江蘇省專(zhuān)轉(zhuǎn)本統(tǒng)一考試高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料總綱(簡(jiǎn)略版)

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提綱極限（一）極限七大題型題型一（）要求:A:達(dá)到口算水平；B:過(guò)程即“除大”。題型二0結(jié)果：將a帶入分子=00結(jié)果：將a帶入分子=0=0“=0“0/0型”用洛比達(dá)法則繼續(xù)計(jì)算求值將a帶入分母00直接帶入a求出結(jié)果就是要求的值題型三（進(jìn)入考場(chǎng)的主要戰(zhàn)場(chǎng)）注：應(yīng)首先識(shí)別類(lèi)型是否為為“”型！公式：口訣：得1得+得內(nèi)框，內(nèi)框一翻就是。（三步曲）題型四：等價(jià)無(wú)窮小替換（特別注意：）（1）A:同階無(wú)窮?。?；B:等價(jià)無(wú)窮?。?；C:高階無(wú)窮?。?注意：（2）常用等價(jià)替換公式：147**2536特別補(bǔ)充：（3）等價(jià)替換的的性質(zhì)：1）自反性：2）對(duì)稱(chēng)性：3）傳遞性：（4）替換原則：A:非0常數(shù)乘除可以直接帶入計(jì)算；B:乘除可換，加減忌換（5）另外經(jīng)常使用：進(jìn)行等價(jià)替換題型五有界：（）識(shí)別不存在但有界的函數(shù)：題型六：洛必達(dá)法則（極限題型六），見(jiàn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：洛必達(dá)法則題型七：洛必達(dá)法則（極限題型七），定積分，見(jiàn)上限變限積分題型三&題型四的綜合（二）極限的應(yīng)用1、單側(cè)極限（1）極限存在條件左左右右（2）極限的連續(xù)性（3）間斷點(diǎn)及分類(lèi)（★難點(diǎn)）把握兩個(gè)問(wèn)題：第一，如何找間斷點(diǎn)；第二，間斷點(diǎn)分類(lèi)（難）。A:間斷點(diǎn)：定義域不能取值的內(nèi)點(diǎn)B:間斷點(diǎn)分類(lèi)Ⅰ類(lèi)可去Ⅱ類(lèi)Ⅰ類(lèi)跳躍A,Ⅰ類(lèi)可去,Ⅱ類(lèi)不存在，不能分類(lèi)，求左右極限導(dǎo)數(shù)（堅(jiān)守的陣地）導(dǎo)數(shù)定義定義一1、“陡”、“平”的形象敘述;2、;3、;4、.拓展：注意：1）分段點(diǎn)求導(dǎo)，永遠(yuǎn)用定義！2）有連續(xù)性條件時(shí)可直接帶入定義二導(dǎo)數(shù)常用公式17234586導(dǎo)數(shù)運(yùn)算1、乘法運(yùn)算：九字訣號(hào)變號(hào)則用則層間乘2、除法運(yùn)算：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（核心內(nèi)容★★★）層次分析（如右“九字訣”,由外向內(nèi)，“遇則則止”）所謂的“則”是＋、-、×、÷2、幾點(diǎn)性質(zhì)：（1）公式，推廣為：（2）形如：利用公式等價(jià)替換（3）奇偶性:①②高階導(dǎo)數(shù)1324微分基本知識(shí)注意求的時(shí)候要加“”.參數(shù)方程求導(dǎo)（考試重點(diǎn)）參數(shù)方程、隱函數(shù)、變限積分、變限二重積分標(biāo)準(zhǔn)形式：t為中間變量標(biāo)準(zhǔn)形式：t為中間變量公式：符號(hào)型求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)（必考）題目一般形式是:對(duì)數(shù)法求導(dǎo)巧用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，變形式子導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用切線與法線切線斜率就是在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值法線斜率×切線斜率=-1；洛必達(dá)法則（極限題型六）（★）注意：等價(jià)無(wú)窮小，乘除可換，加減忌換洛必達(dá)法則可重復(fù)使用注意：等價(jià)無(wú)窮小，乘除可換，加減忌換洛必達(dá)法則可重復(fù)使用條件：1.