挑戰(zhàn)中考數(shù)學壓軸題(全套)

挑戰(zhàn)中考系列(數(shù)學)第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題§1．1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題§1．2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題§1．3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題§1．4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題§1．5因動點產(chǎn)生的面積問題§1．6因動點產(chǎn)生的相切問題§1．7因動點產(chǎn)生的線段和差問題第二部分圖形運動中的函數(shù)關系問題§2．1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關系問題第三部分圖形運動中的計算說理問題§3．1代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題§3．2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題第四部分圖形的平移、翻折與旋轉§4．1圖形的平移§4．2圖形的翻折§4．3圖形的旋轉§4．4三角形§4．5四邊形§4．6圓§4．7函數(shù)的圖象及性質§1．1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題課前導學相似三角形的判定定理有3個，其中判定定理1和判定定理2都有對應角相等的條件，因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應角相等．判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC與△DEF相似，只要把夾∠A和∠D的兩邊表示出來，按照對應邊成比例，分和兩種情況列方程．應用判定定理1解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應角相等．應用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應成比例列連比式解方程（組）．還有一種情況，討論兩個直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉化為討論另一個三角形是直角三角形的問題．求線段的長，要用到兩點間的距離公式，而這個公式容易記錯．理解記憶比較好．如圖1，如果已知A、B兩點的坐標，怎樣求A、B兩點間的距離呢？我們以AB為斜邊構造直角三角形，直角邊與坐標軸平行，這樣用勾股定理就可以求斜邊AB的長了．水平距離BC的長就是A、B兩點間的水平距離，等于A、B兩點的橫坐標相減；豎直距離AC就是A、B兩點間的豎直距離，等于A、B兩點的縱坐標相減．圖1圖1圖2例1湖南省衡陽市中考第28題二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸交于A(－3,0)、B(1,0)兩點，與y軸交于點C(0,－3m)（m＞0），頂點為D．（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m（2）如圖1，當m＝2時，點P為第三象限內拋物線上的一個動點，設△APC的面積為S，試求出S與點P的橫坐標x之間的函數(shù)關系式及S的最大值；（3）如圖2，當m取何值時，以A、D、C三點為頂點的三角形與△OBC相似？動感體驗請打開幾何畫板文件名“14衡陽28”，拖動點P運動，可以體驗到，當點P運動到AC的中點的正下方時，△APC的面積最大．拖動y軸上表示實數(shù)m的點運動，拋物線的形狀會改變，可以體驗到，∠ACD和∠ADC都可以成為直角．思路點撥1．用交點式求拋物線的解析式比較簡便．2．連結OP，△APC可以割補為：△AOP與△COP的和，再減去△AOC．3．討論△ACD與△OBC相似，先確定△ACD是直角三角形，再驗證兩個直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在兩種情況．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(－3,0)、B(1,0)兩點，設y＝a(x＋3)(x－1)．代入點C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a所以該二次函數(shù)的解析式為y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m（2）如圖3，連結OP．當m＝2時，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x,2x2＋4x－6)．由于S△AOP＝＝(2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9，S△COP＝＝－3x，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝．所以當時，S取得最大值，最大值為．圖3圖4圖5圖6（3）如圖4，過點D作y軸的垂線，垂足為E．過點A作x軸的垂線交DE于F．由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶如果△ADC與△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且兩條直角邊的比為1∶3m①如圖4，當∠ACD＝90°時，．所以．解得m＝1．此時，．所以．所以△CDA∽△OBC．②如圖5，當∠ADC＝90°時，．所以．解得．此時，而．因此△DCA與△OBC不相似．綜上所述，當m＝1時，△CDA∽△OBC．考點伸展第（2）題還可以這樣割補：如圖6，過點P作x軸的垂線與AC交于點H．由直線AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因為P(x,2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因為△PAH與△PCH有公共底邊HP，高的和為A、C兩點間的水平距離3，所以圖1圖2圖3圖1例92014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點，當△AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標．動感體驗請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動圓心P在拋物線上運動，可以體驗到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在五種情況．思路點撥1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在五種情況，點P的縱坐標有三個值，根據(jù)對稱性，MA＝MN和NA＝NM時，點P的縱坐標是相等的．圖文解析（1）已知拋物線的頂點為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得（舍去了負值）．（2）拋物線的解析式為，設點P的坐標為．已知A(0,2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交．（3）如圖2，設MN的中點為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：如圖3，當AM＝AN時，點P為原點O重合，此時點P的縱坐標為0．圖2圖3圖4圖5②如圖4，當MA＝MN時，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．此時x＝OH＝2．所以點P的縱坐標為．如圖5，當NA＝NM時，根據(jù)對稱性，點P的縱坐標為也為．③如圖6，當NA＝NM＝4時，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以ON＝2．此時x＝OH＝2．所以點P的縱坐標為．