初二奧數(shù)之配方法

2020年春季數(shù)學(xué)競賽初二奧數(shù)之配方法專題25配方法閱讀與思考把一個式子或一個式子的部分寫成完全平方式或者幾個完全平方式的和的形式，這種方法叫配方法，配方法是代數(shù)變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧.配方法的作用在于改變式子的原有結(jié)構(gòu)，是變形求解的一種手段；配方法的實質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，是挖掘隱含條件的有力工具.配方法解題的關(guān)鍵在于“配方”，恰當(dāng)?shù)摹安稹迸c“添”是配方常用的技巧，常見的等式有：1、a2士2ab+b2=(a土b)22、a土2%；ab+b=(%a±b))23、a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)24、a2+b2+c2一ab-bc-ac=—[(a-b)2+(b-c)2+(a一c)2]2配方法在代數(shù)式的求值，解方程、求最值等方面有較廣泛的應(yīng)用，運用配方解題的關(guān)鍵在于：(1)具有較強的配方意識，即由題設(shè)條件的平方特征或隱含的平方關(guān)系，如a=(\；a)2能聯(lián)想起配方法.(2)具有整體把握題設(shè)條件的能力，即善于將某項拆開又重新分配組合，得到完全平方式.例題與求解【例1】已知實數(shù)X，j，z滿足x+y=5,z2=町+y-9，那么x+2y+3z=TOC\o"1-5"\h\z(“祖沖之杯”邀請賽試題 )解題思路：對題設(shè)條件實施變形，設(shè)法確定x，y的值.【例2】若實數(shù)a，b，c滿足a2+b2+c2=9，則代數(shù)式(a一b)2+(b-c)2+(c一a)2的最大值是( )\o"CurrentDocument"A、27 B、18 C、15 D、12(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 )解題思路：運用乘法公式，將原式變形為含常數(shù)項及完全平方式的形式.配方法的實質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性，而非負(fù)數(shù)有以下重要性質(zhì)；非負(fù)數(shù)的最小值為零；有限個非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個非負(fù)數(shù)都為零.【例3】已知a+b一2、：a-1-4cb-2=3、c一3一—c一5， 求a+b+c的值.解題思路：題設(shè)條件是一個含三個未知量的等式，三個未知量，一個等式，怎樣才能確定未知量的值呢？不妨用配方法試一試.復(fù)合根式的化簡，含多元的根式等式問題，常常用到配方法.【例4】證明數(shù)列49,4489,444889,44448889,…的每一項都是一個完全平方數(shù).解題思路：49=72,4489=672,444889=6672,44448889=66672 ,由此可猜想TOC\o"1-5"\h\z444…488…89=(6666+1)2，只需完成從左邊到右邊的推導(dǎo)過程即可.n+1 n???' 幾個有趣的結(jié)論—v―'⑴444488889=(6666+1)2n+1 n n(2)111…1555,,56=(333**3+1)2X V , V ' X V 'n+1 n n這表明：只出現(xiàn)1個奇數(shù)或只出現(xiàn)1個偶數(shù)的完全平方數(shù)分別有無限多個.【例5】一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層,它一次最多容納32人,而且只能在第2層至第33層中某一層停一次,對于每個人來說,他往下走一層樓梯感到1分不滿意,往上走一層樓梯感到3分不滿意,現(xiàn)在有32個人在第一層,并且他們分別住在第2至第33層的每一層,問：電梯停在哪一層時,可以使得這32個人不滿意的總分達到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓)．(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 )解題思路：通過引元,把不滿意的總分用相關(guān)字母的代數(shù)式表示,解題的關(guān)鍵是對這個代數(shù)式進行恰當(dāng)?shù)呐浞?進而求出代數(shù)式的最小值.把代數(shù)式通過湊配等手段,得到完全平方式,再運用完全平方式是非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)達到增加問題條件的目的,這種解題方法叫配方法.配方法的作用在于改變代數(shù)式的原有結(jié)構(gòu),是變形求解的一種手段；配方法的實質(zhì)在于揭示式子的非負(fù)性,是挖掘隱含條件的有力工具.【例6】已知自然數(shù)n使得n2-19n+91為完全平方數(shù)，求n的值.（“希望杯”邀請賽試題 ）解題思路：原式中n的系數(shù)為奇數(shù)，不能直接配方，可想辦法化奇為偶，解決問題.能力訓(xùn)練1、計算710+873+272=.（“希望杯”邀請賽試題 ）2、已矢口a2+b2+c2—2（a+b+c）+3=0，貝|a3+b3+c3-3abc=.y23、X，y為實數(shù)，且X2+^-+4<孫+2y，則X+y的值為.4、當(dāng)x>2時，化簡代數(shù)式\/x+24X-1+4X-24X-1，得.5、已知m=4X2-12xy+10y2+4y+9，當(dāng)x=,y=時，m的值最小.TOC\o"1-5"\h\z（全國通訊賽試題 ）6、若M=10a2+b2-7a+6,N=a2+b2+5a+1，則|m—N的值（ ）A、負(fù)數(shù) B、正數(shù) C、非負(fù)數(shù) D、可正可負(fù)7、計算;14+6<5-《14-6<5的值為（ ）A、1 B、V5 C、2"5 D、3f5（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 ）兀 兀 兀8、設(shè)a,b,c為實數(shù)，x=a2-2b+—,y=b2-2c+—,z=c2-2a+—，則x,y,z中至少有一個值362（ ）A、大于零B、等于零C、不大于零 D、小于零（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 ）9、下列代數(shù)式表示的數(shù)一定不是某個自然數(shù)的平方（其中n為自然數(shù)）的是（ ）A、3n2-3n+3 b、4n2+4n+4 c、5n2-5n+5D、D、7n2-7n+7E、11n2-11n+11TOC\o"1-5"\h\z10、已知實數(shù)a,b,c滿足a2+2b=7,b2—2c=—1,c2—6a=—17，則a+b+c的值等于( )A、2 B、3 C、4 D、5(河北省競賽試題 )解“存在”、“不存在”“至少存在一個”等形式的問題時，常從整體考慮并經(jīng)常用到一下重要命題：設(shè)%1，%2，%3，…xn為實數(shù).