橢圓的參數(shù)方程5704

橢圓的幾何性質(zhì)(5)——橢圓的參數(shù)方程（教案）一．齊魯石化五中翟慎佳目的要求：1．了解橢圓參數(shù)方程，了解系數(shù)a、b、含義。2．進(jìn)一點(diǎn)完善對橢圓的認(rèn)識，并使學(xué)生熟悉的掌握坐標(biāo)法。3．培養(yǎng)理解能力、知識應(yīng)用能力。二．教學(xué)目標(biāo)：1．知識目標(biāo)：學(xué)習(xí)橢圓的參數(shù)方程。了解它的建立過程，理解它與普通方程的相互聯(lián)系；對橢圓有一個較全面的了解。2．能力目標(biāo)：鞏固坐標(biāo)法，能對簡單方程進(jìn)行兩種形式的互化；能運(yùn)用參數(shù)方程解決相關(guān)問題。3．德育目標(biāo)：通過對橢圓多角度、多層次的認(rèn)識，經(jīng)歷從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的上升過程，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)。三．重點(diǎn)難點(diǎn)：1．重點(diǎn)：由方程研究曲線的方法；橢圓參數(shù)方程及其應(yīng)用。2．難點(diǎn)：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)及應(yīng)用。四．教學(xué)方法：引導(dǎo)啟發(fā)，計(jì)算機(jī)輔助，講練結(jié)合。五．教學(xué)過程：（一）引言（意義）人們對事物的認(rèn)識是不斷加深、層層推進(jìn)的，對橢圓的認(rèn)識也遵循這一規(guī)律。本節(jié)課學(xué)習(xí)橢圓的參數(shù)方程及其簡單應(yīng)用，進(jìn)一步完善對橢圓認(rèn)識。（二）預(yù)備知識（復(fù)習(xí)相關(guān)）1．求曲線方程常用哪幾種方法答：直接法，待定系數(shù)法，轉(zhuǎn)換法〈代入法〉，參數(shù)法。2．舉例：含參數(shù)的方程與參數(shù)方程xt2ykxkt（參數(shù)）是參數(shù)方例如：=+1（參數(shù)）含參方程，而y4t1

程。3．直線及圓的參數(shù)方程各系數(shù)意義（三）推導(dǎo)橢圓參數(shù)方程1．提出問題（教科書例5）例題．如圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個圓。點(diǎn)B是大圓半徑OA與小圓的交點(diǎn)，過點(diǎn)A作ANO，垂足為xN，過點(diǎn)B作BMAN，垂足為M。求當(dāng)半徑OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。2．分析問題本題是由給定條件求軌跡的問題，但動點(diǎn)較多，不易把握。故采用間接法——參數(shù)法。引導(dǎo)學(xué)生閱讀題目，回答問題：（1）動點(diǎn)M是怎樣產(chǎn)生的M與A、B的坐標(biāo)有何聯(lián)系（2）如何設(shè)出恰當(dāng)參數(shù)設(shè)∠AOX=為參數(shù)較恰當(dāng)。3．解決問題（板演）解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)，是以O(shè)x為始邊，OA為終邊的正角，取為參數(shù)，那么x=ON=|OA|cos，y=NM=|OB|sin即ybsinxacos①引為點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程，為參數(shù)。4．更進(jìn)一步（板演：化普通方程）xcos分別將方程組①的兩個方程變形，得a兩式平方后相加，ysinb消去參數(shù)得方程xa2y212b2由此可知，點(diǎn)M的軌跡是橢圓，方程①是橢圓的參數(shù)方程。為參數(shù)，為離心角，常數(shù)a、b分別是橢圓長半軸和短半軸長。5．加深理解xacos（為參數(shù)），參數(shù)有明顯幾何意義。（1）橢圓參數(shù)方程ybsinMOX離心角與∠一般不同。