挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題

挑戰(zhàn)壓軸題馬學(xué)斌·編著目錄第一部分函數(shù)圖象中點的存在性問題1.1因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例12015年上海市寶山嘉定區(qū)中考模擬第24題例22014年武漢市中考第24題例32012年蘇州市中考第29題例42012年黃岡市中考第25題例52010年義烏市中考第24題例62009年臨沂市中考第26題1.2因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例12015年重慶市中考第25題例22014年長沙市中考第第26題例32013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題例42012年揚州市中考第27題例52012年臨沂市中考第26題例62011年鹽城市中考第28題1.3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例12015年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題例22014年蘇州市中考第29題例32013年山西省中考第26題例42012年廣州市中考第24題例52012年杭州市中考第22題 例62011年浙江省中考第23題例72010年北京市中考第24題1.4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例12015年成都市中考第28題例22014年陜西省中考第24題例32013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題例42012年福州市中考第21題例52012年煙臺市中考第26題例62011年上海市中考第24題例72011年江西省中考第24題1.5因動點產(chǎn)生的梯形問題例12015年上海市徐匯區(qū)中考模擬第24題例22014年上海市金山區(qū)中考模擬第24題例32012年上海市松江中考模擬第24題例42012年衢州市中考第24題例52011年義烏市中考第24題1.6因動點產(chǎn)生的面積問題例12015年河南市中考第23題例22014年昆明市中考第23題例32013年蘇州市中考第29題例42012年菏澤市中考第21題例52012年河南省中考第23題例62011年南通市中考第28題例72010年廣州市中考第25題1.7因動點產(chǎn)生的相切問題例12015年上海市閔行區(qū)中考模擬第24題例22014年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例32013年上海市楊浦區(qū)中考模擬第25題1.8因動點產(chǎn)生的線段和差問題例12015年福州市中考第26題例22014年廣州市中考第24題例32013年天津市中考第25題例42012年濱州市中考第24題第二部分圖形運動中的函數(shù)關(guān)系問題2.1由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題例12015年呼和浩特市中考第25題例22014年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例32013年寧波市中考第26題例42012年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題2.2由面積公式產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題例12015年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題例22014年黃岡市中考第25題例32013年菏澤市中考第21題例42012年廣東省中考第22題例52012年河北省中考第26題例62011年淮安市中考第28題第三部分圖形運動中的計算說理問題3.1代數(shù)計算及通過代數(shù)計算進行說理問題例12015年北京市中考第29題例22014年福州市中考第22題例32013年南京市中考第26題3.2幾何證明及通過幾何計算進行說理問題例12015年杭州市中考第22題例22014年安徽省中考第23題例32013年上海市黃浦區(qū)中考模擬第24題第四部分圖形的平移翻折與旋轉(zhuǎn)4.1圖形的平移圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“14武漢24”，拖動點P運動，可以體驗到，若△BPQ可以兩次成為直角三角形，與△ABC相似．當(dāng)AQ⊥CP時，△ACQ∽△CDP．PQ的中點H在△ABC的中位線EF上．思路點撥1．△BPQ與△ABC有公共角，按照夾角相等，對應(yīng)邊成比例，分兩種情況列方程．2．作PD⊥BC于D，動點P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．3．PQ的中點H在哪條中位線上？畫兩個不同時刻P、Q、H的位置，一目了然．滿分解答（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ與△ABC相似，存在兩種情況：①如果，那么．解得t＝1．②如果，那么．解得．圖3圖4（2）作PD⊥BC，垂足為D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．當(dāng)AQ⊥CP時，△ACQ∽△CDP．所以，即．解得．圖5圖6（3）如圖4，過PQ的中點H作BC的垂線，垂足為F，交AB于E．由于H是PQ的中點，HF//PD，所以F是QD的中點．又因為BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中點，E是AB的中點．所以PQ的中點H在△ABC的中位線EF上．考點伸展本題情景下，如果以PQ為直徑的⊙H與△ABC的邊相切，求t的值．如圖7，當(dāng)⊙H與AB相切時，QP⊥AB，就是，．如圖8，當(dāng)⊙H與BC相切時，PQ⊥BC，就是，t＝1．如圖9，當(dāng)⊙H與AC相切時，直徑，半徑等于FC＝4．所以．解得，或t＝0（如圖10，但是與已知0＜t＜2矛盾）．圖7圖8圖9圖10例32012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點C．（1）點B的坐標(biāo)為______，點C的坐標(biāo)為__________（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動點B在x軸的正半軸上運動，可以體驗到，點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形PCOB的面積等于2b的時刻．雙擊按鈕“第（3）題”，拖動點B，可以體驗到，存在∠OQA＝∠B的時刻，也存在∠OQ′A＝∠B的時刻．思路點撥1．第（2）題中，等腰直角三角形PBC暗示了點P到兩坐標(biāo)軸的距離相等．2．聯(lián)結(jié)OP，把四邊形PCOB重新分割為兩個等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示．3．第（3）題要探究三個三角形兩兩相似，第一直覺這三個三角形是直角三角形，點Q最大的可能在經(jīng)過點A與x軸垂直的直線上．滿分解答（1）B的坐標(biāo)為(b,0)，點C的坐標(biāo)為(0,)．（2）如圖2，過點P作PD⊥x軸，PE⊥y軸，垂足分別為D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,x)．如圖3，聯(lián)結(jié)OP．所以S四邊形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以點P的坐標(biāo)為()．圖2圖3（3）由，得A(1,0)，OA＝1．①如圖4，以O(shè)A、OC為鄰邊構(gòu)造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．當(dāng)，即時，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合題意的點Q為()．②如圖5，以O(shè)C為直徑的圓與直線x＝1交于點Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．當(dāng)時，△BQA∽△QOA．此時∠OQB＝90°．所以C、Q、B三點共線．因此，即．解得．此時Q(1,4)．圖4圖5考點伸展第（3）題的思路是，A、C、O三點是確定的，B是x軸正半軸上待定的點，而∠QOA與∠QOC是互余的，那么我們自然想到三個三角形都是直角三角形的情況．這樣，先根據(jù)△QOA與△QOC相似把點Q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點B的位置．如圖中，圓與直線x＝1的另一個交點會不會是符合題意的點Q呢？如果符合題意的話，那么點B的位置距離點A很近，這與OB＝4OC矛盾．例42012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程C1：(m＞0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側(cè)．