2020-2021學(xué)年北京市某校高三（上）診斷性數(shù)學(xué)試卷（9月份）

2020-2021學(xué)年北京市某校高三（上）診斷性數(shù)學(xué)試卷（9月份）

一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知全集（/={-1,0,1,2,3,4},集合1,X6N},B={1,3},則U

B）=（）

A.{4}B.{2,4}C.{-1,2,4}D.{-1,0,2,4）

【答案】

C

【考點(diǎn)】

交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

*

1

2.設(shè)2=1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|等于（）

返1

A.2B,V2c,2D,2

【答案】

A

【考點(diǎn)】

復(fù)數(shù)的模

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

b

3.已知a=log248,2=|,則a+b=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】

B

【考點(diǎn)】

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

【解析】

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

【解答】

b

a=log24Q,2=|,b=log2-

則a+b=log2(48x|)=(5)

4.設(shè)n是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，已知mua,nua,則

"m/Zp,n〃/是“a〃夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】

B

【考點(diǎn)】

充分條件、必要條件、充要條件

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

7T/2兀

-a)《(2Clf）的值為

5.己知cos6則cos0

511_5

A.?BWJ?

D.-9

【答案】

B

【考點(diǎn)】

二倍角的三角函數(shù)

兩角和與差的三角函數(shù)

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

6.設(shè)P為直線3x-4y+4=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA,PB為圓C：-2/+y2=i的兩條切線,

A,B為切點(diǎn)，則四邊形4PBC面積的最小值為（）

A.V3B.2V3C.V5D.2V5

【答案】

A

【考點(diǎn)】

圓的切線方程

【解析】

由題意可得四邊形的面積等于兩個(gè)相等的直角三角形的面積，可得S=rVPC2-r2,

最小時(shí)是PC最小，即圓心到直線的距離最小，求出圓心到直線的距離即可.

【解答】

試卷第2頁(yè)，總19頁(yè)

SAPBC=2SSBC=2-\BC-PB=BC-VPC2-BC2=rVPC2-r2,

由題意可得BC=r=l,PC最小是圓心(2,0)到直線的距離d==2,

所以S>1>V4—1=V3,

7.如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)Ce平面a,點(diǎn)4,B在平面a的同一側(cè)，且|AC|=2%,

|BC|=2.若AC,BC與平面a所成的角分別為瑞，3貝必4BC面積的取值范圖是

【答案】

[V3,3]

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

正弦定理

【解析】

由題意可得4B的軌跡，得到當(dāng)AC、BC與軸(共面時(shí)，NACB取到最大值和最小值,

求得sin41cB的范圍，代入三角形面積公式得答案.

【解答】

解：???AC,BC與平面a所成的角分別為奈%且|4C|=2b，|BC|=2,

???4B分別在如圖所示的兩個(gè)不同的圓周上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)直線4C,BC與軸/在同一平面內(nèi)時(shí)，乙4cB取到最大值和最小值,

-<LACB<

63

sin^<sinz.ACB<sinp<sinzylCB<

而△4BC的面積S=\\AC\■\BC\-sinAACB=2gsin/4CB,

V3<5<3.

故答案為：[V5,3].

8.函數(shù)/'(x)=x+sin(TTX)的圖象是()

【答案】

D

【考點(diǎn)】

函數(shù)的圖象與圖象的變換

【解析】

由函數(shù)的奇偶性及特殊點(diǎn)，運(yùn)用排除法即可得到答案.

【解答】

又/1(1)=1+sin;r=l,故排除B.

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.每小題給出的選項(xiàng)中，有多

個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。

在四棱錐P-4BCD中，底面力BCD是正方形，PAL底面4BCD,PA=AB,截面BDE

與直線PC平行，與P4交于點(diǎn)E,則下列判斷正確的是()

A.E為P4的中點(diǎn)

B.PB與CD所成的角為g

試卷第4頁(yè)，總19頁(yè)