如圖7，當MN＝MA＝4時，根據(jù)對稱性，點P的縱坐標也為．圖6圖7考點伸展如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點B(0,1)，那么在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因為：設點P的坐標為．已知B(0,1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．例102014年湖南省張家界市中考第25題如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）過O、B、C三點，B、C坐標分別為(10,0)和，以OB為直徑的⊙A經(jīng)過C點，直線l垂直x軸于B點．（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線解析式及頂點坐標；（3）點M是⊙A上一動點（不同于O、B），過點M作⊙A的切線，交y軸于點E，交直線l于點F，設線段ME長為m，MF長為n，請猜想mn的值，并證明你的結論；（4）若點P從O出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點B作直線運動，點Q同時從B出發(fā)，以相同速度向點C作直線運動，經(jīng)過t（0＜t≤8）秒時恰好使△BPQ為等腰三角形，請求出滿足條件的t值．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14張家界25”，拖動點M在圓上運動，可以體驗到，△EAF保持直角三角形的形狀，AM是斜邊上的高．拖動點Q在BC上運動，可以體驗到，△BPQ有三個時刻可以成為等腰三角形．思路點撥1．從直線BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，為討論等腰三角形BPQ作鋪墊．2．設交點式求拋物線的解析式比較簡便．3．第（3）題連結AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜邊上的高．4．第（4）題的△PBQ中，∠B是確定的，夾∠B的兩條邊可以用含t的式子表示．分三種情況討論等腰三角形．圖文解析（1）直線BC的解析式為．（2）因為拋物線與x軸交于O、B(10,0)兩點，設y＝ax(x－10)．代入點C，得．解得．所以．拋物線的頂點為．（3）如圖2，因為EF切⊙A于M，所以AM⊥EF．由AE＝AE，AO＝AM，可得Rt△AOE≌Rt△AME．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF＝90°．所以∠5＝∠1．由tan∠5＝tan∠1，得．所以ME·MF＝MA2，即mn＝25．圖2（4）在△BPQ中，cos∠B＝，BP＝10－t，BQ＝t．分三種情況討論等腰三角形BPQ：①如圖3，當BP＝BQ時，10－t＝t．解得t＝5．②如圖4，當PB＝PQ時，．解方程，得．如圖5，當QB＝QP時，．解方程，得．圖3圖4圖5圖6考點伸展在第（3）題條件下，以EF為直徑的⊙G與x軸相切于點A．如圖6，這是因為AG既是直角三角形EAF斜邊上的中線，也是直角梯形EOBF的中位線，因此圓心G到x軸的距離等于圓的半徑，所以⊙G與x軸相切于點A．例112014年湖南省邵陽市中考第26題在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）與x軸相交于A、B兩點（點A位于點B的右側），與y軸相交于點C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B兩點的坐標；（2）若A、B兩點分別位于y軸的兩側，C點坐標是(0,－1)，求∠ACB的大?。唬?）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．動感體驗請打開幾何畫板文件名“14邵陽26”，點擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動點A在x軸正半軸上運動，可以體驗到，△ABC保持直角三角形的形狀．點擊屏幕左下方的按鈕（3），拖動點B在x軸上運動，觀察△ABC的頂點能否落在對邊的垂直平分線上，可以體驗到，等腰三角形ABC有4種情況．1．拋物線的解析式可以化為交點式，用m，n表示點A、B、C的坐標．2．第（2）題判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用銳角的三角比．3．第（3）題討論等腰三角形ABC，先把三邊長（的平方）羅列出來，再分類解方程．圖文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，點A位于點B的右側，可知A(m,0)，B(n,0)．若m＝2，n＝1，那么A(2,0)，B(1,0)．．（2）如圖1，由于C(0,mn)，當點C的坐標是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B兩點分別位于y軸的兩側，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因為∠1與∠3互余，所以∠2與∠3互余．所以∠ACB＝90°．（3）在△ABC中，已知A(2,0)，B(n,0)，C(0,2n)．討論等腰三角形ABC，用代數(shù)法解比較方便：由兩點間的距離公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①當AB＝AC時，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得（如圖2）．②當CA＝CB時，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如圖3），或n＝2（A、B重合，舍去）．當BA＝BC時，解方程(n－2)2＝5n2，得（如圖4），或（如圖5）．圖1圖2圖3圖4圖5考點伸展第（2）題常用的方法還有勾股定理的逆定理．由于C(0,mn)，當點C的坐標是(0,－1)，mn＝－1．由A(m,0)，B(n,0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）題在討論等腰三角形ABC時，對于CA＝CB的情況，此時A、B兩點關于y軸對稱，可以直接寫出B(－2,0)，n＝－2．例122014年湖南省婁底市中考第27題如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連結PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：（1）設△APQ的面積為S，當t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如圖2，連結PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當四邊形PQP′C為菱形時，求t的值；（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形？圖1圖2圖3圖4動感體驗請打開幾何畫板文件名“14婁底27”，拖動點Q在AC上運動，可以體驗到，當點P運動到AB的中點時，△APQ的面積最大，等腰三角形APQ存在三種情況．還可以體驗到，當QC＝2HC時，四邊形PQP′C思路點撥1．在△APQ中，∠A是確定的，夾∠A的兩條邊可以用含t的式子表示．2．四邊形PQP′C的對角線保持垂直，當對角線互相平分時，它是菱形，．圖文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，sinA＝，cosA＝．作QD⊥AB于D，那么QD＝AQsinA＝t．所以S＝S△APQ＝＝＝＝．當時，S取得最大值，最大值為．（2）設PP′與AC交于點H，那么PP′⊥QC，AH＝APcosA＝．如果四邊形PQP′C為菱形，那么PQ＝PC．所以QC＝2HC．解方程，得．（3）等腰三角形APQ存在三種情況：①如圖5，當AP＝AQ時，5－t＝t．解得．②如圖6，當PA＝PQ時，．解方程，得．如圖7，當QA＝QP時，．解方程得．圖5圖6圖7圖8考點伸展在本題情境下，如果點Q是△PP′C的重心，求t的值．如圖8，如果點Q是△PP′C的重心，那么QC＝HC．解方程，得．