（1）若拋物線C1過點M(2,2)，求實數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動點C在x軸正半軸上運動，觀察左圖，可以體驗到，EC與BF保持平行，但是∠BFC在無限遠(yuǎn)處也不等于45°．觀察右圖，可以體驗到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE思路點撥1．第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)H落在線段EC上時，BH＋EH最?。?．第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示點F的坐標(biāo)．然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程．滿分解答（1）將M(2,2)代入，得．解得m＝4．（2）當(dāng)m＝4時，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝．（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當(dāng)H落在線段EC上時，BH＋EH最?。O(shè)對稱軸與x軸的交點為P，那么．因此．解得．所以點H的坐標(biāo)為．（4）①如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以當(dāng)，即時，△BCE∽△FBC．設(shè)點F的坐標(biāo)為，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程無解．圖2圖3圖4②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．綜合①、②，符合題意的m為．考點伸展第（4）題也可以這樣求BF的長：在求得點F′、F的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點間的距離公式求BF的長．例52010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形OABC，拋物線分別過點O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形OABC的上下底邊所在的直線OA、CB以相同的速度同時向上平移，分別交拋物線于點O1、A1、C1、B1，得到如圖2的梯形O1A1B1C1．設(shè)梯形O1A1B1C1的面積為S，A1、B1的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代數(shù)式表示x2－x1，并求出當(dāng)S（3）在圖1中，設(shè)點D的坐標(biāo)為(1，3)，動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿著線段BC運動，動點Q從點D出發(fā)，以與點P相同的速度沿著線段DM運動．P、Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達(dá)點M時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)P、Q兩點的運動時間為t，是否存在某一時刻t，使得直線PQ、直線AB、x軸圍成的三角形與直線PQ、直線AB、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動點I上下運動，觀察圖形和圖象，可以體驗到，x2－x1隨S的增大而減?。p擊按鈕“第（3）題”，拖動點Q在DM上運動，可以體驗到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF與△GQE思路點撥1．第（2）題用含S的代數(shù)式表示x2－x1，我們反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2－y1＝3．通過代數(shù)變形就可以了．2．第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計算，后驗證．3．第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線AB與x軸的夾角不變，直線AB與拋物線的對稱軸的夾角不變．變化的直線PQ的斜率，因此假設(shè)直線PQ與AB的交點G在x軸的下方，或者假設(shè)交點G在x軸的上方．滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點為M（1，）．（2）梯形O1A1B1C1的面積，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．當(dāng)S=36時，解得此時點A1的坐標(biāo)為（6，3）．（3）設(shè)直線AB與PQ交于點G，直線AB與拋物線的對稱軸交于點E，直線PQ與x軸交于點F，那么要探求相似的△GAF與△GQE，有一個公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直線AB與拋物線對稱軸的夾角，為定值．在△GAF中，∠GAF是直線AB與x軸的夾角，也為定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．這時∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于，，所以．解得．圖3圖4考點伸展第（3）題是否存在點G在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的．事實上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實際的圖形更接近圖3．例62009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三點．（1）求此拋物線的解析式；（2）P是拋物線上的一個動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以A、P、M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線是有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標(biāo)．,圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動點P在拋物線上運動，可以體驗到，△PAM的形狀在變化，分別雙擊按鈕“P在B左側(cè)”、“P在x軸上方”和“P在A右側(cè)”，可以顯示△PAM與△OAC相似的三個情景．雙擊按鈕“第(3)題”，拖動點D在x軸上方的拋物線上運動，觀察△DCA的形狀和面積隨D變化的圖象，可以體驗到，E是AC的中點時，△DCA的面積最大．思路點撥1．已知拋物線與x軸的兩個交點，用待定系數(shù)法求解析式時，設(shè)交點式比較簡便．2．?dāng)?shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點的坐標(biāo)，用點的坐標(biāo)表示線段的長．3．按照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程．4．把△DCA可以分割為共底的兩個三角形，高的和等于OA．滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(4，0)、B（1，0)兩點，設(shè)拋物線的解析式為，代入點C的坐標(biāo)（0，－2），解得．所以拋物線的解析式為．（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為．①如圖2，當(dāng)點P在x軸上方時，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合題意．如果，那么．解得．此時點P的坐標(biāo)為（2，1）．②如圖3，當(dāng)點P在點A的右側(cè)時，x＞4，，．解方程，得．此時點P的坐標(biāo)為．解方程，得不合題意．③如圖4，當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，x＜1，，．解方程，得．此時點P的坐標(biāo)為．解方程，得．此時點P與點O重合，不合題意．綜上所述，符合條件的點P的坐標(biāo)為（2，1）或或．圖2圖3圖4（3）如圖5，過點D作x軸的垂線交AC于E．直線AC的解析式為．設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m，那么點D的坐標(biāo)為，點E的坐標(biāo)為．所以．因此．當(dāng)時，△DCA的面積最大，此時點D的坐標(biāo)為（2，1）．圖5圖6考點伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過D點構(gòu)造矩形OAMN，那么△DCA的面積等于直角梯形CAMN的面積減去△CDN和△ADM的面積．設(shè)點D的橫坐標(biāo)為（m，n），那么．由于，所以．