C.BDJ_平面PAC

D.三棱錐C-BDE與四棱錐P-ABCD的體積之比等于1:4

【答案】

A,C,D

【考點(diǎn)】

棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

異面直線及其所成的角

【解析】

在4中，連結(jié)4C,交B。于點(diǎn)F,連結(jié)EF,則平面PACn平面BDE=EF,推導(dǎo)出

EF//PC,由四邊形4BC。是正方形，從而AF=FC,進(jìn)而AE=EP；在B中，由

CD//AB,得4PBA（或其補(bǔ)角）為PB與CC所成角，推導(dǎo)出從而PB與CD所

成角為巴；在C中，推導(dǎo)出4CJ_8D,PA1BD,由此能證明BD_L平面PAC；在。中，

4

設(shè)AB=PA=X,則Vp_4BCD=[義AB?XP4=17?X=土％3,VC^BDE—VE^BCD=

[SABCDME=：x*=/3.由此能求出三棱錐c-BDE與四棱錐P—4BCD的

體積之比等于1:4.

【解答】

在4中，連結(jié)AC,交BD千點(diǎn)F,連結(jié)EF,則平面PACn平面BCE=EF,

???PC〃平面BDE,EFu平面BDE,PCu平面P4C,

EF//PC,

V四邊形4BC0是正方形，，AF=FC,：.AE=EP,故4正確；

在B中，CD//AB,：.Z.PBA（或其補(bǔ)角）為PB與CD所成角，

???PAJ"平面4BCD,4Bu平面ABCD,/.PALAB,

在RtAPAB中，PA=AB,：.Z.PAB=

4

PB與C。所成角為9故B錯(cuò)誤；

4

在C中，???四邊形4BCD為正方形，,AC1BD,

■：PA1平面4BCD,BCu平面ABC。，J.PA1BD,

-：PAQAC=A,：.BD1平面PAC,故C正確；

在。中，設(shè)4B=PA=x,則UPTBCD=gx482xPZ=

^C-BDE—^E-BCD=三S&BCD'=g乂|%2'=^%3-

-1?Vc-BDC-^P-ABCD=卷/弓/=i：4.故D正確.

2

X

-2~-2

已知雙曲線c：ab=l(a,b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是Fl、尸2,雙曲線C的

左、右頂點(diǎn)分別為&、點(diǎn)P是雙曲線上異于41、4的任意一點(diǎn)，直線y=k%,k

€

與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，給出下列命題，其中是真命題的有

()

2

221

A,雙曲線C與雙曲線ba(a,b>0)有相同漸近線

b2

~~2~

B.直線p4,P4斜率之積為a

々即2

CAP&F2的面積為〃tan?

D.若"％1NF1,則該雙曲線的離心率的取值范圍是［也V3+1]

【答案】

A,D

【考點(diǎn)】

雙曲線的離心率

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

f(x+10),

已知函數(shù)L若有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)x2.

X3?%4滿足方程/(%1)=/(%2)=/(%3)=/(%4)，且%1V%2<%3V工4，則以下結(jié)論一定

成立的是()

A.%1+X4=X2+%3B.%1.X3=X2.%4

C.(%1+9)3+9)=(X3-1)。4-1)D.(%1+10)-x4=(x2+10)-x3

【答案】

A,C,D

【考點(diǎn)】

試卷第6頁(yè)，總19頁(yè)

分段函數(shù)的應(yīng)用

函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

n

已知數(shù)列｛an｝滿足：的=0,cin+i=ln(8+1)-an(nGN*),前n項(xiàng)和為S“(參

考數(shù)據(jù)：In2go.693,In3yl.099),則下列選項(xiàng)正確的是()

A.｛a2n.i｝是單調(diào)遞增數(shù)列，｛。24｝是單調(diào)遞減數(shù)列

B.an+an+1<In3

C.52020<67°

D-a27t-i<a2n

【答案】

A,B,D

【考點(diǎn)】

數(shù)列的求和

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共20分.

小紅同學(xué)去超市買糖果，現(xiàn)有四種不同口味的糖果可供選擇(可以有糖果不被選擇),

單價(jià)均為一元一顆，小紅只有7元錢且要求全部花完，則不同的選購(gòu)方法共有

種.

【答案】

120

【考點(diǎn)】

排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線交拋物線于4B兩點(diǎn),若AF=2FB,則

點(diǎn)4的坐標(biāo)為.