例132015年湖南省懷化市中考第22題如圖1，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點P以每秒1個單位的速度從A向C運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從A→B→C方向運動，它們到C點后都停止運動，設點P、Q運動的時間為t秒．（1）在運動過程中，求P、Q兩點間距離的最大值；（2）經(jīng)過t秒的運動，求△ABC被直線PQ掃過的面積S與時間t的函數(shù)關系式；（3）P，Q兩點在運動過程中，是否存在時間t，使得△PQC為等腰三角形．若存在，求出此時的t值，若不存在，請說明理由．（，結果保留一位小數(shù)）動感體驗請打開幾何畫板文件名“15懷化22”，拖動點P在AC上運動，可以體驗到，PQ與BD保持平行，等腰三角形PQC存在三種情況．思路點撥1．過點B作QP的平行線交AC于D，那么BD的長就是PQ的最大值．2．線段PQ掃過的面積S要分兩種情況討論，點Q分別在AB、BC上．3．等腰三角形PQC分三種情況討論，先羅列三邊長．圖文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10．如圖2，當點Q在AB上時，作BD//PQ交AC于點D，那么．所以AD＝5．所以CD＝3．如圖3，當點Q在BC上時，．又因為，所以．因此PQ//BD．所以PQ的最大值就是BD．在Rt△BCD中，BC＝6，CD＝3，所以BD＝．所以PQ的最大值是．圖1圖2圖3圖4（2）①如圖2，當點Q在AB上時，0＜t≤5，S△ABD＝15．由△AQP∽△ABD，得．所以S＝S△AQP＝＝．②如圖3，當點Q在BC上時，5＜t≤8，S△ABC＝24．因為S△CQP＝＝＝，所以S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40．（3）如圖3，當點Q在BC上時，CQ＝2CP，∠C＝90°，所以△PQC不可能成為等腰三角形．當點Q在AB上時，我們先用t表示△PQC的三邊長：易知CP＝8－t．如圖2，由QP//BD，得，即．所以．如圖4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQsin∠A＝，AH＝．在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝＝．分三種情況討論等腰三角形PQC：（1）①當PC＝PQ時，解方程，得≈3.4（如圖5所示）．②當QC＝QP時，．整理，得．所以(11t－40)(t－8)＝0．解得≈3.6（如圖6所示），或t＝8（舍去）．③當CP＝CQ時，．整理，得．解得＝3.2（如圖7所示），或t＝0（舍去）．綜上所述，當t的值約為3.4，3.6，或等于3.2時，△PQC是等腰三角形．圖5圖6圖7圖8圖9考點伸展第（1）題求P、Q兩點間距離的最大值，可以用代數(shù)計算說理的方法：①如圖8，當點Q在AB上時，PQ＝＝＝．當Q與B重合時，PQ最大，此時t＝5，PQ的最大值為．②如圖9，當點Q在BC上時，PQ＝＝＝．當Q與B重合時，PQ最大，此時t＝5，PQ的最大值為．綜上所述，PQ的最大值為．§1．3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題課前導學我們先看三個問題：1．已知線段AB，以線段AB為直角邊的直角三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？2．已知線段AB，以線段AB為斜邊的直角三角形ABC有多少個？頂點C的軌跡是什么？3．已知點A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合條件的點B的坐標．圖1圖2圖3圖4如圖1，點C在垂線上，垂足除外．如圖2，點C在以AB為直徑的圓上，A、B兩點除外．如圖3，以OA為邊畫兩個正方形，除了O、A兩點以外的頂點和正方形對角線的交點，都是符合題意的點B，共6個．解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根．一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程．有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．如圖4，已知A(3,0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的頂點C在y軸上，求點C的坐標．我們可以用幾何的方法，作AB為直徑的圓，快速找到兩個符合條件的點C．如果作BD⊥y軸于D，那么△AOC∽△CDB．設OC＝m，那么．這個方程有兩個解，分別對應圖中圓與y軸的兩個交點．例192015年湖南省益陽市中考第21題如圖1，已知拋物線E1：y＝x2經(jīng)過點A(1,m)，以原點為頂點的拋物線E2經(jīng)過點B(2,2)，點A、B關于y軸的對稱點分別為點A′、B′．（1）求m的值及拋物線E2所表示的二次函數(shù)的表達式；（2）如圖1，在第一象限內，拋物線E1上是否存在點Q，使得以點Q、B、B′為頂點的三角形為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，P為第一象限內的拋物線E1上與點A不重合的一點，連結OP并延長與拋物線E2相交于點P′，求△PAA′與△P′BB′的面積之比．圖1圖2圖3圖4動感體驗請打開幾何畫板文件名“15益陽21”，拖動點P在拋物線E1上運動，可以體驗到，點P始終是線段OP′的中點．還可以體驗到，直角三角形QBB′思路點撥1．判斷點P是線段OP′的中點是解決問題的突破口，這樣就可以用一個字母表示點P、P′的坐標．2．分別求線段AA′∶BB′，點P到AA′的距離∶點P′到BB′的距離，就可以比較△PAA′與△P′BB′的面積之比．圖文解析（1）當x＝1時，y＝x2＝1，所以A(1,1)，m＝1．設拋物線E2的表達式為y＝ax2，代入點B(2,2)，可得a＝．所以y＝x2．（2）點Q在第一象限內的拋物線E1上，直角三角形QBB′存在兩種情況：①如圖3，過點B作BB′的垂線交拋物線E1于Q，那么Q(2,4)．②如圖4，以BB′為直徑的圓D與拋物線E1交于點Q，那么QD＝＝2．設Q(x,x2)，因為D(0,2)，根據(jù)QD2＝4列方程x2＋(x2－2)2＝4．解得x＝．此時Q．（3）如圖5，因為點P、P′分別在拋物線E1、E2上，設P(b,b2)，P′(c,)．因為O、P、P′三點在同一條直線上，所以，即．所以c＝2b．所以P′(2b,2b2)．如圖6，由A(1,1)、B(2,2)，可得AA′＝2，BB′＝4．由A(1,1)、P(b,b2)，可得點P到直線AA′的距離PM′＝b2－1．由B(2,2)、P′(2b,2b2)，可得點P′到直線BB′的距離P′N′＝2b2－2．所以△PAA′與△P′BB′的面積比＝2(b2－1)∶4(2b2－2)＝1∶4．考點延伸第（2）中當∠BQB′＝90°時，求點Q(x,x2)的坐標有三種常用的方法：方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2．所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42．方法三，作QH⊥B′B于H，那么QH2＝B′H·BH．所以(x2－2)2＝(x＋2)(2－x)．圖5圖6圖1圖2例202015年湖南省湘潭市中考第26題如圖1，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點C，連結BC．動點P以每秒1個單位長度的速度從點A向點B運動，動點Q以每秒個單位長度的速度從點B向點C運動，P、Q兩點同時出發(fā)，連結PQ，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設運動的時間為t秒．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖1，當△BPQ為直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當t＜2時，延長QP交y軸于點M，在拋物線上是否存在一點N，使得PQ的中點恰為MN的中點，若存在，求出點N的坐標與t的值；若不存在，請說明理由．動感體驗請打開幾何畫板文件名“15湘潭26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，△BPQ有兩次機會可以成為直角三角形．