數(shù)學(xué)人教A版選修2-3問題導(dǎo)學(xué)第三章3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用問題導(dǎo)學(xué)一、求線性回歸方程活動(dòng)與探究1某工廠1～8月份某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與成本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見下表：月份12345678產(chǎn)量(噸)成本(萬元)130136143149157172183188以產(chǎn)量為x，成本為y．(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？若有，求出其回歸方程．遷移與應(yīng)用1．(2013海南?？谀M)在一次試驗(yàn)中，測得(x，y)的四組值分別是A(1,2)，B(2,3)，C(3,4)，D(4,5)，則y與x之間的回歸直線方程為()A．eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1B．eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋2C．eq\o(y,\s\up6(^))＝2x＋1D．eq\o(y,\s\up6(^))＝x－12．某商場經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)是30元/臺(tái)的小商品，在市場試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x(x取整數(shù))元與日銷售量y臺(tái)之間有如下關(guān)系：x35404550y56412811(1)y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程．(方程的斜率精確到個(gè)位)(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)(1)寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并預(yù)測當(dāng)銷售單價(jià)x為多少元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤．(1)散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析．(2)求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義．二、線性回歸分析活動(dòng)與探究2某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與運(yùn)動(dòng)成績之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：次數(shù)(x)3033353739444650成績(y)3034373942464851(1)作出散點(diǎn)圖；(2)求出線性回歸方程；(3)作出殘差圖，并說明模型的擬合效果；(4)計(jì)算R2，并說明其含義．遷移與應(yīng)用1．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x/萬元4235銷售額y/萬元49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為()2．在一段時(shí)間內(nèi)，某種商品的價(jià)格x(元)和需求量y(件)之間的一組數(shù)據(jù)為：x(元)1416182022y(件)1210753且知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求出y對x的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞．“相關(guān)指數(shù)R2、殘差圖”在回歸分析中的作用：(1)相關(guān)指數(shù)R2是用來刻畫回歸效果的，由R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)可知R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果就越好．(2)殘差圖也是用來刻畫回歸效果的，判斷依據(jù)是：殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精度越高．三、非線性回歸分析活動(dòng)與探究3下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點(diǎn)圖，并猜測x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報(bào)回歸模型并計(jì)算殘差；(3)利用所得模型，預(yù)報(bào)x＝40時(shí)y的值．遷移與應(yīng)用1．在彩色顯影中，由經(jīng)驗(yàn)知形成染料光學(xué)密度y與析出銀的光學(xué)密度x由公式y(tǒng)＝(b＜0)表示，現(xiàn)測得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：xiyi則y對x的回歸方程是__________．2．在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x124y1612521試建立y與x之間的回歸方程．非線性回歸問題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．答案：課前·預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1．(1)確定性非確定性(2)相關(guān)(3)eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)樣本點(diǎn)的中心(4)隨機(jī)誤差解釋變量預(yù)報(bào)變量預(yù)習(xí)交流1D2．yi－bxi－ayi－eq\o(y,\s\up6(^))iyi－eq\o(b,\s\up6(^))xi－eq\o(a,\s\up6(^))3．1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)(yi－\o(y,\s\up6(^))i)2,\i\su(i＝1,n,)(yi－\x\to(y))2)解釋變量預(yù)報(bào)變量1預(yù)習(xí)交流2提示：散點(diǎn)圖可以說明變量間有無線性相關(guān)關(guān)系，只能粗略地說明兩個(gè)變量之間關(guān)系的密切程度，而相關(guān)指數(shù)R2能精確地描述兩個(gè)變量之間的密切程度．預(yù)習(xí)交流3提示：(1)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體．(2)所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性．(3)樣本的取值范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍．(4)不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值．事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值．課堂·合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1思路分析：畫出散點(diǎn)圖，觀察圖形的形狀得x與y是否具有線性相關(guān)關(guān)系．把數(shù)值代入回歸系數(shù)公式求回歸方程．解：(1)由表畫出散點(diǎn)圖，如圖所示．(2)從上圖可看出，這些點(diǎn)基本上散布在一條直線附近，可以認(rèn)為x和y線性相關(guān)關(guān)系顯著，下面求其回歸方程，首先列出下表．序號(hào)xiyixi2yi2xiyi113016900213618496314320449414922201515724649617229584718333489818835344∑1258201112eq\x\to(x)＝6.85，eq\x\to(y)＝157.25．∴eq\o(b,\s\up6(^))＝＝eq\f(8764.5－8××,382.02－8×2)≈22.17，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)×≈5.39，故線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))x＋5.39．遷移與應(yīng)用1．A解析：方法一：eq\x\to(x)＝eq\f(1＋2＋3＋4,4)＝eq\f(5,2)，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋4＋5,4)＝eq\f(7,2)．故eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(7,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(7,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(7,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(5,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(7,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(5,2)))2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝1，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝eq\f(7,2)－eq\f(5,2)＝1．