復數與復平面

PAGE第一章復數與復平面第一節(jié)復數及其幾何表示1、復數域每個復數具有的形狀，其中和，是虛數單位；和分別稱為的實部和虛部，分別記作，。復數和相等是指它們的實部與虛部分別相等。如果，則可以看成一個實數；如果，那么稱為一個虛數；如果，而，則稱為一個純虛數。復數的四則運算定義為：復數在四則運算這個代數結構下，構成一個復數域，記為C。2、復平面：C也可以看成平面，我們稱為復平面。作映射：，則在復數集與平面之建立了一個1-1對應。橫坐標軸稱為實軸，縱坐標軸稱為虛軸；復平面一般稱為z-平面，w-平面等。復數可以等同于平面中的向量，。向量的長度稱為復數的模，定義為：；向量與正實軸之間的夾角稱為復數的輻角，定義為：（）。復數的共軛定義為：；復數的三角表示定義為：；復數加法的幾何表示：設、是兩個復數，它們的加法、減法幾何意義是向量相加減，幾何意義如下圖：關于兩個復數的和與差的模，有以下不等式：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、；例1試用復數表示圓的方程：（）其中，a,b,c,d是實常數。解：方程為，其中。例2、設、是兩個復數，證明利用復數的三角表示，我們可以更簡單的表示復數的乘法與除法：設、是兩個非零復數，則有則有即，，其中后一個式子應理解為集合相等。同理，對除法，有即，，其后一個式子也應理解為集合相等。例3、設、是兩個復數，求證：例4、作出過復平面C上不同兩點a,b的直線及過不共線三點a,b,c的圓的表示式。解：直線：；圓：利用復數的三角表示，我們也可以考慮復數的乘冪：令，則進一步，有共有-個值。例5、求的所有值。解：由于，所以有其中，。3、復球面與無窮大：在點坐標是的三維空間中，把xOy面看作就是面。考慮球面：取定球面上一點稱為球極。我們可以建立一個復平面C到之間的一個1-1對應：，，。我們稱上面的映射為球極射影。對應于球極射影為，我們引入一個新的非正常復數無窮遠點，稱為擴充復平面，記為。關于，其實部、虛部、輻角無意義，模等于；基本運算為（為有限復數）：；；。鐘子期聽懂了俞伯牙的琴音——“巍巍乎若高山，蕩蕩乎若流水”,俞伯牙視其為知音。鐘子期死后，面對江邊一抔黃土，俞伯牙發(fā)出“此曲終兮不復彈，三尺瑤琴為君死”的感慨，摔琴而去，從此，高山流水，知音難覓。紅樓里，寶釵與黛玉皆愛寶玉，寶釵看重功名，常拿一些倫理綱常來壓制他的不羈與頑劣，黛玉卻從未提及這些，因她懂得他的心性，她說“你既為我之知己，自然我亦是你之知己”,造化弄人，木石前緣雖是虛空一場，卻懷金悼玉，夢縈千古，今日讀來依然蕩氣回腸！不是所有的相遇都可以相知，不是所有的相知都可以永恒。生命里，我們只愿結交那些心性相宜的人，統(tǒng)一的語言，相同的志趣，將彼此的心靈拉近，一份懂得，不言不語，卻在默契里滋生。懂得，是兩顆心的對望，潛生一種心靈感應，不發(fā)一言，便可知會。一聲懂得，沒有千言萬語，卻可以令人眸中含淚，心中蘊暖。這世間太多人情薄涼，你是否覺得，有一個真正懂你的人，是一種幸福與慰藉呢？茫茫人海，你不孤單，有人愿與你同運命，共風雨，如此，多好！風懂云的情懷，它，輕輕的吹送，云姿更加漫妙；雪懂梅的寒傲，它，悄悄的綻放，梅骨愈加清奇；泉懂山的偉岸，它，靜靜的流淌，山林更為蔥茂；雨懂花的心思，它，無聲的灑落，花香尤為清絕……杏花疏影小樓邊，一腔笛韻委婉悠揚；山亭古寺四月間，深澗桃花兀自嬌嬈；暗香疏影黃昏后，東籬素菊暗香盈袖；柴門冬雪夜歸人，紅泥火爐綠蟻新醅……若懂