還可以體驗到，點N有一次機會可以落在拋物線上．思路點撥1．分兩種情況討論等腰直角三角形BPQ．2．如果PQ的中點恰為MN的中點，那么MQ＝NP，以MQ、NP為直角邊可以構造全等的直角三角形，從而根據(jù)直角邊對應相等可以列方程．．圖文解析（1）因為拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，所以y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．（2）由A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3)，可得AB＝4，∠ABC＝45°．在△BPQ中，∠B＝45°，BP＝4－t，BQ＝t．直角三角形BPQ存在兩種情況：①當∠BPQ＝90°時，BQ＝BP．解方程t＝(4－t)，得t＝2（如圖3）．②當∠BQP＝90°時，BP＝BQ．解方程4－t＝2t，得t＝（如圖4）．圖3圖4圖5（3）如圖5，設PQ的中點為G，當點G恰為MN的中點時，MQ＝NP．作QE⊥y軸于E，作NF⊥x軸于F，作QH⊥x軸于H，那么△MQE≌△NPF．由已知條件，可得P(t－1,0)，Q(3－t,－t)．由QE＝PF，可得xQ＝xN－xP，即3－t＝xN－(t－1)．解得xN＝2．將x＝2代入y＝(x＋1)(x－3)，得y＝－3．所以N(2,－3)．由QH//NF，得，即．整理，得t2－9t＋12＝0．解得．因為t＜2，所以?。键c伸展第（3）題也可以應用中點坐標公式，得．所以xN＝2xG＝2．§1．4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題課前導學我們先思考三個問題：1．已知A、B、C三點，以A、B、C、D為頂點的平行四邊形有幾個，怎么畫？2．在坐標平面內，如何理解平行四邊形ABCD的對邊AB與DC平行且相等？3．在坐標平面內，如何理解平行四邊形ABCD的對角線互相平分？圖1圖2圖3圖4如圖1，過△ABC的每個頂點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生三個點D．如圖2，已知A(0,3)，B(－2,0)，C(3,1)，如果四邊形ABCD是平行四邊形，怎樣求點D的坐標呢？點B先向右平移2個單位，再向上平移3個單位與點A重合，因為BA與CD平行且相等，所以點C(3,1)先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到點D(5,4)．如圖3，如果平行四邊形ABCD的對角線交于點G，那么過點G畫任意一條直線（一般與坐標軸垂直），點A、C到這條直線的距離相等，點B、D到這條直線的距離相等．關系式xA＋xC＝xB＋xD和yA＋yC＝y(tǒng)B＋yD有時候用起來很方便．我們再來說說壓軸題常常要用到的數(shù)形結合．如圖4，點A是拋物線y＝－x2＋2x＋3在x軸上方的一個動點，AB⊥x軸于點B，線段AB交直線y＝x－1于點C，那么點A的坐標可以表示為(x,－x2＋2x＋3)，點C的坐標可以表示為(x,x－1)，線段AB的長可以用點A的縱坐標表示為AB＝y(tǒng)A＝－x2＋2x＋3，線段AC的長可以用A、C兩點的縱坐標表示為AC＝y(tǒng)A－yC＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2．通俗地說，數(shù)形結合就是：點在圖象上，可以用圖象的解析式表示點的坐標，用點的坐標表示點到坐標軸的距離．例242014年湖南省岳陽市中考第24題如圖1，拋物線經(jīng)過A(1,0)、B(5,0)、C三點．設點E(x,y)是拋物線上一動點，且在x軸下方，四邊形OEBF是以OB為對角線的平行四邊形．（1）求拋物線的解析式；（2）當點E(x,y)運動時，試求平行四邊形OEBF的面積S與x之間的函數(shù)關系式，并求出面積S的最大值（3）是否存在這樣的點E，使平行四邊形OEBF為正方形？若存在，求點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．動感體驗請打開幾何畫板文件名“14岳陽24”，拖動點E運動，可以體驗到，當點E運動到拋物線的頂點時，S最大．當點E運動到OB的垂直平分線上時，四邊形OEBF恰好是正方形．思路點撥1．平行四邊形OEBF的面積等于△OEB面積的2倍．2．第（3）題探究正方形OEBF，先確定點E在OB的垂直平分線上，再驗證EO＝EB．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(1,0)、B(5,0)兩點，設y＝a(x－1)(x－5)．代入點C，得．解得．所以拋物線的解析式為．（2）因為S＝S平行四邊形OEBF＝2S△OBE＝OB·(－yE)＝＝＝．所以當x＝3時，S取得最大值，最大值為．此時點E是拋物線的頂點（如圖2）．（3）如果平行四邊形OEBF是正方形，那么點E在OB的垂直平分線上，且EO＝EB．當x＝．此時E．如圖3，設EF與OB交于點D，恰好OB＝2DE．所以△OEB是等腰直角三角形．所以平行四邊形OEBF是正方形．所以當平行四邊形OEBF是正方形時，E、F．圖1圖2圖3圖4圖5考點伸展既然第（3）題正方形OEBF是存在的，命題人為什么不讓探究矩形OEBF有幾個呢？如圖4，如果平行四邊形OEBF為矩形，那么∠OEB＝90°．根據(jù)EH2＝HO·HB，列方程．或者由DE＝OB＝，根據(jù)DE2＝，列方程．這兩個方程整理以后都是一元三次方程4x3－28x2＋53x－20＝0，這個方程對于初中畢業(yè)的水平是不好解的．事實上，這個方程可以因式分解，．如圖3，x＝；如圖4，x＝4；如圖5，x＝，但此時點E在x軸上方了．這個方程我們也可以用待定系數(shù)法解：設方程的三個根是、m、n，那么4x3－28x2＋53x－20＝．根據(jù)恒等式對應項的系數(shù)相等，得方程組解得例252014年湖南省益陽市中考第20題如圖1，直線y＝－3x＋3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y＝a(x－2)2＋k經(jīng)過A、B兩點，并與x軸交于另一點C，其頂點為P．（1）求a，k的值；（2）拋物線的對稱軸上有一點Q，使△ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求點Q的坐標；（3）在拋物線及其對稱軸上分別取點M、N，使以A、C、M、N為頂點的四邊形為正方形，求此正方形的邊長．】圖文解析（1）由y＝－3x＋3，得A(1,0)，B(0,3)．將A(1,0)、B(0,3)分別代入y＝a(x－2)2＋k，得解得a＝1，k＝－1．（2）如圖2，拋物線的對稱軸為直線x＝2，設點Q的坐標為(2,m)．已知A(1,0)、B(0,3)，根據(jù)QA2＝QB2，列方程12＋m2＝22＋(m－3)2．解得m＝2．所以Q(2,2)．（3）點A(1,0)關于直線x＝2的對稱點為C(3,0)，AC＝2．如圖3，如果AC為正方形的邊，那么點M、N都不在拋物線或對稱軸上．如圖4，當AC為正方形的對角線時，M、N中恰好有一個點是拋物線的頂點(2,－1)．因為對角線AC＝2，所以正方形的邊長為．圖1圖2圖3圖4考點伸展如果把第（3）題中的正方形改為平行四邊形，那么符合條件的點M有幾個？①如果AC為對角線，上面的正方形AMCN是符合條件的，M(2,－1)．②如圖5，如果AC為邊，那么MN//AC，MN＝AC＝2．所以點M的橫坐標為4或0．此時點M的坐標為(4,3)或(0,3)．第（2）題如果沒有限制等腰三角形ABQ的底邊，那么符合條件的點Q有幾個？①如圖2，當QA＝QB時，Q(2,2)．②如圖6，當BQ＝BA＝時，以B為圓心，BA為半徑的圓與直線x＝2有兩個交點．根據(jù)BQ2＝10，列方程22＋(m－3)2＝10，得．此時Q或．③如圖7，當AQ＝AB時，以A為圓心，AB為半徑的圓與直線x＝2有兩個交點，但是點(2,－3)與A、B三點共線，所以Q(2,3)．圖5圖6圖7例262014年湖南省邵陽市中考第25題準備一張矩形紙片（如圖1），按如圖2操作：將△ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的點M，將△CDF沿DF翻折，使點C落在對角線BD上的點N．