北師大版九年級數(shù)學下冊 （利用三角函數(shù)測高）直角三角形的邊角關(guān)系教育課件

1.6

利用三角函數(shù)測高

北師大版

九年級

下冊

教學目標1、掌握坡度、坡比的概念，并靈活運用坡度、坡比的概念求出物體的高度；2、能夠設(shè)計活動方案、自制測傾器和運用測傾器進行實地測量以及撰寫活動報告的過程；3、能夠綜合運用直角三角形邊角關(guān)系的知識解決實際問題．教學重點:利用已測量的數(shù)據(jù)綜合運用直角三角形邊角關(guān)系解決實際問題教學難點：能夠綜合運用直角三角形邊角關(guān)系的知識解決實際問題．問題1：在現(xiàn)實生活中需要測量像旗桿、高樓、塔等較高且頂部不可到達的物體的高度，根據(jù)我們所學的知識，同學們有哪些測量方案?問題2：這些測量的方法都用到了什么知識？問題3：如何利用直角三角形的邊角關(guān)系，測量底部不可以直接

到達的物體的高度呢？今天讓我們一起去探究學習如何利用三角函數(shù)測高，學完本節(jié)內(nèi)容相信大家就能輕松解決上面的問題了．0303060609090PQ度盤鉛錘支桿問題2：如何測量傾斜角？測量傾斜角可以用測傾器，

----簡單的側(cè)傾器由度盤、鉛錘和支桿組成.問題1：如何測量長度？測量長度可以用皮尺或卷尺，活動一：測量傾斜角30°0°60°90°90°60°30°30°0°60°90°90°60°30°水平線使用測傾器測量傾斜角的步驟如下:1.把支桿豎直插入地面,使支桿的中心線、鉛錘線和度盤的00刻度線重合,這時度盤的頂線PQ在水平位置.2.轉(zhuǎn)動度盤,使度盤的直徑對準目標M,記下此時鉛錘線所指的度數(shù).M活動一：測量傾斜角根據(jù)剛才測量數(shù)據(jù),你能求出目標M的仰角或俯角嗎?說說你的理由.123430°0°60°90°90°60°30°水平線M同角的余角相等新知講解

合作學習活動二:測量底部可以到達的物體的高度.所謂“底部可以到達”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與被測物體的底部之間的距離．圖1-16α如圖1-16，要測量物體MN的高度,可按下列步驟進行:1．在測點A處安置測傾器，測得M的仰角∠MCE=α.圖1-16α2．量出測點A到物體底部N的水平距離AN=l.3．量出測傾器的高度AC=a(即頂線PQ成水平位置時，它與地面的距離).根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎?說說你的理由.MN=ME+EN=l·tanα+aα圖1-16提煉概念

ACMNEα1.在測點A處安置測傾器，測得M的仰角∠MCE=α；

2.量出測點A到物體底部N的水平距離AN=l；3.量出測傾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=l·tanα+a典例精講

例1、如圖，某中學在主樓的頂部和大門的上方之間掛一些彩旗．經(jīng)測量，得到大門的高度是5m，大門距主樓的距離是30m，在大門處測得主樓頂部的仰角是30°，而當時測傾器離地面1.4m,求學校主樓的高度(精確到0.01m).CABED30°M解如圖，作EM垂直CD于M點,∠DEM=30°,根據(jù)題意，可知CM=BE=1.4mBC=EM=30m,在Rt△DEM中，DM=EMtan30°≈30×0.577=17.32(m)，CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).∴學校主樓的高度約為18.72m.總結(jié)：與仰角(或俯角)有關(guān)的計算問題的解決方法：首先弄清哪個角是仰角(或俯角)，再選擇或構(gòu)造恰當?shù)闹苯侨切?，將仰角或俯角置于這個三角形中，選擇正確的三角函數(shù)，并借助計算器求出要求的量． 活動三:測量底部不可以到達的物體的高度．所謂“底部不可以到達”，就是在地面上不能直接測得測點與被測物體的底部之間的距離．如圖1-17，要測量物體MN的高度，可按下列步驟進行:圖1-171．在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MCE=α.2．在測點A與物體之間的B處安置測傾器(A，B與N在一條直線上，且A，B之間的距離可以直接測得)，測得此時M的仰角∠MDE=β.圖1-17αβ(1)測傾器的使用(2)誤差的解決辦法---用平均值(3)到目前為止，你有哪些測量物體高度的方法？