因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例12015年重慶市中考第25題如圖1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，點E是∠BAC的平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點H是AC的中點，AC＝，求AB、BD的長；（2）如圖1，求證：HF＝EF．（3）如圖2，連接CF、CE，猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，請說明理由．圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“15重慶25”，拖動點E運動，可以體驗到，△FAE與△FDH保持全等，△CMF與△CAE保持全等，△CEF保持等邊三角形的形狀．思路點撥1．把圖形中所有30°的角都標(biāo)注出來，便于尋找等角和等邊．2．中點F有哪些用處呢？聯(lián)想到斜邊上的中線和中位線就有思路構(gòu)造輔助線了．滿分解答（1）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．（2）如圖4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．因為點F是Rt△ABD的斜邊上的中線，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．圖3圖4圖5（3）如圖5，作FM⊥AB于M，聯(lián)結(jié)CM．由FM//DA，F(xiàn)是DB的中點，得M是AB的中點．因此FM＝，△ACM是等邊三角形．又因為AE＝，所以FM＝EA．又因為CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等邊三角形．考點伸展我們再看幾個特殊位置時的效果圖，看看有沒有熟悉的感覺．如圖6，如圖7，當(dāng)點F落在BC邊上時，點H與點C重合．圖6圖7如圖8，圖9，點E落在BC邊上．如圖10，圖11，等腰梯形ABEC．圖8圖9圖10圖11例22014年長沙市中考第26題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點，點P在該拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點A(0,2)．（1）求a、b、c的值；（2）求證：在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交；（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1,0)、N(x2,0)兩點，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求圓心P的縱坐標(biāo)．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14長沙26”，拖動圓心P在拋物線上運動，可以體驗到，圓與x軸總是相交的，等腰三角形AMN存在三種情況．思路點撥1．不算不知道，一算真奇妙，原來⊙P在x軸上截得的弦長MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三種情況，其中MA＝MN和NA＝NM兩種情況時，點P的縱坐標(biāo)是相等的．滿分解答（1）已知拋物線的頂點為(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．將代入y＝ax2，得．解得（舍去了負(fù)值）．（2）拋物線的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為．已知A(0,2)，所以＞．而圓心P到x軸的距離為，所以半徑PA＞圓心P到x軸的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與x軸相交．（3）如圖2，設(shè)MN的中點為H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，為定值．等腰△AMN存在三種情況：①如圖3，當(dāng)AM＝AN時，點P為原點O重合，此時點P的縱坐標(biāo)為0．圖2圖3②如圖4，當(dāng)MA＝MN時，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以O(shè)M＝2．此時x＝OH＝2．所以點P的縱坐標(biāo)為．③如圖5，當(dāng)NA＝NM時，點P的縱坐標(biāo)為也為．圖4圖5考點伸展如果點P在拋物線上運動，以點P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點B(0,1)，那么在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．這是因為：設(shè)點P的坐標(biāo)為．已知B(0,1)，所以．而圓心P到直線y＝－1的距離也為，所以半徑PB＝圓心P到直線y＝－1的距離．所以在點P運動的過程中，⊙P始終與直線y＝－1相切．例32013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，點D為邊BC的中點，DE⊥BC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的長；（2）若BP＝2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長．圖1備用圖動感體驗請打開幾何畫板文件名“13虹口25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，△PDM與△QDN保持相似．觀察△PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DF＝DP的情況．請打開超級畫板文件名“13虹口25”，拖動點P在射線AB上運動，可以體驗到，△PDM與△QDN保持相似．觀察△PDF，可以看到，P、F可以落在對邊的垂直平分線上，不存在DF＝DP的情況．思路點撥1．第（2）題BP＝2分兩種情況．2．解第（2）題時，畫準(zhǔn)確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系．3．第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ．滿分解答（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．（2）如圖2，過點D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是△ABC的兩條中位線，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．圖2圖3圖4①如圖3，當(dāng)BP＝2，P在BM上時，PM＝1．此時．所以．②如圖4，當(dāng)BP＝2，P在MB的延長線上時，PM＝5．此時．所以．（3）如圖5，如圖2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．當(dāng)△PDF是等腰三角形時，△CDQ也是等腰三角形．①如圖5，當(dāng)CQ＝CD＝5時，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如圖3所示）．此時．所以．②如圖6，當(dāng)QC＝QD時，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如圖2所示）．此時．所以．③不存在DP＝DF的情況．這是因為∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如圖5，圖6所示）．圖5圖6考點伸展如圖6，當(dāng)△CDQ是等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．例42012年揚州市中考第27題如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點P是直線l上的一個動點，當(dāng)△PAC的周長最小時，求點P的坐標(biāo)；（3）在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12揚州27”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，當(dāng)點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最?。蟿狱cM在拋物線的對稱軸上運動，觀察△MAC的三個頂點與對邊的垂直平分線的位置關(guān)系，可以看到，點M有1次機會落在AC的垂直平分線上；點A有2次機會落在MC的垂直平分線上；點C有2次機會落在MA的垂直平分線上，但是有1次M、A、C三點共線．思路點撥1．第（2）題是典型的“牛喝水”問題，點P在線段BC上時△PAC的周長最?。?．第（3）題分三種情況列方程討論等腰三角形的存在性．滿分解答（1）因為拋物線與x軸交于A(－1,0)、B(3,0)兩點，設(shè)y＝a(x＋1)(x－3)，代入點C(0,3)，得－3a＝3．