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若四邊形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面積．動感體驗請打開幾何畫板文件名“14邵陽25”，拖動點D可以改變矩形ABCD的形狀，可以體驗到，當EM與FN在同一條直線上時，四邊形BFDE是菱形，此時矩形的直角被三等分．思路點撥1．平行四邊形的定義和4個判定定理都可以證明四邊形BFDE是平行四邊形．2．如果平行四邊形BFDE是菱形，那么對角線平分一組對角，或者對角線互相垂直．用這兩個性質都可以解答第（2）題．圖文解析（1）如圖3，因為AB//DC，所以∠ABD＝∠CDB．又因為∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠3．所以BE//FD．又因為ED//BF，所以四邊形BFDE是平行四邊形圖1圖2圖3圖4圖5圖6（2）如圖4，如果四邊形BFDE是菱形，那么∠1＝∠5．所以∠1＝∠2＝∠5．由于∠ABC＝90°，所以∠1＝∠2＝∠5＝30°．所以BD＝2AB＝4，AE＝．所以ME＝．所以S菱形BFDE＝2S△BDE＝BD·ME＝．考點伸展第（1）題的解法，我們用平行四邊形的定義作為判定的依據(jù)，兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形．還可以這樣思考：證明四邊形BFDE的兩組對邊分別相等；證明ED與BF平行且相等；證明四邊形BFDE的兩組對角分別相等．這三種證法，都要證明三角形全等，而全等的前提，要證明∠1＝∠2＝∠3＝∠4．這樣其實就走了彎路，因為由∠1＝∠3，直接得到BE//FD，根據(jù)平行四邊形的定義來得快．能不能根據(jù)BD與EF互相平分來證明呢？也是可以的：如圖5，設EF與BD交于點O，根據(jù)“角角邊”證明△EMO≌△FNO，得到EF與MN互相平分．又因為BM＝DN，于是得到EF與BD互相平分．第（2）題的解法，我們用了菱形的性質：對角線平分每組對角，得到30°的角．我們也可以根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分來解題：如圖6，如果四邊形BFDE是菱形，那么對角線EF⊥BD，此時垂足M、N重合．因此BD＝2DC．這樣就得到了∠5＝30°．事實上，當四邊形BFDE是菱形時，矩形ABCD被分割為6個全等的直角三角形．由AB＝2，得AD＝．矩形ABCD的面積為．菱形面積占矩形面積的，所以菱形面積為．§1．5因動點產(chǎn)生的面積問題課前導學面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：第一類，先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗方程的根．第二類，先假設關系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗證假設是否正確．如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標軸平行，計算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式．如圖2，圖3，三角形的三條邊沒有與坐標軸平行的，計算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補”的方法．圖1圖2圖3圖4圖5圖6計算面積長用到的策略還有：如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖5，同底三角形的面積比等于高的比．如圖6，同高三角形的面積比等于底的比．例32湖南省常德市中考第25題如圖1，．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）x（3）將拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關于x軸的對稱點），在原拋物線x軸的上方．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于兩點，設y＝ax(x－4)．代入點，得．解得．所以．（2）如圖2，OAMAM．如果PQOAPQMP因為拋物線的對稱軸是直線x＝2，P、Q關于x＝2對稱，所以點P的橫坐標為1，故點P的坐標為．由MPMP所以當為（3）如圖3，作CE⊥x軸于E，作DF⊥x軸于F．我們把面積進行兩次轉換：CEDF即yC∶yD＝3∶1因此ME∶MF＝3∶1．設MF＝m，那么ME＝3m原拋物線的解析式為，所以翻折后的拋物線的解析式為．所以D，CyC∶yD＝3∶1，列方程m所以點C的坐標為或．圖1圖2圖3圖4考點伸展B例332014年湖南省永州市中考第25題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交于A(－1,0)，B(4,0)兩點，與y軸交于點C(0,2)．點M(m,n)是拋物線上一動點，位于對稱軸的左側，并且不在坐標軸上．過點M作x軸的平行線交y軸于點Q，交拋物線于另一點E，直線BM交y軸于點F．（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點坐標；（2）當S△MFQ∶S△MEB＝1∶3時，求點M的坐標．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)，B(4,0)兩點，設y＝a(x＋1)(x－4)．代入點C(0,2)，得2＝－4a．解得．所以．頂點坐標為．（2）如圖2，已知M(m,n)，作MN⊥x軸于N．由，得．所以．因為拋物線的對稱軸是直線，所以ME＝．由于S△MFQ＝＝＝，S△MEB＝＝，所以當S△MFQ∶S△MEB＝1∶3時，∶＝1∶3．整理，得m2＋11m－12＝0．解得m＝1，或m＝－12．所以點M的坐標為(1,3)或(－12,－88)圖1圖2圖3圖4考點伸展第（2）題S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需點M一定要在拋物線上？從上面的解題過程可以看到，△MFQ與△MEB的高的比與n無關，兩條底邊的比也與n無關．如圖3，因此只要點E與點M關于直線x＝對稱，點M在直線的左側，且點M不在坐標軸上，就存在S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，點M的橫坐標為1（如圖3）或－12（如圖4）．§1．6因動點產(chǎn)生的相切問題課前導學一、圓與圓的位置關系問題，一般無法先畫出比較準確的圖形．解這類問題，一般分三步走，第一步先羅列三要素：R、r、d，第二步分類列方程，第三步解方程并驗根．第一步在羅列三要素R、r、d的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素要用含有x的式子表示．第二步分類列方程，就是指外切與內切兩種情況．二、直線與圓的位置關系問題，一般也無法先畫出比較準確的圖形．解這類問題，一般也分三步走，第一步先羅列兩要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并驗根．第一步在羅列兩要素R和d的過程中，確定的要素羅列出來以后，不確定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根據(jù)直線與圓相切時d＝R列方程．如圖1，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，圓O的半徑為1，點C在y軸的正半軸上，如果圓C既與直線AB相切，又與圓O相切，求點C的坐標．“既……，又……”的雙重條件問題，一般先確定一個，再計算另一個．假設圓C與直線AB相切于點D，設CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么點C的坐標為(0,4－5m)．羅列三要素：對于圓O，r＝1；對于圓C，R＝3m分類列方程：兩圓外切時，4－5m＝3m＋1；兩圓內切時，4－5m把這個問題再拓展一下，如果點C在y軸上，那么還要考慮點C在y軸負半軸．相同的是，對于圓O，r＝1；對于圓C，R＝3m；不同的是，圓心距OC＝5圖1圖1圖2圖3例422014年湖南省衡陽市中考第27題如圖1，直線AB與x軸交于點A(－4,0)，與y軸交于點B(0,3)．