名女生1名男生當選代表，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,7)種方法，第二類：2名女生當選代表，有Ceq\o\al(2,3)種方法．由分類加法計數原理，至少有1名女生當選的不同選法有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(2,3)＝21＋3＝24種．方法二：(間接法)10名學生中選2名代表有Ceq\o\al(2,10)種選法，若2名代表全是男生有Ceq\o\al(2,7)種選法，所以至少有1名女生當選代表的選法有Ceq\o\al(2,10)－Ceq\o\al(2,7)＝24種．利用組合知識解決實際問題要注意：①將已知條件中的元素的特征搞清，是用直接法還是間接法；②要使用分類方法，要做到不重不漏；③當問題的反面比較簡單時，常用間接法解決．1．給出下面幾個問題，其中是組合問題的有__________．①某班選10名學生參加拔河比賽；②由1,2,3,4選出兩個數，構成平面向量a的坐標；③由1,2,3,4選出兩個數分別作為雙曲線的實軸和虛軸，焦點在x軸上的雙曲線方程數；④從正方體8個頂點中任取兩個點構成的線段條數是多少？答案：①④解析：由組合的概念知①④是組合問題，與順序無關，而②③是排列問題，與順序有關．2．Ceq\o\al(97,98)＋2Ceq\o\al(96,98)＋Ceq\o\al(95,98)＝__________.答案：161700解析：原式＝Ceq\o\al(97,98)＋Ceq\o\al(96,98)＋Ceq\o\al(96,98)＋Ceq\o\al(95,98)＝Ceq\o\al(97,99)＋Ceq\o\al(96,99)＝Ceq\o\al(97,100)＝Ceq\o\al(3,100)＝161700.3．平面上有12個點，其中沒有3個點在一條直線上，也沒有4個點共圓，過這幾個點中的每三個點作圓，共可作__________個圓．答案：220解析：由題意知，可作Ceq\o\al(3,12)＝eq\f(12×11×10,3×2×1)＝220個不同的圓．4．解方程：Ceq\o\al(x,17)－Ceq\o\al(x,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16).解：∵Ceq\o\al(x,17)＝Ceq\o\al(x,16)＋Ceq\o\al(x－1,16)，∴Ceq\o\al(x,17)－Ceq\o\al(x,16)＝Ceq\o\al(x－1,16)，∴Ceq\o\al(x－1,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16).由組合數的性質得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，解得x＝－3(舍)或x＝5.∴x＝5.5．平面內有10個點，其中