【答案】

(2,±2&)

【考點(diǎn)】

拋物線的性質(zhì)

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

已知％,y&R,且滿足4x+y+2xy+1=0,則/+/+刀+4y的最小值是

【答案】

13

【考點(diǎn)】

直線與圓的位置關(guān)系

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

四、解答題:本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

在ZkABC中，a,b,c分別為內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊，b=2?,A+3C=n.在下列兩

個(gè)條件中任選一個(gè)，求邊a以及△4BC的面積.注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第

一個(gè)解答計(jì)分.

返

條件①cosC=3；

條件②c=3.

【答案】

A4-3C=7T,4+8+C=TI,

B—2c,

選擇條件①：

WI---V6

cosC=3,且Ce(0,sinC=v6_COSC=3,

逅返2V8

sinB=sin2c=2sinCcosC=5x3x3=3,

2爬c

bc

由正弦定理知，sinB=sinC，即7=3,c=6,

由余弦定理知，c2=a2+匕6—2ahcosC,即9=。，+12—2xax2

化簡(jiǎn)得a=7或1,

試卷第8頁(yè)，總19頁(yè)

兀

當(dāng)a=3時(shí)，有a=c=6,又B=2C4,sinC=23相矛盾；

11返

當(dāng)a=l時(shí)，AABC的面積S=22x5x2'/"^x3=J^.

選擇條件②：

b7?二5返

由正弦定理知，sinB-sinC,即2sinCcosCsinC,cosC=3,

由余弦定理知，c6=a2+b2—7abcosC,即9=。2+12—3XaX2、/Ex3,

化簡(jiǎn)得a=3或5.

下面的步驟同條件①.

【考點(diǎn)】

余弦定理

正弦定理

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

己知四棱錐P-4BC0中，底面4BC。為矩形，平面PADJ_平面4BCD,PA^PD^AD

=2,點(diǎn)E,F分別是PD,4B的中點(diǎn).

(1)求證：AE〃平面PFC；

(2)若CF與平面PCD所成角的余弦值等于半，求的長(zhǎng).

4

【答案】

證明：取PC的中點(diǎn)M,連接MF,NE,

???E,M分別為P。，PC的中點(diǎn)，

EM//DC,EM=^DC,

ABCD為矩形，.IEM//AF,EM=AF,

四邊形4FEM是平行四邊形，

AE//FM,力EC平面PFC,

又FMu平面PFC,...AE//平面PFC.

取AC的中點(diǎn)。，

PA=PD=AD=2,：.POLAD,PO=V3,

平面PAD_L平面ABC。，平面P4Dn平面4BCD=4D,

P。！平面4BCD,

以。為原點(diǎn)，。4為x軸，在平面4BCD中過(guò)。作4。的垂線為y軸，0P為z軸，建立如圖坐

標(biāo)系，

設(shè)4B=2a,則P(0,0,次),D(-l,0,0),C(-l,2a,0),F(l,a,0),

PZ)=(-l,0,-V3),Z)C=(0,2a,0),

設(shè)平面PCD的法向量蔡=(x,y,z),

piJn-PD=-x-V3z=0,取》=遮，得平面PCD的法向量￡=(71,0,-1),

(n-DC=2ax=0

FC=(-2,a,0),

設(shè)CF與平面PCD所成角為a,

【考點(diǎn)】

直線與平面所成的角

直線與平面平行

【解析】

試卷第10頁(yè)，總19頁(yè)

(1)證明平行四邊形得線線平行，由線線平行證明線面平行.

(2)取力。的中點(diǎn)。，推導(dǎo)出P。_L平面4BCD,以。為原點(diǎn)，。4為無(wú)軸，在平面4BCD中

過(guò)。作力。的垂線為y軸，0P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出力B的長(zhǎng).

【解答】

證明：取PC的中點(diǎn)M,連接MF,NE,

E,M分別為P。，PC的中點(diǎn)，

EMHDC,EM=*(：,

■：力BCD為矩形，，EM//AF,EM=AF,

四邊形AFEM是平行四邊形，

AE//FM,AE<t^PFC,

又；FMu平面PFC,AE//^PFC.

