高二數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性導(dǎo)學(xué)案1.1.2空間向量的數(shù)量積運算-1

第一章空間向量與立體幾何

空間向量的數(shù)量積運算（導(dǎo)學(xué)案）學(xué)習(xí)目標掌握空間向量的夾角的概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．能用空間向量的數(shù)量積解決立體幾何中的垂直、夾角、長度等問題，強化數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).重點難點重點：通過類比平面向量的概念來歸納并理解空間向量的含義，發(fā)現(xiàn)空間向量也與平面向量滿足線性運算(加法、減法和數(shù)乘），懂得運算律。難點：空間向量的線性在簡單空間幾何體中的計算和應(yīng)用。課前預(yù)習(xí)自主梳理要點一研究空間向量數(shù)量積運算類比平面向量的數(shù)量積運算完成表格.平面空間（學(xué)生填空）夾角對非零向量,作,則叫做與的夾角,記作,.特例:當時,則.數(shù)量積兩個非零向量,則的數(shù)量積,記作,即數(shù)量積.特例:.要點二投影1.空間向量向向量投影得到的投影向量c的表示：;2.思考：類似于向量向向量投影，如何定義并畫出空間向量向直線投影；3.思考：定義并畫出向量向平面投影，并說說與前面兩種向量投影的畫法有什么不同之處.要點三空間向量的數(shù)量積滿的運算律，；(交換律)；(分配律)．自主檢測1.設(shè)、、是空間向量，則以下說法中錯誤的是（

）A．、一定共面 B．、、一定不共面2.棱長為的正四面體中，則等于（

）A． B． C． D．3.在空間四邊形中，分別是的中點，為線段上一點，且，設(shè)，，，則下列等式不成立的是（

）A． B．C． D．新課導(dǎo)學(xué)學(xué)習(xí)探究（一）新知導(dǎo)入環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境引入課題(回顧舊知，類比得到空間向量數(shù)量積的概念)問題1:類比平面向量的數(shù)量積，你能得出空間向量的數(shù)量積相關(guān)知識？想一想，在學(xué)習(xí)平面向量的數(shù)量積時，我們都學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容，是怎么學(xué)習(xí)的.請同學(xué)們類比平面向量的數(shù)量積運算研究空間向量數(shù)量積運算，小組合作完成表格.平面空間（學(xué)生填空）夾角對非零向量,作,則叫做與的夾角,記作,.特例:當時,則.數(shù)量積兩個非零向量,則的數(shù)量積,記作,即數(shù)量積.．特例:.環(huán)節(jié)二觀察分析感知概念借助幾何直觀，揭示空間向量投影概念的本質(zhì)問題2：根據(jù)平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，為了研究數(shù)量積的運算律，需要先定義向量的投影.想一想空間向量的投影有哪些情況.問題31(1),如何定義并畫出空間向量向向量投影？如圖1.111(1)，在空間，向量向向量投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量共線的向量，，向量稱為向量在向量上的投影向量．類似地，可以將向量向直線投影(圖1.111(2))．追問:你能用向量,向量表示出投影向量嗎?追問：類似于向量向向量投影，你能定義并畫出空間向量向直線投影嗎？追問：請嘗試定義并畫出向量向平面投影，并說說與前面兩種向量投影的畫法有什么不同之處.如圖1.111(3)，向量向平面投影，就是分別由向量的起點和終點作平面的垂線，垂足分別為，，得到向量，向量稱為向量在平面上的投影向量．這時，向量，的夾角就是向量所在直線與平面所成的角．空間向量的數(shù)量積滿足如下的運算律：，；(交換律)；(分配律)．環(huán)節(jié)三抽象概括形成概念推廣運算律，理解向量運算律與數(shù)的運算律的差異問題4：定義了運算就要研究它的運算律.類比平面向量數(shù)量積的運算律，你能說出空間向量的數(shù)量積運算具有哪些運算律嗎？追問：你能證明這些運算律嗎？問題5：我們知道，數(shù)及其運算是一切運算的基礎(chǔ)，空間向量的數(shù)量積運算在形式上是兩個向量相乘，由此，自然會想到將它與數(shù)的乘法作類比.向量的數(shù)量積是否具有一些與數(shù)的乘法類似的性質(zhì)呢？它們之間有什么共性和差異嗎？追問：對三個不為0的數(shù),有,也就是說，數(shù)的運算滿足結(jié)合律.對于向量的數(shù)量積運算，有“結(jié)合律嗎？追問：對于三個均不為0的數(shù)，若，則．對于向量，，，由，你能得到嗎？如果不能，請舉出反例．追問：對于三個均不為0的數(shù)，若，則(或)．對于向量，，若，能不能寫成（或）的形式？環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念例2．如圖1.112，在平行六面體中，，，，，．求：(1)；(2)的長(精確到0.1)．解：環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用鞏固內(nèi)化例3如圖1.113，，是平面內(nèi)的兩條相交直線，如果，，求證：．圖3圖3分析：要證明，就是要證明垂直于內(nèi)的任意一條直線（直線與平面垂直的定義）．如果我們能在和，之間建立某種聯(lián)系，并由，，得到，那么就能解決此問題．證明：思考：例3即為直線與平面垂直的判定定理的證明過程.嘗試用綜合幾何方法證明這個定理，并比較兩種方法，你能從中體會到向量方法的優(yōu)越性嗎？環(huán)節(jié)六歸納總結(jié)反思提升問題7請同學(xué)們回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，并回答下列問題：(1)空間向量數(shù)量積的定義、運算律是什么？與平面向量的數(shù)量積運算有什么聯(lián)系與區(qū)別？(2)空間向量投影的意義是什么？與平面向量的投影有什么聯(lián)系與區(qū)別？如何畫出空間向量向另一個向量、一條直線和一個平面的投影？(3)在用空間向量的數(shù)量積運算解決一些簡單的立體幾何問題的過程中，向量及其運算起了什么作用？課堂小結(jié)環(huán)節(jié)七 目標檢測，作業(yè)布置作業(yè)布置：教科書習(xí)題第4,7題.備用練習(xí)1.已知正四面體的棱長為為棱的中點，則（

）A． B． C． D．備用練習(xí)2.已知平行六面體如圖所示，其中，，，線段AC，BD交于點O，點E是線段上靠近的三等分點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．平面空間（學(xué)生填空）夾角對非零向量,作,則叫做與的夾角,記作,.已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作．特例