參數(shù)方程提供了設(shè)點(diǎn)的方法。（2）橢圓參數(shù)方程與普通方程可互相轉(zhuǎn)化?！霸O(shè)參←→消參”。（3）橢圓的參數(shù)方程也可由xy1（a>b>0）三角換元直接得出，22a2b2即令xcos，ysin。雙曲線也有類似換元。b（4）可仿P95例3，將圓壓縮或拉伸的辦法求到橢圓參數(shù)方程a（四）參數(shù)方程的應(yīng)用（例題分析）3cosx例1．參數(shù)方程普通方程互化（1）（2）x2y12y5sin1628costxx2y2例2.練習(xí)：參數(shù)方程普通方程互化（1）（2）169y10sint例3．在橢圓2x8y28上求點(diǎn)P，使P到L：x-y+4=0的距離最小。分析1：（目標(biāo)函數(shù)法）設(shè)P(x,y)為橢圓上任一點(diǎn)，由x28y28得x88y，則P到L的距離d|88y2y4|22再想辦法求最值，但太繁不可取。分析2：（幾何法）把直線L平移到L與橢圓相切，1此時切點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。即設(shè)L：x-y+m=0,1xym0由，x8y282y整理得9y2-2my+m2-8=0.由△=4m2-4·9(m2-8)=0得m=±3.如圖可知m=3時最小.可計(jì)算平行線間的距離，LxL1d|43|2，此時P（-8,1）2332分析3：（參數(shù)法）設(shè)P（22cos,sin），則有d|22cossin4||3sin()4|，其中tan22222d有最小值2當(dāng)時，，22231即P（-8,1）則cossinsincos，333方法小結(jié)：（1）本題運(yùn)用參數(shù)方程比普通方程簡單（2）當(dāng)直接設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)不易求解時，可嘗試建立參數(shù)方程例4．P(x,y)為橢圓2y21上任一點(diǎn)，求2x+y的最大值。x4x4cos(是參數(shù))上一點(diǎn)P，使OP與x軸正向所成例5．設(shè)橢圓y23sin角∠POX=，求P點(diǎn)坐標(biāo)。3分析：本題容易產(chǎn)生錯誤：認(rèn)為=，代入橢圓參數(shù)方程3x=2,y=3，從而P（2，3）。事實(shí)上，若注意P對應(yīng)參數(shù)與∠POX關(guān)系，可避免此誤。P與x軸正向所成的角為，3解：設(shè)P（4cos，23sin），由tan323sin4cos，即tan=2.而sin>0,cos>0,525545415P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。cos=,sin=555（四）教學(xué)小結(jié)：1．坐標(biāo)法推導(dǎo)出橢圓的參數(shù)方程，學(xué)習(xí)了a、b、的幾何意義2．通過學(xué)習(xí)，完善了對橢圓的認(rèn)識。橢圓的兩個定義及兩種方程都是等價的。3．參數(shù)方程在解決軌跡問題與極值問題時是有效的。4．通過學(xué)習(xí)增強(qiáng)運(yùn)用參數(shù)解題的意識。（五）補(bǔ)充練習(xí)1．點(diǎn)P在橢圓7x2+4y2=28上，則點(diǎn)P到直線3x-3y-16=0的距離的最大值為（）1213A．B.1316131324132813D.13C.1322．P是橢圓y21上任意一點(diǎn)，xF、F是兩個焦點(diǎn)，且滿足PFPF的21212點(diǎn)P有（）A．1個個個個22y3．已知直線y=kx-1與橢圓1相切，xa則k,之間關(guān)系式為（）4aaA．+4k2=-1aB.4k2-=1=1+4k2=124．點(diǎn)P（0，1）到橢圓xy21上點(diǎn)最大距離是________2aaa5．設(shè)為大于0的常數(shù)，橢圓x2-2x+2y2=0的長軸長是短軸長的2倍，則a的值為112A．B.2C.2或D.222xy6．已知點(diǎn)P在圓x2+(y-4)2=1上移動，點(diǎn)Q在橢圓1上移動，24求|PQ|的最大值