數(shù)學(xué)人教A版必修4導(dǎo)學(xué)案2.5.1平面幾何中的向量方法

2．5.1平面幾何中的向量方法1．會(huì)用向量方法解決平面幾何問題．2．掌握和體會(huì)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”．1．由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及________表示出來，因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題．2．用向量方法解決平面幾何問題的三步曲：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用______表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為____問題；第二步，通過______運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；第三步，把________“翻譯”成幾何關(guān)系．平面幾何中的向量方法有：(1)證明線段相等，轉(zhuǎn)化為證明向量的長(zhǎng)度相等；求線段的長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為求向量的模．(2)證明線段、直線平行，轉(zhuǎn)化為證明向量平行．(3)證明線段、直線垂直，轉(zhuǎn)化為證明向量垂直．(4)幾何中與角相關(guān)的問題，轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題．(5)對(duì)于有關(guān)長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等平面幾何問題，通常以相互垂直的兩邊所在直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平面幾何問題．【做一做】在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．用向量法證明DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.答案：1．?dāng)?shù)量積2．向量向量向量運(yùn)算結(jié)果【做一做】證明：如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.又＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則在△ADE中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→)).所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.1．用向量處理問題時(shí)，選擇平面向量基底的基本原則．剖析：平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量就可作為一組基底，因此在圖形中選擇不共線的兩個(gè)向量即可．但是在具體的解題過程中，通常不會(huì)隨便取不共線的兩個(gè)向量．選擇適當(dāng)?shù)幕蛄浚瑫?huì)減少計(jì)算量．選擇適當(dāng)?shù)幕蛄康幕驹瓌t是：(1)不共線；(2)基向量的長(zhǎng)度最好是確定的；(3)基向量的夾角最好是明確的(直角最合適)；(4)盡量使基向量和所涉及到的向量共線或構(gòu)成三角形或構(gòu)成平行四邊形．2．用向量的坐標(biāo)處理問題時(shí)，建立平面直角坐標(biāo)系的基本原則．剖析：選擇坐標(biāo)軸和原點(diǎn)不當(dāng)會(huì)增加解題的運(yùn)算量，也會(huì)帶來不必要的麻煩．需明確平面直角坐標(biāo)系是如何構(gòu)成的以及選擇坐標(biāo)軸的基本原則．具有公共原點(diǎn)的兩條互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標(biāo)系，因此在已知圖形中，只要選擇互相垂直的兩條直線為坐標(biāo)軸就能建立直角坐標(biāo)系，但是又不能隨便選擇坐標(biāo)軸，選擇的基本原則是：(1)盡量用已知圖形中兩互相垂直的向量所在直線為坐標(biāo)軸；(2)盡量選擇已知圖形中某一特殊點(diǎn)為原點(diǎn)；(3)位于坐標(biāo)軸上的已知點(diǎn)越多越好．題型一平行問題【例1】如圖，已知AC，BD是梯形ABCD的對(duì)角線，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)．求證：EF∥BC.分析：要證明EF∥BC，只要證出eq\o(EF,\s\up6(→))＝meq\o(BC,\s\up6(→))即可．反思：向量法證明平面幾何中AB∥CD的步驟：①選擇一組向量基底；②用基底表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))；③確定eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))中的λ值，即有eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))；④歸納總結(jié)．題型二垂直問題【例2】△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，用向量方法證明AD⊥BC.分析：轉(zhuǎn)化為證明eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).反思：向量法證明平面幾何中AB⊥CD的步驟：①選擇一組基底；②用基底表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))；③計(jì)算eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))的值為0；④歸納結(jié)論．題型三長(zhǎng)度問題【例3】如圖所示，已知ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝eq\f(π,3)，求對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)．反思：向量法求平面內(nèi)A，B兩點(diǎn)間的距離的步驟：①選取一組基底a，b；②用基底a，b表示eq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＝xa＋yb；③利用|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(|AB|2,\s\up6(→)))＝eq\r((xa＋yb)2)求得|eq\o(AB,\s\up6(→))|；④歸納結(jié)論．題型四易錯(cuò)辨析【例4】已知點(diǎn)A(0,1)，B(1,0)，C(－1,2)，D(2，－1)，問AB與CD平行嗎？錯(cuò)解：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3，－3)，又1×(－3)－(－1)×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，即AB∥CD.錯(cuò)因分析：此題混淆了向量的平行與線段(直線)的平行．平行向量是方向相同或相反的向量，所以A，B，C，D四點(diǎn)共線時(shí)，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))仍為平行向量，但此時(shí)直線AB與CD不平行．反思：當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))時(shí)，直線AB與直線CD可能平行，還可能重合，當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，且A，B，C，D中任三點(diǎn)不共線時(shí)，直線AB∥直線CD.答案：【例1】證明：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.∵eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＝λb.∵E為BD的中點(diǎn)，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)．∵F是AC的中點(diǎn)，連接BF(如圖)，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(λb－a)．∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(λb－a)－eq\f(1,2)(b－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(1,2)))b＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)λ－\f(1,2)))·\f(1,λ)))eq\o(BC,\s\up6(→)).又E，F(xiàn)，B，C四點(diǎn)不共線，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，即EF∥BC.【例2】證明：如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則|a|＝|b|，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.∵D是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)．∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·(b－a)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.∴eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴AD⊥BC.【例3】解：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，a與b的夾角為θ，則|a|＝3，|b|＝1，θ＝eq\f(π,3).∴a·b＝|a||b|cosθ＝eq\f(3,2).又eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，∴|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(\o(AC,\s\up6(→))|2,\s\up6()))＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(13)，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(|\o(DB,\s\up6(→))|2,\s\up6()))＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(7).∴AC＝eq\r(13)，DB＝eq\r(7).【例4】正解：證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3，－3)，1×(－3)－(－1)×3＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→)).又eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，而－1×(－1)－1×1＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴A，B，C，D四點(diǎn)共線，∴AB與CD不平行．1．△ABC中，＝，且與的夾角為120°，則△ABC是()A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．斜三角形2．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，則k的值是()A．5 B．－5 C. D．3．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，則△ABC為()A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．形狀無法確定4．點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足·＝·＝·，則點(diǎn)O是△ABC的()A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高線的交點(diǎn)5．△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，＝，且＝，則·為()A．1 B. C．－1 D．答案：1．C2．A由題意，得＝－＝