條件：1.；2.后有則前有函數(shù)的單調(diào)性與極值、凹凸性、拐點(diǎn)1）“峰”——極大值；“谷”——極小值；單調(diào)性與極值求解A：?jiǎn)握{(diào)性：B：?jiǎn)握{(diào)性交界點(diǎn)→極值點(diǎn)（判據(jù)）C:極值點(diǎn)可疑點(diǎn)（）D:漸近線2）函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn)A：B:凹凸性交界點(diǎn)且能取值→拐點(diǎn)C：拐點(diǎn)可疑點(diǎn)一般求解步驟：求定義域、漸近線；計(jì)算；求的點(diǎn)和使不存在的點(diǎn)，設(shè)為；列表分析；得出結(jié)論.函數(shù)最大值、最小值比較：1）；2）端點(diǎn)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用步驟：（1）合理做設(shè)，具有唯一性； （2）；（關(guān)鍵點(diǎn)所在）（3）令；（4）“八字”，唯一駐點(diǎn)，即為所求。多元微分學(xué)（20+）顯函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)“求即變”“求即變”：求哪個(gè)，哪個(gè)就是變量全微分一元函數(shù)： 此時(shí)，二元函數(shù)：此時(shí)，(高)二階偏導(dǎo)數(shù)主要是求，分別定義為：一定條件下，即連續(xù)時(shí)：一定條件下，即連續(xù)時(shí)：二元隱函數(shù)求導(dǎo)一階：二階直接求：符號(hào)型求導(dǎo)（必考）1．2.(重點(diǎn)★)會(huì)畫(huà)關(guān)系圖九字訣先找路路中乘路間加【例題】求框1框2框1框2解：（1）畫(huà)關(guān)系圖1√△2√△（2）“九字訣”求解不定積分★基本知識(shí)性質(zhì)：基本公式★17238456求不定積分的四大方法方法一湊常數(shù)公式：配方見(jiàn)到一元二次方程敏感的想到配方法拆分公式：利用三角函數(shù)和差化積和積化和差公式積分方法二——固定搭配公式方法三——分布積分一般分布積分公式：關(guān)鍵：是什么？三角函數(shù)三角函數(shù)高高的優(yōu)先級(jí)方向的優(yōu)先級(jí)方向特殊方程法積分法積分時(shí)，對(duì)如下積分要特別注意：等等方法四——變量替換一次項(xiàng)替換如:方法：直接令.二次項(xiàng)替換根據(jù)下表進(jìn)行相應(yīng)替換：原項(xiàng)替換原理:根據(jù)下面兩個(gè)三角變換得來(lái)的替換原理:根據(jù)下面兩個(gè)三角變換得來(lái)的1.2.定積分定積分計(jì)算1.N-L公式（牛頓-萊布尼茲公式）主要思想是利用積分方法進(jìn)行積分，然后“出來(lái)代值”計(jì)算；2.變換——變限定積分性質(zhì)1.（1）（2）2.3.更名：4.拆分：積分性質(zhì)的運(yùn)用：分段函數(shù)的定積分函絕對(duì)值積分三角函數(shù)積分（實(shí)質(zhì)是判斷三角函數(shù)符號(hào)進(jìn)行拆分積分運(yùn)算）5.若則★這一性質(zhì)十分重要，特別是見(jiàn)到對(duì)稱(chēng)限時(shí)要想到這一性質(zhì)。6.變限積分涉及到求極限七大題型的最后一種題型，即題型七（1）★記住：與沒(méi)有關(guān)系推廣：上限帶入乘上限求導(dǎo)下限帶入乘下限求導(dǎo)(2)洛必達(dá)法則（極限題型七）7廣義積分三種形式：（1）；（2）；（3）.