解得a所以拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1．當(dāng)點P落在線段BC上時，PA＋PC最小，△PAC的周長最?。O(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以點P的坐標(biāo)為(1,2)．圖2（3）點M的坐標(biāo)為(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考點伸展第（3）題的解題過程是這樣的：設(shè)點M的坐標(biāo)為(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如圖3，當(dāng)MA＝MC時，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此時點M的坐標(biāo)為(1,1)．②如圖4，當(dāng)AM＝AC時，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此時點M的坐標(biāo)為(1,)或(1,)．③如圖5，當(dāng)CM＝CA時，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．當(dāng)M(1,6)時，M、A、C三點共線，所以此時符合條件的點M的坐標(biāo)為(1,0)．圖3圖4圖5例52012年臨沂市中考第26題如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12臨沂26”，拖動點P在拋物線的對稱軸上運動，可以體驗到，⊙O和⊙B以及OB的垂直平分線與拋物線的對稱軸有一個共同的交點，當(dāng)點P運動到⊙O與對稱軸的另一個交點時，B、O、P三點共線．請打開超級畫板文件名“12臨沂26”，拖動點P，發(fā)現(xiàn)存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形思路點撥1．用代數(shù)法探求等腰三角形分三步：先分類，按腰相等分三種情況；再根據(jù)兩點間的距離公式列方程；然后解方程并檢驗．2．本題中等腰三角形的角度特殊，三種情況的點P重合在一起．滿分解答（1）如圖2，過點B作BC⊥y軸，垂足為C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以點B的坐標(biāo)為．（2）因為拋物線與x軸交于O、A(4,0)，設(shè)拋物線的解析式為y＝ax(x－4)，代入點B，．解得．所以拋物線的解析式為．（3）拋物線的對稱軸是直線x＝2，設(shè)點P的坐標(biāo)為(2,y)．①當(dāng)OP＝OB＝4時，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．當(dāng)P在時，B、O、P三點共線（如圖2）．②當(dāng)BP＝BO＝4時，BP2＝16．所以．解得．③當(dāng)PB＝PO時，PB2＝PO2．所以．解得．綜合①、②、③，點P的坐標(biāo)為，如圖2所示．圖2圖3考點伸展如圖3，在本題中，設(shè)拋物線的頂點為D，那么△DOA與△OAB是兩個相似的等腰三角形．由，得拋物線的頂點為．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．例62011年鹽城市中考第28題如圖1，已知一次函數(shù)y＝－x＋7與正比例函數(shù)的圖象交于點A，且與x軸交于點B．求點A和點B的坐標(biāo)（2）過點A作AC⊥y軸于點C，過點B作直線l//y軸．動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長的速度，沿O—C—A的路線向點A運動；同時直線l從點B出發(fā)，以相同速度向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BA或線段AO于點Q．當(dāng)點P到達(dá)點A時，點P和直線l都停止運動．在運動過程中，設(shè)動點P運動的時間為t秒．①當(dāng)t為何值時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8？②是否存在以A、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11鹽城28”，拖動點R由B向O運動，從圖象中可以看到，△APR的面積有一個時刻等于8．觀察△APQ，可以體驗到，P在OC上時，只存在AP＝AQ的情況；P在CA上時，有三個時刻，△APQ是等腰三角形．思路點撥1．把圖1復(fù)制若干個，在每一個圖形中解決一個問題．2．求△APR的面積等于8，按照點P的位置分兩種情況討論．事實上，P在CA上運動時，高是定值4，最大面積為6，因此不存在面積為8的可能．3．討論等腰三角形APQ，按照點P的位置分兩種情況討論，點P的每一種位置又要討論三種情況．滿分解答（1）解方程組得所以點A的坐標(biāo)是(3，4)．令，得．所以點B的坐標(biāo)是(7，0)．（2）①如圖2，當(dāng)P在OC上運動時，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如圖3，當(dāng)P在CA上運動時，△APR的最大面積為6．因此，當(dāng)t＝2時，以A、P、R為頂點的三角形的面積為8．圖2圖3圖4②我們先討論P在OC上運動時的情形，0≤t＜4．如圖1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以O(shè)B＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如圖4，點P由O向C運動的過程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x軸．因此∠AQP＝45°保持不變，∠PAQ越來越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情況．此時點A在PQ的垂直平分線上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我們再來討論P在CA上運動時的情形，4≤t＜7．在△APQ中，為定值，，．如圖5，當(dāng)AP＝AQ時，解方程，得．如圖6，當(dāng)QP＝QA時，點Q在PA的垂直平分線上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．如7，當(dāng)PA＝PQ時，那么．因此．解方程，得．綜上所述，t＝1或或5或時，△APQ是等腰三角形．圖5圖6圖7考點伸展當(dāng)P在CA上，QP＝QA時，也可以用來求解．1.3因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例12015年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，點E為射線CD上一動點（不與點C重合），聯(lián)結(jié)AE交邊BC于F，∠BAE的平分線交BC于點G．（1）當(dāng)CE＝3時，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）設(shè)CE＝x，AE＝y(tǒng)，當(dāng)CG＝2GB時，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)AC＝5時，聯(lián)結(jié)EG，若△AEG為直角三角形，求BG的長．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“15虹口25”，拖動直角頂點C運動，可以體驗到，CG＝2GB保持不變，△ABC的形狀在改變，EA＝EM保持不變．點擊屏幕左下角的按鈕“第（3）題”，拖動E在射線CD上運動，可以體驗到，△AEG可以兩次成為直角三角形．思路點撥1．第（1）題中的△CEF和△CAF是同高三角形，面積比等于底邊的比．2．第（2）題中的△ABC是斜邊為定值的形狀不確定的直角三角形．3．第（3）題中的直角三角形AEG分兩種情況討論．滿分解答（1）如圖2，由CE//AB，得．由于△CEF與△CAF是同高三角形，所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．圖2（2）如圖3，延長AG交射線CD于M．由CM//AB，得．所以CM＝2AB＝26．由CM//AB，得∠EMA＝∠BAM．又因為AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM．所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．圖3圖4（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如圖4，當(dāng)∠AGE＝90°時，延長EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中點．所以G是BC的中點，BG＝6．②如圖5，當(dāng)∠AEG＝90°時，由△CAF∽△EGF，得．由CE//AB，得．所以．又因為∠AFG＝∠BFA，所以△AFG∽△BFA．所以∠FAG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝．在Rt△GBH中，由cos∠B＝，得BG＝÷＝．圖5圖6考點伸展第（3）題的第②種情況，當(dāng)∠AEG＝90°時的核心問題是說理GA＝GB．如果用四點共圓，那么很容易．如圖6，由A、C、E、G四點共圓，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不學(xué)習(xí)四點共圓，比較麻煩一點的思路還有：如圖7，當(dāng)∠AEG＝90°時，設(shè)AG的中點為P，那么PC和PE分別是Rt△ACG和Rt△AEG斜邊上的中線，所以PC＝PE＝PA＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如圖8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因為∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．圖7圖8例22014年蘇州市中考第29題如圖1，二次函數(shù)y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常數(shù)，且a＞0，m＞0）的圖像與x軸分別交于A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C(0,－3)，點D在二次函數(shù)的圖像上，CD//AB，聯(lián)結(jié)AD．過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖像于點E，AB平分∠（1）用含m的式子表示a；（2）求證：為定值；（3）設(shè)該二次函數(shù)的圖像的頂點為F．探索：在x軸的負(fù)半軸上是否存在點G，聯(lián)結(jié)GF，以線段GF、AD、AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個滿足要求的點G即可，并用含m的代數(shù)式表示該點的橫坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14蘇州29”，拖動y軸正半軸上表示實數(shù)m的點運動，可以體驗到，點E、D、F到x軸的距離都為定值．思路點撥1．不算不知道，一算真奇妙．通過二次函數(shù)解析式的變形，寫出點A、B、F的坐標(biāo)后，點D的坐標(biāo)也可以寫出來．點E的縱坐標(biāo)為定值是算出來的．2．在計算的過程中，第（1）題的結(jié)論及其變形反復(fù)用到．3．注意到點E、D、F到x軸的距離正好是一組常見的勾股數(shù)（5，3，4），因此過點F作AD的平行線與x軸的交點，就是要求的點G．滿分解答（1）將C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此（2）由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)得A(－m,0)，B(3m,0)，F(xiàn)(m,－4)，對稱軸為直線x＝m所以點D的坐標(biāo)為(2m設(shè)點E的坐標(biāo)為(x,a(x＋m)(x－3m))如圖2，過點D、E分別作x軸的垂線，垂足分別為D′、E′．由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．所以am(x－3m)＝1．結(jié)合，于是得到x＝4m當(dāng)x＝4m時，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以點E的坐標(biāo)為(所以．圖2圖3（3）如圖3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(可知點E、D、F到x軸的距離分別為5、4、3．那么過點F作AD的平行線與x軸的負(fù)半軸的交點，就是符合條件的點G．證明如下：作FF′⊥x軸于F′，那么．因此．所以線段GF、AD、AE的長圍成一個直角三角形．此時GF′＝4m．所以GO＝3m，點G的坐標(biāo)為(－考點伸展第（3）題中的點G的另一種情況，就是GF為直角三角形的斜邊．此時．因此．所以．此時．例32013年山西省中考第26題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C，連結(jié)BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．（1）求點A、B、C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N．試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由；（3）當(dāng)點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使△BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“13山西26”，拖動點P在線段OB上運動，可以體驗到，當(dāng)P運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形．拖動點P在線段EB上運動，可以體驗到，∠DBQ和∠BDQ可以成為直角．請打開超級畫板文件名“13山西26”，拖動點P在線段OB上運動，可以體驗到，當(dāng)P運動到OB的中點時，四邊形CQMD和四邊形CQBM都是平行四邊形．拖動點P在線段EB上運動，可以體驗到，∠DBQ和∠BDQ可以成為直角．思路點撥1．第（2）題先用含m的式子表示線段MQ的長，再根據(jù)MQ＝DC列方程．2．第（2）題要判斷四邊形CQBM的形狀，最直接的方法就是根據(jù)求得的m的值畫一個準(zhǔn)確的示意圖，先得到結(jié)論．3．第（3）題△BDQ為直角三角形要分兩種情況求解，一般過直角頂點作坐標(biāo)軸的垂線可以構(gòu)造相似三角形．滿分解答（1）由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．（2）直線DB的解析式為．由點P的坐標(biāo)為(m,0)，可得，．所以MQ＝．當(dāng)MQ＝DC＝8時，四邊形CQMD是平行四邊形．解方程，得m＝4，或m＝0（舍去）．此時點P是OB的中點，N是BC的中點，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC與MQ互相平分．所以四邊形CQBM是平行四邊形．圖2圖3（3）存在兩個符合題意的點Q，分別是(－2,0)，(6,－4)．考點伸展第（3）題可以這樣解：設(shè)點Q的坐標(biāo)為．①如圖3，當(dāng)∠DBQ＝90°時，．所以．解得x＝6．此時Q(6,－4)．②如圖4，當(dāng)∠BDQ＝90°時，．所以．解得x＝－2．此時Q(－2,0)．圖3圖4例42012年廣州市中考第24題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．（1）求點A、B的坐標(biāo)；（2）設(shè)D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時，求點D的坐標(biāo)；（3）若直線l過點E(4,0)，M為直線l上的動點，當(dāng)以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l的解析式．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12廣州24”，拖動點M在以AB為直徑的圓上運動，可以體驗到，當(dāng)直線與圓相切時，符合∠AMB＝90°的點M只有1個．請打開超級畫板文件名“12廣州24”，拖動點M在以AB為直徑的圓上運動，可以體驗到，當(dāng)直線與圓相切時，符合∠AMB＝90°的點M只有1個．思路點撥1．根據(jù)同底等高的三角形面積相等，平行線間的距離處處相等，可以知道符合條件的點D有兩個．2．當(dāng)直線l與以AB為直徑的圓相交時，符合∠AMB＝90°的點M有2個；當(dāng)直線l與圓相切時，符合∠AMB＝90°的點M只有1個．3．靈活應(yīng)用相似比解題比較簡便．滿分解答（1）由，得拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為A(－4,0)、B(2,0)．對稱軸是直線x＝－1．（2）△ACD與△ACB有公共的底邊AC，當(dāng)△ACD的面積等于△ACB的面積時，點B、D到直線AC的距離相等．過點B作AC的平行線交拋物線的對稱軸于點D，在AC的另一側(cè)有對應(yīng)的點D′．設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為G，與AC交于點H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，點D的坐標(biāo)為．因為AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐標(biāo)為．圖2圖3（3）過點A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點的，即2個點M．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個點M；如果圓與直線l相切，就只有1個點M了．