取AD的中點(diǎn)0,

PA=PD=AD=2,：.P0LAD,P0=V3,

平面PADJL平面ABCD,平面PADn平面ABC。=4。，

P。_L平面4BCD,

以。為原點(diǎn)，04為x軸，在平面ABCD中過(guò)。作4。的垂線為y軸，0P為z軸，建立如圖坐

標(biāo)系，

設(shè)AB=2a,則P(0,0,V5),￡)(-1,0,0),C(-l,2a,0),F(l,a,0),

訪=(-1,0,—75),左=(0,2a,0),

設(shè)平面PCD的法向量1=(x,y,z),

則卜-g)：—x-我z=°,?。サ闷矫鍼CO的法向量K=(遍,0,-1),

(n-DC=2ax=0

FC=(-2,a,0),

設(shè)CF與平面PCD所成角為a,

CF與平面PCD所成角的余弦值等于4,

4

1n3n（」產(chǎn)1

己知數(shù)列｛a“｝中，的=2,且a“=n-ln-l22（n>1,且nG

N*）.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛aj的前幾項(xiàng)和為Sn,求滿足2Sn-3彥+5n>0的所有正整數(shù)〃的值.

【答案】

因?yàn)閍n=n-lnT26（n>l且neN*）,

anan-631

所以n=n-1-7.（-2）"-7,

anala2ala3a7ana.i

則n=1+（2-73.2）+...+（n.n-6）

二[b（_工產(chǎn)1]

2211112f__8_s

=2-2（（-62）6+...+（-2）n-7]=2-2?2

_6

=1+（-2尸，

上式對(duì)九=1也成立，

§

故a九=7i+n（-2）n（nGN*）；

3n2-3n

2

2Sn-7n+5n>7等價(jià)為%-2>0,

3rl，-5n

數(shù)列｛2n-4｝的前n項(xiàng)和為2,

試卷第12頁(yè)，總19頁(yè)

1

令7=斯一4n+4=n?（―6）n—2n+4,

2rx2-Sn

其前n項(xiàng)和為Cn=Sn-5,

則有j=3,C2=7,C3=-8,

故C2>0,C2>6,C3<0,

工工

==

當(dāng)M23時(shí)，cnn,（—2產(chǎn)-2n+4n*[（-。嚴(yán)一1]—n+4<6,

則有Q<0,

綜上可得,不等式成立的n=l或4.

【考點(diǎn)】

數(shù)列遞推式

數(shù)列的求和

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

某購(gòu)物平臺(tái)為了吸引顧客提升銷售額，每年"雙十一"購(gòu)物節(jié)都會(huì)進(jìn)行某種商品的促銷

活動(dòng).為了預(yù)測(cè)2020年"雙十一"購(gòu)物節(jié)中該商品促銷活動(dòng)的參與人數(shù)，統(tǒng)計(jì)了最近五

年的"雙十一"購(gòu)物節(jié)參與該商品促銷活動(dòng)的人數(shù)（見表）；

年份20152016201720182019

年份編號(hào)t12345

參與人數(shù)y（百萬(wàn)人）0.50.611.41.7

（1）由收集數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合參與人數(shù)y（百萬(wàn)人）與年份

編號(hào)t之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程y=bt+a,并預(yù)

測(cè)2020年"雙十一"購(gòu)物節(jié)參與該商品促銷活動(dòng)的人數(shù)；

（2）在2020年“雙H^一"購(gòu)物節(jié)前，該購(gòu)物平臺(tái)推出訂單"秒殺"搶購(gòu)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)定每

個(gè)訂單只參加一次“秒殺"搶購(gòu)，甲、乙、丙三位同學(xué)計(jì)劃在該購(gòu)物平臺(tái)分別參加A,B,

C三個(gè)訂單的“秒殺"搶購(gòu).若甲、乙、丙參與每個(gè)訂單的"秒殺""成功概率均為p.記此

次活動(dòng)甲、乙、丙三位同學(xué)搶到的訂單總數(shù)為X.

①求X的分布列與E（X）；

②已知每個(gè)訂單由旗kN2,k€N*）件商品M組成，記甲、乙、丙三位同學(xué)搶購(gòu)的商

2_.兀

品M總數(shù)量為匕若區(qū)3k,求E(y)取最大值時(shí)的正整數(shù)k的值.