解：定義：原式=A（有限）收斂發(fā)散定積分應(yīng)用一般出現(xiàn)在綜合題的最后一題，題型僅有兩種：第一，求面積；第二求旋轉(zhuǎn)體體積（繞）面積（1）“左右型”**（2）“上下型”*旋轉(zhuǎn)體體積（1）“坐在軸上”微元法推導(dǎo)：繞微元法推導(dǎo)：繞軸：公式1：“墩”；繞軸：公式2：“城墻”。（2）“坐在軸上”微元法推導(dǎo)：繞微元法推導(dǎo)：繞軸：公式1：“城墻”；繞軸：公式2：“墩”。二重積分累次積分公式：二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系的幾何意義：二重積分改變次序記住一些不能正序積分的函數(shù)：思路:原累次積分二重積分新累次積分極坐標(biāo)主要是圓的思想，注意畫(huà)圖，特別注意上限和下限！Jacobi因子Jacobi因子常微分方程（ODE）分離變量法標(biāo)準(zhǔn)型注意：化簡(jiǎn)之即：注意：化簡(jiǎn)之即：①-C②步驟：①變化型核心：令一階線性O(shè)DE（重點(diǎn)）1.標(biāo)準(zhǔn)型：，關(guān)鍵是找到、；一次無(wú)+號(hào)一次無(wú)+號(hào)2.常數(shù)變量法：做題步驟：注意：積分不要加C;，不要“||”注意：積分不要加C;，不要“||”符號(hào)。，計(jì)算，；帶入公式.三大題型題型1：貝努里方程（Bernoulli）→，即題型2：積分方程特定條件【例題】解：令，則原式即為：整理之：=…題型3：二階線性O(shè)DE齊次方程（）特性方程即：（補(bǔ)充：），為互異實(shí)根，，非齊次方程標(biāo)準(zhǔn)型：關(guān)鍵是讀參數(shù)：求解過(guò)程：=1）解出2)讀參數(shù).可設(shè)特解方程：AB代入3）【例題】解：①=0，即②=（）（草稿紙上做）=（草稿紙上做）將=0，解出系數(shù)③級(jí)數(shù)定義S有限收斂發(fā)散1.2.3.收斂的必要條件N第一部分判別圖N發(fā)散Y發(fā)散Y比值判別法>1發(fā)散<1收斂=1失效根式判別法>1發(fā)散<1收斂=1失效比較判別法p>1收斂P≤1發(fā)散萊布尼茲法則1.交錯(cuò)2.3.第二部分交錯(cuò)級(jí)數(shù)萊布尼茲法則發(fā)散收斂（2）絕對(duì)收斂與條件收斂的判別發(fā)散絕對(duì)收斂條件收斂注：1）2）識(shí)別過(guò)程：（3）級(jí)數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì)第三部分冪級(jí)數(shù)1.收斂域和收斂半徑級(jí)數(shù)對(duì)稱(chēng)性：1.一收朝里皆收；2.一發(fā)朝外均發(fā)。級(jí)數(shù)對(duì)稱(chēng)性：1.一收朝里皆收；2.一發(fā)朝外均發(fā)。收斂半徑：R;公式：收斂區(qū)間（收斂域）如將2.冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)1）公式1：2）公式2：；3）逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)積分注：不改變收斂區(qū)間，改變端點(diǎn)注：不改變收斂區(qū)間，改變端點(diǎn)空間解析幾何矢量運(yùn)算矢量的內(nèi)積（1）（2）內(nèi)積：(3)矢量的叉積+-+O（1）O（2）（3）平面方程1.點(diǎn)法式：例如：2.直線標(biāo)準(zhǔn)型(點(diǎn)斜式)證明題綜述（18+）介值定理（零點(diǎn)定理）定理?xiàng)l件：（1）（2）注意：1.2.1.2.解題要點(diǎn)：A：是什么？B:是什么？3.解答過(guò)程要規(guī)范，工整.羅爾定理（Roller）定理?xiàng)l件：（1）（2）（3）題型解釋?zhuān)?.一般是證明“必有一個(gè)正根或負(fù)根”解題步驟：A:利用介值定理證明根的存在性； B:利用反證法，證明根的唯一性。2.證明某表達(dá)式的零點(diǎn)在什么之間例如：（1）證明（2）證明在f(x)兩零點(diǎn)之間存在，使得對(duì)于這種題型的解答，注