ACMENACMENDB3．量出測傾器的高度AC=BD=a,以及測點A，B之間的距離AB=b.根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎?說說你的理由.αβba(1)到目前為止，你有哪些測量物體高度的方法?議一議一、測量底部可以到達的物體的高度，如圖ACMEN二、測量底部不可以直接到達的物體的高度，如圖ACMENDB(2）如果一個物體的高度已知或容易測量，那么如何測量某測點到該物體的水平距離?NMAα歸納概念

總結(jié)：從同一點看不同的位置，有兩個視角，不同位置之間有距離，作垂線將兩個視角都放在直角三角形中，利用不同位置之間的距離列方程來解決問題．課堂練習

C2.如圖，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30米的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為(

)A.

B．30sinα米C．30tanα米D．30cosα米C3．如圖，航模小組用無人機來測量建筑物BC的高度，無人機從A處測得建筑物頂部B的仰角為45°，測得底部C的俯角為60°，若此時無人機與該建筑物的水平距離AD為30m，則該建筑物的高度BC為_____m．（結(jié)果保留根號）

4．如圖，小麗的房間內(nèi)有一張長200m，高50cm的床靠墻擺放，在上方安裝空調(diào)，空調(diào)下沿與EF墻垂直，出風口F離墻20cm，空調(diào)開啟后，擋風板FG與EF夾角成136°，風沿FG方向吹出，為了讓空調(diào)風不直接吹到床上，空調(diào)安裝的高度(BC的長)至少為多少？(精確到個位)(參考數(shù)據(jù)：cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin46°≈0.72)【分析】連接AF,作FH⊥AD構(gòu)造直角三角形運用三角函數(shù)解出FH,再將床高加上即可求出EC的值．【詳解】當A、F在一條直線時,就正好不會吹到床上,連接AF,過點F作FH⊥AD,∵AD=200,HD=20,∴AH=180,∵∠EFA=136°,∴∠FAD=46°,∴FH=AH·tan46°=180×1.04=187.2∴ED=FH=187.2,∴EC=187.2+50=237.2≈237．故答案為237．5.如圖，某班學生利用周末到白塔山去參觀“晏陽初博物館”．下面是兩位同學的一段對話：甲：我站在N處看塔頂，仰角為60°.乙：我站在M處看塔頂，仰角為30°.甲：我們的身高都是1.5m.乙：我們和塔在一條直線上，且我們相距20m.請你根據(jù)兩位同學的對話，計算白塔的高度．(結(jié)果精確到1m)．

由題意知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝20m，AM＝BN＝DP＝1.5m．在△ABC中，∠CBD＝∠ACB＋∠CAB，∴∠ACB＝60°－30°＝30°.∴∠ACB＝∠CAB.∴BC＝AB＝20m．在Rt△CBD中，BC＝20m，∠CBD＝60°，sin∠CBD＝∴CD＝BC·sin∠CBD＝20sin60°＝20×

(m)．∴CP＝CD＋DP＝10＋1.5≈19(m)．答：白塔的高度約為19m.解：

課堂總結(jié)利用三角函數(shù)測高測傾器的認識及使用測量底部可以到達的物體的高度（一次測量仰角）測量底部不可以到達的物體的高度（兩次測量仰角）利用解三角形的知識，求出物體的高度北師大版九年級下冊利用三角函數(shù)測高

bABCa┌c1.直角三角形的邊角關(guān)系：

（1）直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系？（2）直角三角形的銳角之間有什么關(guān)系？

（3）直角三角形的邊和銳角之間有什么關(guān)系？

a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°.

回顧知識鉛直線水平線視線視線仰角俯角從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.2.仰角、俯角：回顧知識某探險者某天到達如圖所示的點A處時，他準備估算出離他的目的地——海拔為3500m的山峰頂點B處的水平距離.