參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法公式分別為:

xy-nxy

￡ii

一2

-nx

a=y-bx;

￡tj=55,￡t-=18.8

②i=li=l.

【答案】

由題意，得t=5x(8+2+3+7+5)=3,

7

y=5x(0.8+0.6+5+1.4+5.7)=1.04,

5—

￡tiyi_5ty

2-218.8-7X3X1.04

乜-6t---

a=y-bx=3.04-0.32X3=2.08.

所以回歸直線方程為y=0.32t+0.08,

又當(dāng)t=3時(shí)，丫=0.32x6+7.08=2,

所以預(yù)測(cè)2020年雙十一參與該商品促銷活動(dòng)的人數(shù)為2百萬(wàn).

①由題意知，X的所有可能取值為3,1,2,7,

P(X=0)=(l-p)2,

P(X=1)=3P(1-p)2=7p(l-p)2,

試卷第14頁(yè)，總19頁(yè)

P(X=8)=3P2(1-p)=3p5(i-p),

P(X=3)=p8,

所以X的分布列為：

X0173

P(1-P)43p(l-p)73P2(4-p)P3

E(X)=Ox(3-p)3+1x7p(l-p)2+5x3P2(7-p)+3xp3=4p.

4.冗

3k兀7rJI

②因?yàn)閥=kX,所以E(Y)=kE(X)=3kp=3k-(3kk-k,

令t=kw(o,2],則E(y)=f(t)；

2.

因?yàn)閒'(t)=27rcos7rt-7T=87r(cos7rt—2),且nte(4,2],

21

所以當(dāng)t=ke(8,3,f(t)>2；

211

當(dāng)—ke(6,2,尸(t)<3；

211_2L

所以當(dāng)t=k=3,即卜=3時(shí)2)3-3,

所以E(Y)取最大值時(shí)正整數(shù)k的值為8.

【考點(diǎn)】

離散型隨機(jī)變量的期望與方差

求解線性回歸方程

離散型隨機(jī)變量及其分布列

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

此題暫無(wú)解答

龍匕V2V2

22--------

設(shè)橢圓c：&b=1(。>力>o)的離心率6=2,且過(guò)點(diǎn)p(i,2).設(shè)a,

B是橢圓C上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，且直線PA,PB的傾斜角互補(bǔ).

(1)求證：直線4B的斜率為定值；

（2）求APAB的面積S的最大值.

【答案】

證明：由于橢圓c的離心率62,故a=V7C,

又02=爐+。5,所以力=。

2

所以橢圓C的方程為x+2y3=Q2,

p（l,陰

又點(diǎn)2在橢圓上2=5,

2

X+y3=l

所以，橢圓方程為2

設(shè)直線PA的斜率為k（k*0）,則直線PB的斜率為一k,

y標(biāo)"=k（x-l）

則直線P4的方程為2,

代入橢圓方程可得（2k?+l）（X-3）?+（2倔+2）（x-l）=5,

,2(5+V2k)V22(k+V2k3)

"l+3k2,Ya~4l+2k5

所以

2(6-V2k)V22(-k+V2k8)

=-

xR=1-------5-yR^~-------E---

同理可知，1+5/，b8l+2kb

k_yByA2(k+&k2)-2(-k+&k4)4k企

妞-XB—XA=2(1+倔)-2(1-忘k)=4^k=T,

所以

故直線AB的斜率為定值.

V5

y=-^-x+t

設(shè)直線4B的方程為2,直線x=l和直線4B相交于點(diǎn)Q,

則Q⑵

，所以|PQ|=|t|,

V4x22.

y=-^-x+t-7-+y=1

把2代入4,

82

可得x+V2tx+t-7=0；

??,A=2t3-4(t2-2)>0,

試卷第16頁(yè)，總19頁(yè)

，xA+xB=-V2t

t2<2,由韋達(dá)定理IXR.XB=t-2,

所以（XB-X）-（X+X）_2__2

AAB-5xAxB=2t3（t1）=82tt

即2

|xB-xA|=74（2-t）；

所以吟IP13W4->A?=^t2（2-t5）_

與版