聯(lián)結(jié)GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A所以點M1的坐標(biāo)為(－4,6)，過M1、E的直線l為．根據(jù)對稱性，直線l還可以是．考點伸展第（3）題中的直線l恰好經(jīng)過點C，因此可以過點C、E求直線l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直線CM過點C．例52012年杭州市中考第22題在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)y＝k(x2＋x－1)的圖象交于點A(1,k)和點B(－1,－k)．（1）當(dāng)k＝－2時，求反比例函數(shù)的解析式；（2）要使反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大，求k應(yīng)滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象的頂點為Q，當(dāng)△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．動感體驗請打開幾何畫板文件名“12杭州22”，拖動表示實數(shù)k的點在y軸上運動，可以體驗到，當(dāng)k＜0并且在拋物線的對稱軸左側(cè)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大．觀察拋物線的頂點Q與⊙O的位置關(guān)系，可以體驗到，點Q有兩次可以落在圓上．請打開超級畫板文件名“12杭州22”，拖動表示實數(shù)k的點在y軸上運動，可以體驗到，當(dāng)k＜0并且在拋物線的對稱軸左側(cè)，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大．觀察拋物線的頂點Q與⊙O的位置關(guān)系，可以體驗到，點Q有兩次可以落在圓上．思路點撥1．由點A(1,k)或點B(－1,－k)的坐標(biāo)可以知道，反比例函數(shù)的解析式就是．題目中的k都是一致的．2．由點A(1,k)或點B(－1,－k)的坐標(biāo)還可以知道，A、B關(guān)于原點O對稱，以AB為直徑的圓的圓心就是O．3．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，當(dāng)Q落在⊙O上是，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．滿分解答（1）因為反比例函數(shù)的圖象過點A(1,k)，所以反比例函數(shù)的解析式是．當(dāng)k＝－2時，反比例函數(shù)的解析式是．（2）在反比例函數(shù)中，如果y隨x增大而增大，那么k＜0．當(dāng)k＜0時，拋物線的開口向下，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大．拋物線y＝k(x2＋x＋1)＝的對稱軸是直線．圖1所以當(dāng)k＜0且時，反比例函數(shù)與二次函數(shù)都是y隨x增大而增大．（3）拋物線的頂點Q的坐標(biāo)是，A、B關(guān)于原點O中心對稱，當(dāng)OQ＝OA＝OB時，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．由OQ2＝OA2，得．解得（如圖2），（如圖3）．圖2圖3考點伸展如圖4，已知經(jīng)過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．問平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？如圖5，當(dāng)A、C關(guān)于直線y＝x對稱時，AB與CD互相平分且相等，四邊形ABCD是矩形．因為A、C可以無限接近坐標(biāo)系但是不能落在坐標(biāo)軸上，所以O(shè)A與OC無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形．圖4圖5例62011年浙江省中考第23題設(shè)直線l1：y＝k1x＋b1與l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足為H，則稱直線l1與l2是點H的直角線．（1）已知直線①；②；③；④和點C(0，2)，則直線_______和_______是點C的直角線（填序號即可）；（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P為線段OC上一點，設(shè)過B、P兩點的直線為l1，過A、P兩點的直線為l2，若l1與l2是點P的直角線，求直線l1與l2的解析式．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11浙江23”，拖動點P在OC上運動，可以體驗到，∠APB有兩個時刻可以成為直角，此時△BCP∽△POA．答案（1）直線①和③是點C的直角線．（2）當(dāng)∠APB＝90°時，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．如圖2，當(dāng)OP＝6時，l1：，l2：y＝－2x＋6．如圖3，當(dāng)OP＝1時，l1：y＝3x＋1，l2：．圖2圖3例72010年北京市中考第24題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸的交點分別為原點O和點A，點B(2,n)在這條拋物線上．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）點P在線段OA上，從點O出發(fā)向點A運動，過點P作x軸的垂線，與直線OB交于點E，延長PE到點D，使得ED＝PE，以PD為斜邊，在PD右側(cè)作等腰直角三角形PCD（當(dāng)點P運動時，點C、D也隨之運動）．①當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳CD的頂點C落在此拋物線上時，求OP的長；②若點P從點O出發(fā)向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位，同時線段OA上另一個點Q從點A出發(fā)向點O作勻速運動，速度為每秒2個單位（當(dāng)點Q到達(dá)點O時停止運動，點P也停止運動）．過Q作x軸的垂線，與直線AB交于點F，延長QF到點M，使得FM＝QF，以QM為斜邊，在QM的左側(cè)作等腰直角三角形QMN（當(dāng)點Q運動時，點M、N也隨之運動）．若點P運動到t秒時，兩個等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，求此刻t的值．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“10北京24”，拖動點P從O向A運動，可以體驗到，兩個等腰直角三角形的邊有三個時刻可以共線．思路點撥1．這個題目最大的障礙，莫過于無圖了．2．把圖形中的始終不變的等量線段羅列出來，用含有t的式子表示這些線段的長．3．點C的坐標(biāo)始終可以表示為(3t,2t)，代入拋物線的解析式就可以計算此刻OP的長．4．當(dāng)兩個等腰直角三角形有邊共線時，會產(chǎn)生新的等腰直角三角形，列關(guān)于t的方程就可以求解了．滿分解答(1)因為拋物線經(jīng)過原點，所以．解得，（舍去）．因此．所以點B的坐標(biāo)為（2，4）．(2)①如圖4，設(shè)OP的長為t，那么PE＝2t，EC＝2t，點C的坐標(biāo)為(3t,2t)．當(dāng)點C落在拋物線上時，．解得．②如圖1，當(dāng)兩條斜邊PD與QM在同一條直線上時，點P、Q重合．此時3t＝10．解得．如圖2，當(dāng)兩條直角邊PC與MN在同一條直線上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此時．解得．如圖3，當(dāng)兩條直角邊DC與QN在同一條直線上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此時．解得．圖1圖2圖3考點伸展在本題情境下，如果以PD為直徑的圓E與以QM為直徑的圓F相切，求t的值．如圖5，當(dāng)P、Q重合時，兩圓內(nèi)切，．如圖6，當(dāng)兩圓外切時，．圖4圖5圖6例82009年嘉興市中考第24題如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點，，，．以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N，使M、N兩點重合成一點C，構(gòu)成△ABC，設(shè)．（1）求x的取值范圍；（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面積？圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“09嘉興24”，拖動點B在AN上運動，可以體驗到，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；∠CAB和∠ACB可以成為直角，∠CBA不可能成為直角；觀察函數(shù)的圖象，可以看到，圖象是一個開口向下的“U”形，當(dāng)AB等于1.5時，面積達(dá)到最大值．