他能想出一個可行的辦法嗎？．．AB怎么解答新課講解活動課題：利用直角三角形的邊角關(guān)系測量物體的高度．活動方式：分組活動、全班交流研討．活動工具：測傾器（或經(jīng)緯儀、測角儀等）、皮尺等測量工具．新課講解測量傾斜角一0303060609090PQ度盤鉛錘支桿問題1：如何測量傾斜角？測量傾斜角可以用測傾器.簡單的側(cè)傾器組成：度盤、鉛錘和支桿.新課講解測量傾斜角一問題2：如何使用測傾器？步驟1：把支架豎直插入地面，使支架的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時度盤的頂線PQ在水平位置.0303060609090PQ水平線新課講解測量傾斜角一問題2：如何使用測傾器？步驟2：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，使度盤的直徑對準目標M，記下此時鉛垂線所指的度數(shù).0303060609090M30°新課講解測量底部可以到達的物體的高度一

所謂“底部可以到達”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點與被測物體的底部之間的距離．新課講解如圖,要測量物體MN的高度,需測量哪些數(shù)據(jù)？CAENMaLα步驟如下:1.在測點A處安置測傾器，測得M的仰角∠MCE=α.2.量出測點A到物體底部N的水平距離AN=L.3.量出測傾器的高度AC=a測量底部可以到達的物體的高度一在RT△MCE中，ME=EC·tanα=AN·tanα=L·tanαMN=ME+EN=ME+AC=L·tanα+a根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎？說說你的理由.新課講解測量物體MN的高度的步驟：（1）在測點A安置測傾器，測得M的仰角∠MCE=α；（2）量出測點A到物體底部N的水平距離AN=l；（3）量出測傾器的高度AC=a.（4）MN=ME+EN=l·tanα+a；測量底部可以到達的物體的高度一ACMNEαal新課講解解：如圖，作EM垂直CD于M點。根據(jù)題意，可知：EB=1.4m∠DEM=30°,BC=EM=30m,CM=BE=1.4m在Rt△DEM中，DM=EM·tan30°≈30×0.577=17.32(m)，CD=DM+CM=17.32+1.4=18.72(m).

【例1】如圖，某中學在主樓的頂部和大門的上方之間掛一些彩旗．經(jīng)測量，得到大門的高度是５m，大門距主樓的距離是30m，在大門處測得主樓頂部的仰角是30°，而當時側(cè)傾器離地面1.4m，求學校主樓的高度(精確到0.01m).M新課講解測量底部不可以到達的物體的高度一

所謂“底部不可以到達”，就是在地面上不能直接測得測點與被測物體的底部之間的距離．新課講解如圖,要測量物體MN的高度,需測量哪些數(shù)據(jù)？步驟如下:1.在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MCE=α

.2.在測點A與物體之間的B處安置測傾器（A，B與N在一條直線上，且A，B之間的距離可以直接測得），測得此時M的仰角∠MDE=β.3.量出測傾器的高度AC=BD=a，以及測點A，B之間的距離AB=b．測量底部不可以到達的物體的高度一根據(jù)測量數(shù)據(jù)，你能求出物體MN的高度嗎？說說你的理由.abαECADBβNM新課講解

測量底部不可以到達的物體的高度一abαECADBβNM新課講解課題在平面上測量地王大廈的高AB測量示意圖測得數(shù)據(jù)(測傾器高度為1m)測量項目∠α∠βCD的長第一次30°16'45°35'60.11m第二次29°44'44°25’'59.89m平均值【例2】下表是小亮所填實習報告的部分內(nèi)容，請根據(jù)數(shù)據(jù)求大樓的高.CEDFAGBαβ30°45°60m新課講解

新課講解利用三角函數(shù)測高測傾器的認識及使用測量底部可以到達的物體的高度（一次測量仰角）測量底部不可以到達的物體的高度（兩次測量仰角）利用解三角形的知識，求出物體的高度新課講解 1.如圖，在高20米的建筑物CD的頂部C測得塔頂A的仰角為60°，測得塔底B的俯角為30°，則塔高AB=

米； 2.如圖，小明想測量電線桿AB的高度，發(fā)現(xiàn)電線桿的影子恰好落在地面BC和斜坡的坡面CD上，測得BC=10米，CD=4米，CD與地面成30°角，且此時測得1米桿的影長為2米，則電線桿的高度為

米.80

課堂練習

D課堂練習 4.如圖所示，在離上海東方明珠塔1000m的A處，用儀器測得塔頂?shù)难鼋恰螧AC為25°(在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫作仰角，在水平線下方的叫作俯角)，儀器距地面高為1.7m.求上海東方明珠塔的高BD.（結(jié)果精確到1m.）

課堂練習

5.如圖，小明想測量塔AB的高度.他在D處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至C處.