因此，eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1，故選A．方法二：也可由回歸直線方程一定過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(7,2)))，代入驗(yàn)證可排除B，C，D．故應(yīng)選A．2．解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示，從圖中可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此兩個(gè)變量線性相關(guān)．設(shè)回歸直線為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由題知eq\x\to(x)＝42.5，eq\x\to(y)＝34，則求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,4,)(xi－\x\to(x))2)＝eq\f(－370,125)≈－3．eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝34－(－3)×42.5＝161.5．∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－3x＋161.5．(2)依題意有P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x2x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x,6)))2＋eq\2,12)－4845．∴當(dāng)x＝eq\,6)≈42時(shí)，P有最大值，約為426．即預(yù)測銷售單價(jià)為42元時(shí)，能獲得最大日銷售利潤．活動(dòng)與探究2思路分析：先畫出散點(diǎn)圖，確定是否具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸方程，再求出殘差，確定模型的擬合的效果和R2的含義．解：(1)作出該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(y)之間的散點(diǎn)圖，如圖所示，由散點(diǎn)圖可知，它們之間具有線性相關(guān)關(guān)系．(2)eq\x\to(x)＝39.25，eq\x\to(y)＝40.875，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝12656，eq\i\su(i＝1,8,y)eq\o\al(2,i)＝13731，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝13180，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,8,)(xi－\x\to(x))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)≈1.0415，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－0.003875，∴線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.0415x－0.003875．(3)作殘差圖如圖所示，由圖可知，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．(4)計(jì)算得相關(guān)指數(shù)R2≈0.9855，說明了該運(yùn)動(dòng)員的成績的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的．遷移與應(yīng)用1．B解析：∵eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)×eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝9.1，∴回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))x＋9.1．令x＝6，得eq\o(y,\s\up6(^))×6＋9.1＝65.5(萬元)．2．解：eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，＝122＋102＋72＋52＋32＝327，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝＝eq\f(620－5×18×,1660－5×182)＝eq\f(－46,40)＝－1.15．∴eq\o(a,\s\up6(^))×18＝28.1，∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))x＋28.1．列出殘差表為：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i0yi－eq\x\to(y)∴eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝0.3，eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\x\to(y))2＝53.2，R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)(yi－\o(y,\s\up6(^))i)2,\i\su(i＝1,5,)(yi－\x\to(y))2)≈0.994．故R2≈0.994說明擬合效果較好．活動(dòng)與探究3思路分析：先由數(shù)值表作出散點(diǎn)圖，然后根據(jù)散點(diǎn)的形狀模擬出近似函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，由數(shù)值表求出回歸函數(shù)．解：(1)作出散點(diǎn)圖如圖，從散點(diǎn)圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù)．(2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則有變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)分布在直線z＝bx＋a，a＝lnc1，b＝c2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為：x21232527293235z求得回歸直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))x－3.849，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝ex．殘差yi711212466115325eq\o(y,\s\up6(^))ieq\o(e,\s\up6(^))i(3)當(dāng)x＝40時(shí)，y＝ex≈1131．遷移與應(yīng)用1．解析：由題給的經(jīng)驗(yàn)公式y(tǒng)＝，兩邊取自然對數(shù)，便得lny＝lnA＋eq\f(b,x)．與線性回歸直線方程相對照，只要取u＝eq\f(1,x)，v＝lny，a＝lnA，就有v＝a＋bu，這是v對u的線性回歸方程．對此我們已經(jīng)掌握了一套相關(guān)性檢驗(yàn)，求a與回歸系數(shù)b的方法．題目所給數(shù)據(jù)經(jīng)變量置換u＝eq\f(1,x)，v＝lny變成如下表所示的數(shù)據(jù)：uivi0uivi|r|≈0.998＞0.75，故v與u之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程是有意義的．由表中數(shù)據(jù)可得eq\o(b,\s\up6(^))≈－0.15，eq\o(a,\s\up6(^))≈0.55，即eq\o(v,\s\up6(^))u．把u與v換回原來的變量x與y，即u＝eq\f(1,x)，v＝lny，故lneq\o(y,\s\up6(^))＝0.55－eq\,x)，即eq\o(y,\s\up6(^))＝＝e≈．這就是y對x的回歸曲線方程．2．解：畫出散點(diǎn)圖如圖所示．根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍421y1612521由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下：由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系．列表如下：序號(hào)tiyitiyiteq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)14166416256221224414431551254214511∑3621.3125430所以eq\x\to(t)＝1.55，eq\x\to(y)＝7.2．所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)≈4.1344，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈0.8．所以eq\o(y,\s\up6(^))＝4.1344t＋0.8．所以y與x的回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(4.1344,x)＋0.8．當(dāng)堂檢測1．(2012湖南高考，理4)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(，)C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體