思路點撥1．根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列關(guān)于x的不等式組，可以求得x的取值范圍．2．分類討論直角三角形ABC，根據(jù)勾股定理列方程，根據(jù)根的情況確定直角三角形的存在性．3．把△ABC的面積S的問題，轉(zhuǎn)化為S2的問題．AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部兩種情況．滿分解答（1）在△ABC中，，，，所以解得．（2）①若AC為斜邊，則，即，此方程無實根．②若AB為斜邊，則，解得，滿足．③若BC為斜邊，則，解得，滿足．因此當(dāng)或時，△ABC是直角三角形．（3）在△ABC中，作于D，設(shè)，△ABC的面積為S，則．①如圖2，若點D在線段AB上，則．移項，得．兩邊平方，得．整理，得．兩邊平方，得．整理，得所以（）．當(dāng)時（滿足），取最大值，從而S取最大值．圖2圖3②如圖3，若點D在線段MA上，則．同理可得，（）．易知此時．綜合①②得，△ABC的最大面積為．考點伸展第（3）題解無理方程比較煩瑣，迂回一下可以避免煩瑣的運算：設(shè)，例如在圖2中，由列方程．整理，得．所以．因此．1.4因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例12015年成都市中考第28題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD＝4AC．（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若△ACE的面積的最大值為EQ\F(5,4)，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．圖1備用圖動感體驗請打開幾何畫板文件名“15成都28”，拖動點E在直線AD上方的拋物線上運動，可以體驗到，當(dāng)EC⊥AC時，△ACE的面積最大．點擊屏幕左下角的按鈕“第（3）題”，拖動點H在y軸正半軸運動，觀察點Q和Q′，可以看到點Q和點Q′都可以落在拋物線上．思路點撥1．過點E作x軸的垂線交AD于F，那么△AEF與△CEF是共底的兩個三角形．2．以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)討論矩形，當(dāng)AD為邊時，AD與QP平行且相等，對角線AP＝QD；當(dāng)AD為對角線時，AD與PQ互相平分且相等．滿分解答（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．由A(－1,0)、D(4,5a)，得直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax＋a．（2）如圖1，過點E作x軸的垂線交AD于F．設(shè)E(x,ax2－2ax－3a)，F(xiàn)(x,ax＋a)，那么EF＝y(tǒng)E－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面積的最大值為．解方程，得．（3）已知A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：①如圖2，如果AD為矩形的邊，那么AD//QP，AD＝QP，對角線AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．當(dāng)x＝－4時，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4,21a)．由yD－yA＝y(tǒng)P－yQ，得yP＝26a．所以P(1,26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此時P．②如圖3，如果AD為矩形的對角線，那么AD與PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．由yD＋yA＝y(tǒng)P＋yQ，得yP＝8a．所以P(1,8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此時P．圖1圖2圖3考點伸展第（3）題也可以這樣解．設(shè)P(1,n)．①如圖2，當(dāng)AD時矩形的邊時，∠QPD＝90°，所以，即．解得．所以P．所以Q．將Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．所以．②如圖3，當(dāng)AD為矩形的對角線時，先求得Q(2,－3a)．由∠AQD＝90°，得，即．解得．例22014年陜西省中考第24題如圖1，已知拋物線C：y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(－3,0)和B(0,3)兩點．將這條拋物線的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N．（1）求拋物線C的表達(dá)式；（2）求點M的坐標(biāo)；（3）將拋物線C平移到拋物線C′，拋物線C′的頂點記為M′，它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14陜西24”，拖動右側(cè)的點M′上下運動，可以體驗到，以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形有四種情況．思路點撥1．拋物線在平移的過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時，以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．2．平行四邊形的面積為16，底邊MN＝4，那么高NN′＝4．3．M′N′＝4分兩種情況：點M′在點N′的上方和下方．4．NN′＝4分兩種情況：點N′在點N的右側(cè)和左側(cè)．滿分解答（1）將A(－3,0)、B(0,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以拋物線C的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3．（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得頂點M的坐標(biāo)為(－1,4)．（3）拋物線在平移過程中，M′N′與MN保持平行，當(dāng)M′N′＝MN＝4時，以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形就是平行四邊形．因為平行四邊形的面積為16，所以MN邊對應(yīng)的高NN′＝4．那么以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形有4種情況：拋物線C直接向右平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2）；拋物線C直接向左平移4個單位得到平行四邊形MNN′M′（如圖2）；拋物線C先向右平移4個單位，再向下平移8個單位得到平行四邊形MNM′N′（如圖3）；拋物線C先向左平移4個單位，再向下平移8個單位得到平行四邊形MNM′N′（如圖3）．圖2圖3考點伸展本題的拋物線C向右平移m個單位，兩條拋物線的交點為D，那么△MM′D的面積S關(guān)于m有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如圖4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得點D的橫坐標(biāo)為．將代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．圖4例32013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(0,1)、B(4,3)兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）過點B作BC⊥x軸，垂足為C，在對稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標(biāo)．圖1動感體驗:請打開幾何畫板文件名“13松江24”，拖動點N在直線AB上運動，可以體驗到，以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，符合MN在拋物線的對稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個．請打開超級畫板文件名“13松江24”，拖動點N在直線AB上運動，可以體驗到，MN有4次機會等于3，這說明以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，而符合MN在拋物線的對稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個．思路點撥:1．第（2）題求∠ABO的正切值，要構(gòu)造包含銳角∠ABO的角直角三角形．2．第（3）題解方程MN＝y(tǒng)M－yN＝BC，并且檢驗x的值是否在對稱軸左側(cè)．