⑴若x?x??x=0則x,x,%，…X中至少有(或存在)一個為零；12 n 123n(2)若x+x++x>0，則x，x，x，…x中至少有(或存在)一個大于零；1 2 n 123 n(3)若x+x+…+x<0，則x，x，x，…x中至少有(或存在)一個小于零.1 2 n 123 n2z2x= 1+z22x2(蘇州市競賽試題)11、解方程組＜y(蘇州市競賽試題)1+x2z=4I1+y212、能使2n+256是完全平方數(shù)的正整數(shù)n的值為多少？TOC\o"1-5"\h\z(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 )13、已知a>b，且(a+b)+(a+ab-b)+a=243，a，b為自然數(shù)，求a，b的值.b(天津市競賽試題 )13、設(shè)a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且9(2a+b)2=509(4a+511b)，求a，b的值.(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題 )14、某賓館經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每周該賓館入住的房間數(shù)y與房間單價x之間存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.(1)根據(jù)圖象求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(0<x<160)；(2)從經(jīng)濟效益來看，你認(rèn)為該賓館如何制定房間單價，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？專□25口方法例提示：x=5-y代入 ，然后配方例2A提示：原式二例3a+b+c=20提示：將等式整理，得即例4原式=+1==0+ +1=4+8 +1=4即例4原式=+1==0+ +1=4+8 +1=4X11n+111X9X1111+1+8X11I n+1 )11+1=36x(11n+1(11》+12x1111+1=6x1111+11 n+1 I n+1n+1例各事知，送&個人恰好是第2至第33層各住1人，對于每個乘電梯上、的人，他所住的層數(shù)一定不小于直接上樓的人所住的層數(shù)，事實上，設(shè)住S層的人乘電梯，而住t層的人直接上樓，S<t，交換兩人的上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分減少.設(shè)電梯停在第x層，在第一層有y人沒有乘電梯而直接上樓，那么不滿意總分為:S=3[1+2++(33—x)]+3(1+2++y)+[1+2++(x—y—2)]3x(33-X)(34-x) +23y(y+1)(x-3x(33-X)(34-x) +2 1 22=2X2-(y+102)X+2y2+3y+1684=2x—〈5y2-180y+3068=2x—〈5y2-180y+3068(=2x—

ky+102124,+316>316又當(dāng)x=27，y=6時，S=316.最小值故當(dāng)電梯停在第27層時，總分最小，最小值為316分.例6若n2-19n+91為完全平方數(shù)，則4*-19n+91）也是完全平方數(shù).設(shè)4(n2-19n+91)=m2(m為自然數(shù))配方得(2n-19)2+3=m2，:?(m+2n-19)(m-2n+19)=3于是1m+2n-19=3或1m+2n-19=1 解得：[m=2或Im-2n+19=1 Im-2n+19=3 In=10m=2n=10故當(dāng)n=9或10時n2-19n+91是完全平方數(shù).能力訓(xùn)練1. 4+22 2.0 3.6 4.2v7^T 5.-3，-2,56.B7.C8.A提示：x+y+z=(a-1)2+(b-1)2+(c一11+兀一3大于0.9.B提示：取n=2和3可否定A、C、D、E,而4n2+4n+4=4(n2+n+1),n2<n2+n+1<9.B提示：取n=2和3可否定故n2+n+1不是完全平方數(shù). 10.B. (x,y,z)=(0,0,0)或(1,1,1) 提示：取倒數(shù).(,一).提示：當(dāng)n<8時，'f'1—b2=01+a2—b2,若它是完全平方數(shù)，則n必為偶數(shù).a2-b2=m若n=2，貝U2n+256=*x65；若n=4，貝U2n+256=2x17；若n=6，貝U2n+256=%x5；若n=8，則U2n+256=28x2.所以當(dāng)n<8時，2n+256都不是完全平方數(shù).當(dāng)n>8時，2n+256=28(2n—8+1),若它是完全平方數(shù)，則2n—8+1為一奇數(shù)的平方，設(shè)2n—8+1=(2k+1)2(k為自然數(shù))，則2n-10+1=k(k+1)，由于k和k+1一奇一偶，??.k=1,于是2n-10=2，故n=11.13.提示：設(shè)a=kb(k為正整數(shù))，則k(b+1)2=243=27x32=3x92，解得［"=54或［"=24Ib=2Ib=814.由9(2a+b?=5092x32k2,得至1」2a+b=509k,b=509k-2a,代入原式得4a+511(509k-2a)=509x32k2,k(k(511—9k)a= 2 ，因為a為質(zhì)數(shù)，故有以下情況:— 511-9⑴當(dāng)k=1時，a==251,為質(zhì)數(shù)，b=509k-2a=7.2⑵當(dāng)k=2時，a=511-18=493=17x29,