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿直線AB向點B移動．同時將直線以每秒0.6個單位長度的速度向上平移，交OA于點C，交OB于點D，設運動時間為t（0＜t＜5）秒．（1）證明：在運動過程中，四邊形ACDP總是平行四邊形；（2）當t取何值時，四邊形ACDP為菱形？請指出此時以點D為圓心、OD長為半徑的圓與直線AB的位置關系并說明理由．圖文解析（1）如圖2，由A(－4,0)、B(0,3)，可得直線AB的解析式為．所以直線AB//CD．在Rt△OCD中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以OC＝0.8t，CD＝t．所以AP＝CD＝t．所以四邊形ACDP總是平行四邊形．（2）如圖3，如果四邊形ACDP為菱形，那么AC＝AP．所以4－0.8t＝t．解得t＝．此時OD＝0.6t＝．所以BD＝＝．作DE⊥AB于E．在Rt△BDE中，sinB＝，BD＝，所以DE＝BD·sinB＝．因此OD＝DE，即圓心D到直線AB的距離等于圓D的半徑．所以此時圓D與直線AB相切于點E（如圖4）．考點伸展在本題情境下，點P運動到什么位置時，平行四邊形ACDP的面積最大？S平行四邊形ACDP＝AC·DO＝＝＝．當時，平行四邊形ACDP的面積最大，最大值為3．此時點P是AB的中點（如圖5）．圖4圖5例432014年湖南省株洲市中考第23題如圖1，PQ為圓O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ＝QB＝1，動點A在圓O的上半圓上運動（包含P、Q兩點），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．（1）當線段AB所在的直線與圓O相切時，求△ABC的面積（如圖1）；（2）設∠AOB＝，當線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）時，求的范圍（如圖2，直接寫出答案）；（3）當線段AB與圓O有兩個公共點A、M時，如果AO⊥PM于點N，求CM的長（如圖3）．圖1圖2圖3圖4圖5圖6圖文解析（1）如圖4，連結OA．當線段AB所在的直線與圓O相切時，OA⊥AB，A為切點．此時在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝2，所以AB＝，∠ABO＝30°．此時等邊三角形ABC的高為，所以S△ABC＝．（2）0°≤≤60°．（3）如圖5，連結MQ，那么∠PMQ＝90°．當AO⊥PM時，AO//MQ．由于Q是OB的中點，所以，M是AB的中點．所以CM⊥AB．由于O是PQ的中點，所以．所以．如圖6，連結MO．在Rt△OMN中，，MO＝1，所以MN2＝．在Rt△AMN中，AM2＝AN2＋MN2＝．所以AM＝．于是在Rt△CAM中，CM＝AM＝＝．考點伸展第（2）題的題意可以這樣理解：如圖7，過點B畫圓O的切線，切點為G．如圖8，弧上的每一個點（包括點G、Q）都是符合題意的點A，即線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）．如圖9，弧上的每一個點A（不包括點Q）與點B連成的線段AB，與圓O都有兩個交點A、M．圖7圖8圖9圖1圖2圖3§1．7因動點產(chǎn)生的線段和差問題課前導學線段和差的最值問題，常見的有兩類：第一類問題是“兩點之間，線段最短”．兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）．三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）．兩條線段差的最大值問題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當三點共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長．如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時點P在AB的延長線上，即P′．解決線段和差的最值問題，有時候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問題．第二類問題是“兩點之間，線段最短”結合“垂線段最短”．如圖4，正方形ABCD的邊長為4，AE平分∠BAC交BC于E．點P在AE上，點Q在AB上，那么△BPQ周長的最小值是多少呢？如果把這個問題看作“牛喝水”問題，AE是河流，但是點Q不確定?。谝徊?，應用“兩點之間，線段最短”．如圖5，設點B關于“河流AE”的對稱點為F，那么此刻PF＋PQ的最小值是線段FQ．第二步，應用“垂線段最短”．如圖6，在點Q運動過程中，F(xiàn)Q的最小值是垂線段FH．這樣，因為點B和河流是確定的，所以點F是確定的，于是垂線段FH也是確定的．圖4圖5圖6圖1圖2例50湖南省郴州市中考第26題已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(2,0)、C(0,2)三點．（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是第一象限內此拋物線上的一個動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標；（3）如圖2，設線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最??？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、B(2,0)兩點，設y＝a(x＋1)(x－2)．代入點C(0,2)，可得a＝－1．所以這條拋物線的解析式為y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．（2）如圖3，連結OP．設點P的坐標為(x,－x2＋x＋2)．由于S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2，所以S四邊形ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4．因此當x＝1時，四邊形ABPC的面積最大，最大值為4．此時P(1,2)．（3）第一步，幾何說理，確定點G的位置：如圖4，在△CMG中，CM為定值，因此當GC＋GM最小時，△CMG的周長最?。捎贕A＝GC，因此當GA＋GM最小時，GC＋GM最?。旤cG落在AM上時，GA＋GM最?。ㄈ鐖D5）．圖3圖4圖5圖6圖7圖8第二步，代數(shù)計算，求解點G的坐標：如圖6，，cos∠CAO＝，所以，E．如圖7，由y＝－x2＋x＋2＝，得M．由A(－1,0)、M，得直線AM的解析式為．作GH⊥x軸于H．設點G的坐標為．由于tan∠GEH＝tan∠ACO＝，所以，即EH＝2GH．所以．解得．所以G．考點伸展第（2）題求四邊形ABPC的面積，也可以連結BC（如圖8）．因為△ABC的面積是定值，因此當△PCB的面積最大時，四邊形ABPC的面積也最大．過點P作x軸的垂線，交CB于F．因為△PCF與△PBF有公共底邊PF，高的和等于C、B兩點間的水平距離，所以當PF最大時，△PCB的面積最大．設點P(x,－x2＋x＋2)，F(xiàn)(x,－x＋2)，那么PF＝－x2＋2x．當x＝1時，PF最大．此時P(1,2)．例51湖南省湘西州中考第25題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點O，點B和點C(－3,－3)均在拋物線上，點F在y軸上，過點作直線l與x軸平行．（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；（2）設點D(x,y)是線段BC上的一個動點（點D不與B、C重合），過點D作x軸的垂線，與拋物線交于點G，設線段GD的長為h，求h與x之間的函數(shù)關系式，并求出當x為何值時，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是多少？（3）若點P(m,n)是拋物線上位于第三象限的一個動點，連結PF并延長，交拋物線于另一點Q，過點Q作QS⊥l，垂足為S，過點P作PN⊥l，垂足為N，試判斷△FNS的形狀，并說明理由；（4）若點A(－2,t)在線段BC上，點M為拋物線上的一個動點，連結AF，當點M在何位置時，MF＋MA的值最?。堉苯訉懗龃藭r點M的坐標與MF＋MA的最小值．