滿分解答（1）將A(0,1)、B(4,3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以拋物線的解析式是．（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以O(shè)B＝5．如圖2，過點A作AH⊥OB，垂足為H．在Rt△AOH中，OA＝1，，所以．圖2所以，．在Rt△ABH中，．（3）直線AB的解析式為．設(shè)點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，那么．當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因為x＝3在對稱軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點M的坐標(biāo)為（如圖3）．圖3圖4考點伸展第（3）題如果改為：點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標(biāo)．那么求點M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MN＝y(tǒng)M－yN或MN＝y(tǒng)N－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如圖5）．所以符合題意的點M有4個：，，，．圖5例42012年福州市中考第21題如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD//BC，交AB于點D，聯(lián)結(jié)PQ．點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長．圖1圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“12福州21”，拖動左圖中的點P運動，可以體驗到，PQ的中點M的運動路徑是一條線段．拖動右圖中的點Q運動，可以體驗到，當(dāng)PQ//AB時，四邊形PDBQ為菱形．請打開超級畫板文件名“12福州21”，拖動點Q向上運動，可以體驗到，PQ的中點M的運動路徑是一條線段．點擊動畫按鈕的左部，Q的速度變成1.07，可以體驗到，當(dāng)PQ//AB時，四邊形PDBQ為菱形．點擊動畫按鈕的中部，Q的速度變成1.思路點撥1．菱形PDBQ必須符合兩個條件，點P在∠ABC的平分線上，PQ//AB．先求出點P運動的時間t，再根據(jù)PQ//AB，對應(yīng)線段成比例求CQ的長，從而求出點Q的速度．2．探究點M的路徑，可以先取兩個極端值畫線段，再驗證這條線段是不是點M的路徑．滿分解答（1）QB＝8－2t，PD＝．（2）如圖3，作∠ABC的平分線交CA于P，過點P作PQ//AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形．過點P作PE⊥AB，垂足為E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．圖3在Rt△APE中，，所以．當(dāng)PQ//AB時，，即．解得．所以點Q的運動速度為．（3）以C為原點建立直角坐標(biāo)系．如圖4，當(dāng)t＝0時，PQ的中點就是AC的中點E(3，0)．如圖5，當(dāng)t＝4時，PQ的中點就是PB的中點F(1，4)．直線EF的解析式是y＝－2x＋6．如圖6，PQ的中點M的坐標(biāo)可以表示為（，t）．經(jīng)驗證，點M（，t）在直線EF上．所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段EF的長，EF＝．圖4圖5圖6考點伸展第（3）題求點M的運動路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當(dāng)t＝2時，PQ的中點為(2，2)．設(shè)點M的運動路徑的解析式為y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以點M的運動路徑的解析式為y＝－2x＋6．例52012年煙臺市中考第26題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動．點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當(dāng)t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當(dāng)t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12煙臺26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，當(dāng)P在AB的中點時，△ACG的面積最大．觀察右圖，我們構(gòu)造了和△CEQ中心對稱的△FQE和△ECH′，可以體驗到，線段EQ的垂直平分線可以經(jīng)過點C和F，線段CE的垂直平分線可以經(jīng)過點Q和H′，因此以C、Q、E、H為頂點的菱形有2個．請打開超級畫板文件名“12煙臺26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，當(dāng)P在AB的中點時，即t=2，△ACG的面積取得最大值1．觀察CQ，EQ，EC的值，發(fā)現(xiàn)以C、Q、E、H為頂點的菱形有2個．點擊動畫按鈕的左部和中部，可得菱形的兩種準(zhǔn)確位置。思路點撥1．把△ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD．2．用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標(biāo)都表示出來．3．構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在．滿分解答（1）A(1,4)．因為拋物線的頂點為A，設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x－1)2＋4，代入點C(3,0)，可得a＝－1．所以拋物線的解析式為y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．（2）因為PE//BC，所以．因此．所以點E的橫坐標(biāo)為．將代入拋物線的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以點G的縱坐標(biāo)為．于是得到．因此．所以當(dāng)t＝1時，△ACG面積的最大值為1．（3）或．考點伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因為FE//QC，F(xiàn)E＝QC，所以四邊形FECQ是平行四邊形．再構(gòu)造點F關(guān)于PE軸對稱的點H′，那么四邊形EH′CQ也是平行四邊形．再根據(jù)FQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQ＝CQ列關(guān)于t的方程，檢驗四邊形EH′CQ是否為菱形．，，，．如圖2，當(dāng)FQ＝CQ時，F(xiàn)Q2＝CQ2，因此．整理，得．解得，（舍去）．如圖3，當(dāng)EQ＝CQ時，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，（舍去）．圖2圖3例62011年上海市中考第24題已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖象上，且MO＝MA．二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象經(jīng)過點A、M．（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖象上，點D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標(biāo)．圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11上海24”，拖動點B在y軸上點A下方運動，四邊形ABCD保持菱形的形狀，可以體驗到，菱形的頂點C有一次機會落在拋物線上．思路點撥1．本題最大的障礙是沒有圖形，準(zhǔn)確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數(shù)．2．根據(jù)MO＝MA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標(biāo)，是整個題目成敗的一個決定性步驟．3．第（3）題求點C的坐標(biāo)，先根據(jù)菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式求待定的字母m．滿分解答（1）當(dāng)x＝0時，，所以點A的坐標(biāo)為(0，3)，OA＝3．如圖2，因為MO＝MA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的縱坐標(biāo)為．將代入，得x＝1．所以點M的坐標(biāo)為．因此．（2）因為拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，．所以二