圖1圖2圖3圖4圖文解析（1）因為拋物線的頂點在坐標原點，所以y＝ax2．代入點C(－3,－3)，得．所以拋物線的解析式為．設直線BC的解析式為y＝kx＋b，代入B、C(－3,－3)，得解得，b＝－2．所以直線BC的解析式為．（2）由于點D、G分別在直線BC和拋物線上，所以D，G．所以h＝GD＝＝．因此當時，h取得最大值，最大值為．（3）如圖2，設點為H．設直線PQ的解析式為．聯(lián)立直線PQ：與拋物線，消去y，得．所以x1·x2＝．它的幾何意義是HS·HN＝．又因為HF＝．所以HF2＝HS·HN．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因為∠1與∠3互余，所以∠2與∠3互余．所以△FNS是直角三角形．（4）MF＋MA的最小值是，此時點M的坐標是．考點伸展第（3）題也可以通過計算得到PF＝PN．同理得到QF＝QS．這樣我們就可以根據(jù)“等邊對等角”及“兩直線平行，內錯角相等”，得到∠NFC＝90°．應用這個結論，就容易解答第（4）題：如圖3，作ME⊥l于E，那么MF＝ME．當ME＋MA的值最小時，MF＋MA的值也最?。擜、M、E三點共線時，ME＋MA的值最小，最小值為AE．而AE的最小值為點A到l的垂線段，即AE⊥l時，AE最?。ㄈ鐖D4）．§2．1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關系問題課前導學（一）圖形運動的過程中，求兩條線段之間的函數(shù)關系，是中考數(shù)學的熱點問題．產(chǎn)生兩條線段間的函數(shù)關系，常見的情況有兩種，一是勾股定理，二是比例關系．還有一種不常見的，就是線段全長等于部分線段之和．由勾股定理產(chǎn)生的函數(shù)關系，在兩種類型的題目中比較常用．類型一，已知“邊角邊”，至少一邊是動態(tài)的，求角的對邊．如圖1，已知點A的坐標為(3,4)，點B是x軸正半軸上的一個動點，設OB＝x，AB＝y(tǒng)，那么我們在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y(tǒng)關于x的函數(shù)關系式．類型二，圖形的翻折．已知矩形OABC在坐標平面內如圖2所示，AB＝5，點O沿直線EF翻折后，點O的對應點D落在AB邊上，設AD＝x，OE＝y(tǒng)，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y(tǒng)關于x的函數(shù)關系式．圖1圖2圖1圖2圖3由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關系問題，在兩種類型的題目中比較常用．一是由平行線產(chǎn)生的對于線段成比例，二是相似三角形的對應邊成比例．一般步驟是先說理產(chǎn)生比例關系，再代入數(shù)值或表示數(shù)的字母，最后整理、變形，根據(jù)要求寫出定義域．關鍵是尋找比例關系，難點是有的整理、變形比較繁瑣，容易出錯．課前導學（二）圖形運動的過程中，求面積隨某個量變化的函數(shù)關系，是中考數(shù)學的熱點問題．計算面積常見的有四種方法，一是規(guī)則圖形的面積用面積公式；二是不規(guī)則圖形的面積通過割補進行計算；三是同高（或同底）三角形的面積比等于對應邊（或高）的比；四是相似三角形的面積比等于相似比的平方．前兩種方法容易想到，但是靈活使用第三種和第四種方法，可以使得運算簡單．一般情況下，在求出面積S關于自變量x的函數(shù)關系后，會提出在什么情況下（x為何值時），S取得最大值或最小值．關于面積的最值問題，有許多經(jīng)典的結論．例1，周長一定的矩形，當正方形時，面積最大．例2，面積一定的矩形，當正方形時，周長最?。?，周長一定的正多邊形，當邊數(shù)越大時，面積越大，極限值是圓．例4，如圖1，銳角△ABC的內接矩形DEFG的面積為y，AD＝x，當點D是AB的中點時，面積y最大．例5，如圖2，點P在直線AB上方的拋物線上一點，當點P位于AB的中點E的正上方時，△PAB的面積最大．例6，如圖3，△ABC中，∠A和對邊BC是確定的，當AB＝AC時，△ABC的面積最大．例1湖南省常德市中考第26題如圖1，圖2，已知四邊形ABCD為正方形，在射線AC上有一動點P，作PE⊥AD（或延長線）于E，作PF⊥DC（或延長線）于F，作射線BP交EF于G．（1）在圖1中，正方形ABCD的邊長為2，四邊形ABFE的面積為y，設AP＝，求y關于的函數(shù)表達式；（2）GB⊥EF對于圖1，圖2都是成立的，請任選一圖形給出證明；（3）請根據(jù)圖2證明：△FGC∽△PFB．圖1圖2圖3圖4圖文解析（1）如圖3，延長EP交BC于M，延長FP交AB于N，那么四邊形AEPN和四邊形CFPM是正方形．由AP＝，可得正方形AEPN的邊長為．所以FC＝DE＝．由于S△DEF＝＝，S△BCF＝＝，所以y＝S四邊形ABFE＝S正方形ABCD－S△DEF－S△BCF＝4－－＝．（2）如圖4，因為tan∠EFP＝，tan∠PBN＝，且PE＝NP，PF＝NB，所以∠EFP＝∠PBN．又因為∠1＝∠2，∠1＋∠PBN＝90°，所以∠2＋∠EFP＝90°．所以GB⊥EF．（3）如圖5，由于GB⊥EF，∠BCF＝90°，所以B、C、G、F四點共圓．所以∠FCG＝∠PBF，∠CGB＝∠CFB．又因為∠CGF＝∠CGB＋90°，∠BFP＝∠CFB＋90°，所以∠CGF＝∠BFP．所以△FGC∽△PFB．圖5圖6圖7考點伸展如圖6，由于tan∠EFP＝tan∠PBN，所以∠EFP＝∠PBN．又因為∠PBN＋∠1＝90°，所以∠EFP＋∠1＝90°．因此這種情況下，依然有BG⊥EF．第（1）題還有更簡便的割補辦法：如圖7，連結EN．由于S四邊形NBFE＝S△ENF＋S△BNF＝，S△AEN＝，所以y＝S四邊形ABFE＝S四邊形NBFE＋S△AEN＝．例2湖南省湘潭市中考第25題如圖1，△ABC為等邊三角形，邊長為a，點F在BC邊上，DF⊥AB，EF⊥AC，垂足分別為D、E．（1）求證：△BDF∽△CEF；（2）若a＝4，設BF＝m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數(shù)關系，并探究當m為何值時S取得最大值；（3）已知A、D、F、E四點共圓，已知tan∠EDF＝，求此圓的直徑（用含a的式子表示）．圖文解析（1）如圖1，因為∠B＝∠C＝60°，∠BDF＝∠CEF＝90°，所以△BDF∽△CEF．（2）如圖2，當?shù)冗吶切蜛BC的邊長a＝4時，S△ABC＝．在Rt△BDF中，∠B＝60°，BF＝m，所以，．所以S△BDF＝＝．在Rt△CEF中，∠C＝60°，CF＝4－m，所以，．所以S△CEF＝＝．因此S＝S四邊形ADFE＝S△ABC－S△BDF－S△CEF＝＝＝．所以當m＝2時，S取得最大值，最大值為．此時點F是BC的中點（如圖3）．（3）如圖4，由于A、D、F、E四點共圓，所以∠EAF＝∠EDF．因為∠AEF＝90°，所以AF是圓的直徑．在Rt△EAF中，由于tan∠EAF＝＝，設EF＝，EA＝2x．在Rt△ECF中，∠C＝60°，所以．因此EC＝x．由AC＝EA＋EC＝a，得2x＋x＝a．所以x＝．所以在Rt△EAF中，EF＝，EA＝，由勾股定理，得圓的直徑AF＝．圖1圖2圖3圖4考點伸展第（2）題也可以求△ADF與△AEF的面積和．由于，，所以AD＝，S△ADF＝．由于，，所以AE＝，S△AEF＝．因此S＝S△ADF＋S△AEF＝＝．例3湖南省郴州市中考第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm，AD是斜邊BC上的高，垂足為D，BE＝1cm，點M從點B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動，點N從點E出發(fā)，與點M同時同方向以相同的速度運動．以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH．點M到達點D時停止運動，點N到達點C時停止運動．設運動時間為t（s）．（1）當t為何值時，點G剛好落在線段AD上？（2）設正方形MNGH與Rt△ABC重疊部分的圖形的面積為S．當重疊部分的圖形是正方形時，求出S關于t的函數(shù)關系式并寫出自變量t的取值范圍；（3）設正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交于點P，連結DP，當t為何值時，△CPD是等腰三角形？圖2圖1圖3圖4圖5當點G剛好落在線段AD上時，DN＝0．而DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以3－t＝0．解得t＝3．（2）重疊部分的圖形是正方形，存在兩種情況：①當HM在AD的左側時，正方形MNGH的大小不變，邊長為1，S＝1．如圖3，當H落在AB上時，BM＝HMtan30°＝．所以≤t＜4．②如圖4，當HM在AD上時，正方形的邊長為t－3，S＝(t－3)2．如圖5，當G落在AC上時，AH＝HGtan30°＝．由AD＝，得．解得．所以4≤t≤．（3）等腰三角形CPD存在兩種情況：①如圖6，當PC＝PD時，點P在DC的垂直平分線上，N是DC的中點．此時t＝3＋6＝9．②如圖7，當CP＝CD＝12時，在Rt△CPN中，由cos30°＝，得．此時t＝．圖6圖725題圖1考點伸展當點G落在AC上時，CG∶AG的比值是多少呢？如圖5，．

例4湖南省常德市中考第25題如圖1，曲線y1是拋物線的一部分，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且表達式為（x≤3），曲線y2與曲線y1關于直線x＝3對稱．（1）求A、B、C三點的坐標和曲線y2的表達式；（2）過點C作CD//x軸交曲線y1于點D，連結AD，在曲線y2上有一點M，使得四邊形ACDM為箏形（如果一個四邊形的一條對角線被另一條對角線垂直平分，這樣的四邊形為箏形），請求出點M的橫坐標；（3）設直線CM與軸交于點N，試問在線段MN下方的曲線y2上是否存在一點P，使△PMN的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．圖文解析（1）由，得A(－1,0)、B(3,0)、C(0,)．因為A(－1,0)、B(3,0)關于直線x＝3的對稱點為A′(7,0)、B(3,0)，所以拋物線y2的表達式為（x＞3）．（2）由CD//x軸，可知C、D關于拋物線y1的對稱軸x＝1對稱，所以D(2,)．如圖2，由A(－1,0)、C(0,)、D(2,)，可得AC＝DC＝2．因此點C在AD的垂直平分線上．如果四邊形ACDM的對角線互相垂直平分，那么四邊形ACDM是菱形，此時點M在x軸上，不在拋物線y2上．因此只存在MC垂直平分AD的情況．如圖2，如圖3，過點A、M分別作x軸的垂線，與直線CD分別交于點G、H，那么∠ADG＝∠CMH．由于tan∠ADG＝＝，所以∠ADC＝30°．因此．設M，那．整理，得x2－13x＋24＝0．解得．所以點M的橫坐標為．（3）如圖2，如圖3，由于∠ADC＝30°，當CM⊥AD時，∠OCN＝30°．所以ON＝OC＝1，N(1,0)．所以直線CN為．如圖4，過點P作x軸的垂線，垂足為K，PK交MN于E，過點M作y軸的垂線交PK于F．所以S△PMN＝S△PME＋S△PNE＝．因為MF＋NK為定值，因此當PE最大時，△PMN的面積最大．設P，E，那么PE＝＝＝．所以當時，PE取得最大值，△PMN面積最大．此時P．考點伸展第（3）題也可以這樣思考：如圖5，由于MN是定值，因此點P到MN的距離最大時，△PMN的面積也最大．過點P作MN的平行線，當這條直線與拋物線y2只有一個交點時，兩條平行線間的距離最大，也就是說方程組只有一組解，即?＝0．解得．圖2圖3圖4圖5§3．1代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題課前導學計算說理是通過計算得到結論；說理計算側重說理，說理之后進行代入求值．壓軸題中的代數(shù)計算題，主要是函數(shù)類題．函數(shù)計算題必考的是待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，按照設、列、解、驗、答五步完成，一般來說，解析式中待定幾個字母，就要代入幾個點的坐標．還有一類計算題，就是從特殊到一般，通過計算尋找規(guī)律．代數(shù)計算和說理較多的一類題目，是確定直線與拋物線的交點個數(shù).聯(lián)立直線和拋物線的解析式組成方程組，消去y，得到關于x的一元二次方程，然后根據(jù)?確定交點的個數(shù)．我們介紹一下求函數(shù)圖像交點坐標的幾何方法．如圖1，已知直線y＝x＋1與x軸交于點A，拋物線y＝x2－2x－3與直線y＝x＋1交于A、B兩點，求點B的坐標的代數(shù)方法，就是聯(lián)立方程組，方程組的一個解是點A的坐標，另一個解計算點的坐標．幾何法是這樣的：設直線AB與y軸分別交于C，那么tan∠AOC＝1．作BE⊥x軸于E，那么．設B(x,x2－2x－3)，于是．請注意，這個分式的分子因式分解后，．這個分式能不能約分，為什么？因為x＝－1的幾何意義是點A，由于點B與點A不重合，所以x≠－1，因此約分以后就是x－3＝1．這樣的題目一般都是這樣，已知一個交點求另一個交點，經(jīng)過約分，直接化為一元一次方程，很簡便．圖1圖1圖2圖3例1湖南省長沙市中考第25題在平面直角坐標系中，我們不妨把橫坐標和縱坐標相等的點叫“夢之點”，例如點（1,1），(－2,－2)，，…，都是“夢之點”，顯然“夢之點”有無數(shù)個．（1）若點P(2,m)是反比例函數(shù)（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢之點”，求這個反比例函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)y＝3kx＋s－1（k、s為常數(shù)）的圖象上存在“夢之點”嗎？若存在，請求出“夢之點”的坐標，若不存在，說明理由；（3）若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1（a、b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個“夢之點”A(x1,x1)、B(x2,x2)，且滿足－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，令，試求t的取值范圍．圖文解析（1）因為點P(2,m)是“夢之點”，所以P(2,2)．所以．（2）“夢之點”一定在直線y＝x上，直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x的位置關系有重合、平行、相交．①如圖1，當直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x重合時，有無數(shù)個“夢之點”．此時k＝，s＝1．②如圖2，當直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x平行時，沒有“夢之點”．此時k＝，s≠1．③如圖3，當直線y＝3kx＋s－1與直線y＝x相交時，有1個“夢之點”．此時k≠，“夢之點”的坐標為．（3）因為A(x1,x1)、B(x2,x2)兩點是拋物線與直線y＝x的交點，聯(lián)立y＝ax2＋bx＋1和y＝x，消去y，整理，得ax2＋(b－1)x＋1＝0．所以x1x2＝＞0．所以A、B兩點在y軸的同側．如圖4，由|x1－x2|＝2，可知A、B兩點間的水平距離、豎直距離都是2．已知－2＜x1＜2，我們分兩種情況來探求a的取值范圍：①當A、B兩點在y軸右側時，0＜x1＜2，2＜x2＜4．所以0＜x1x2＜8．②當A、B兩點在y軸左側時，－2＜x1＜0，－4＜x2＜－2．所以0＜x1x2＜8．綜合①、②，不論0＜x1＜2或－2＜x1＜0，都有0＜x1x2＜8．所以0＜＜8．所以a＞．由ax2＋(b－1)x＋1＝0，得x1＋x2＝，x1x2＝．由|x1－x2|＝2，得(x1－x2)2＝4．所以(x1＋x2)2－4x1x2＝4．所以．整理，得．所以＝＝＝．如圖5，這條拋物線的開口向上，對稱軸是直線，在對稱軸右側，t隨a的增大而增大．因此當時，t取得最小值，t＝＝．所以t的取值范圍是t＞．圖4圖5考點伸展第（3）題我們也可以這樣來討論：一方面，由|x1－x2|＝2，得(x1－x2)2＝4．所以(x1＋x2)2－4x1x2＝4．所以．整理，得．另一方面，由f(2)＞0，f(－2)＜0，得f(2)f(－2)＜0．所以＜0．所以＝＝＜0．所以a＞．例2湖南省懷化市中考第23題設m是不小于－1的實數(shù)，使得關于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．（1）若，求的值；（2）求的最大值．圖文解析（1）因為方