高考北師大版數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)學(xué)案2-5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)命題分析預(yù)測學(xué)科核心素養(yǎng)本節(jié)在高考中的考查熱點有：（1）比較指數(shù)式的大??；（2）指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用；（3）以指數(shù)函數(shù)為載體，，難度中等.本節(jié)通過指數(shù)運算、指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的運用和考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第26頁知識點一根式與指數(shù)冪的運算1.根式的概念根式的概念符號表示備注如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根n>1且n∈N＋當n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)eq\r(n,a)零的n次方根是零當n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)±eq\r(n,a)（a>0）負數(shù)沒有偶次方根2.兩個重要公式（1）eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）))n為偶數(shù)；))（2）（eq\r(n,a)）n＝a（注意a必須使eq\r(n,a)有意義）.（1）冪的有關(guān)概念①正分數(shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）；②負分數(shù)指數(shù)冪：a＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))（a＞0，m，n∈N＋，且n＞1）；③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①aras＝ar＋s（a＞0，r，s∈Q）；②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）.?溫馨提醒?在進行指數(shù)冪的運算時，一般用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示，并且結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負指數(shù).易忽視字母的符號.1.（易錯題）化簡4aeq\s\up6(\f(2,3))·b÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)ab\s\up6(\f(2,3))))的結(jié)果為（）A.－eq\f(2a,3b) B.－eq\f(8a,b)C.－eq\f(6a,b) D.－6ab解析：原式＝4÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))ab＝－6ab－1＝－eq\f(6a,b).答案：Ceq\r(4,16x8y4)（x＜0，y＜0）＝__________.解析：因為x＜0，y＜0，所以eq\r(4,16x8y4)＝（16x8·y4）eq\s\up6(\f(1,4))＝（16）eq\s\up6(\f(1,4))·（x8）eq\s\up6(\f(1,4))·（y4）eq\s\up6(\f(1,4))＝2x2|y|＝－2x2y.答案：－2x2y知識點二指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)0<a<1a>1圖像性質(zhì)定義域：R值域：（0，＋∞）當x＝0時，y＝1，即過定點（0，1）當x>0時，0<y<1；當x<0時，y>1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)?溫馨提醒?指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>0，a≠1）的圖像和性質(zhì)與a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a>1或0<a<1.a件，在今后m年內(nèi)，計劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加p%，則該產(chǎn)品的產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式為（）A.y＝a（1＋p%）x（0＜x＜m）B.y＝a（1＋p%）x（0≤x≤m，x∈N）C.y＝a（1＋xp%）（0＜x＜m）D.y＝a（1＋xp%）（0≤x≤m，x∈N）解析：由題意可知，y＝a（1＋p%）x，其中0≤x≤m，x∈N.答案：Bf（x）＝ax－eq\f(1,a)（a＞0，a≠1）的圖像可能是（）解析：當a＞1時，將y＝ax的圖像向下平移eq\f(1,a)個單位長度得f（x）＝ax－eq\f(1,a)的圖像，A，B都不符合；當0＜a＜1時，將y＝ax的圖像向下平移eq\f(1,a)個單位長度得f（x）＝ax－eq\f(1,a)的圖像，而eq\f(1,a)大于1.答案：D3.（易錯題）若函數(shù)f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值為2，則a＝__________.解析：當a＞1時，a＝2；當0＜a＜1時a－1＝2，即a＝eq\f(1,2).答案：2或eq\f(1,2)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第27頁題型一指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用f（x）＝1－e|x|的圖像大致是（）解析：由f（x）＝1－e|x|是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，排除B，|x|≥1，所以f（x）的值域為（－∞，0]，排除C.答案：Af（x）＝|2x－1|，當a＜b＜c時，有f（a）＞f（c）＞f（b），則必有（）A.a＜0，b＜0，c＜0 B.a＜0，b＞0，c＞0－a＜2c D.1＜2a＋2c＜2解析：作出函數(shù)f（x）＝|2x－1|的圖像如圖所示，因為a＜b＜c，且有f（a）＞f（c）＞f（b），所以必有a＜0，0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，則2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.答案：D函數(shù)解析式識別函數(shù)圖像的選擇題，可以考慮應(yīng)用特值法.，一般從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.[注意]當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時，應(yīng)注意分類討論.題型二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用高考常以選擇題或填空題的形式考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，難度偏小，屬中、低檔題.常見的命題角度有：（1）比較指數(shù)式的大小；（2）與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域問題；（3）探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì).考法（一）比較大小或解不等式[例1]（1）（2020·高考全國卷Ⅱ）若2x－2y＜3－x－3－y，則（）A.ln（y－x＋1）＞0 B.ln（y－x＋1）＜0C.ln|x－y|＞0 D.ln|x－y|＜0（2）若偶函數(shù)f（x）滿足f（x）＝2x－4（x≥0），則不等式f（x－2）＞0的解集為__________.[解析]（1）∵2x－2y＜3－x－3－y，∴2x－3－x＜2y－3－y.∵y＝2x－3－x＝2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在R上單調(diào)遞增，∴x＜y，∴y－x＋1＞1，∴l(xiāng)n（y－x＋1）＞ln1＝0.（2）f（x）為偶函數(shù)，當x＜0時，f（x）＝f（－x）＝2－x－4.∴f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x＜0，))當f（x－2）＞0時，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,2x－2－4＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＜0，,2－x＋2－4＞0，,))解得x＞4或x＜0.∴不等式的解集為{x|x＞4或x＜0}.[答案]（1）A（2）{x|x＞4或x＜0}，盡量化為同底或同指，當?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大小；當指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造同一冪函數(shù)，利用圖像比較大小.，應(yīng)注意a的取值，及結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.考法（二）與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域問題[例2]（1）函數(shù)y＝eq\r(16－2x)的值域是（）A.[0，＋∞） B.[0，4]C.[0，4） D.（0，4）（2）已知y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f（x）＝－eq\f(1,4x)＋eq\f(1,2x)，則此函數(shù)的值域為__________.[解析]（1）函數(shù)y＝eq\r(16－2x)中，∵16－2x≥0，∴2x≤x∈（0，16]，∴16－2x∈[0，16）.故y＝eq\r(16－2x)∈[0，4）.（2）設(shè)t＝eq\f(1,2x)，當x≥0時，2x≥1，∴0＜t≤1，f（t）＝－t2＋t＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)，∴0≤f（t）≤eq\f(1,4)，故當x≥0時，f（x）∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).∵y＝f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴當x≤0時，f（x）∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)).故函數(shù)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,4))).[答案]（1）C（2）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,4)))形如y＝a2x＋b·ax＋c（a>0，且a≠1）型函數(shù)的最值問題多用換元法，即令t＝ax轉(zhuǎn)化為y＝t2＋bt＋c的最值問題，注意根據(jù)指數(shù)函數(shù)求t的范圍.考法（三）指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用[例3]已知函數(shù)f（x）＝a|x＋b|（a＞0，且a≠1，b∈R）.（1）若f（x）為偶函數(shù)，求b的值；（2）若f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上是增函數(shù)，試求a，b應(yīng)滿足的條件.[解析]（1）因為f（x）為偶函數(shù)，所以對任意的x∈R，都有f（－x）＝f（x），即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.（2）記h（x）＝|x＋b|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋b，x≥－b，,－x－b，x＜－b.))①當a＞1時，f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上是增函數(shù)，即h（x）在區(qū)間[2，＋∞）上是增函數(shù)，所以－b≤2，b≥－2；②當0＜a＜1時，f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上是增函數(shù)，即h（x）在區(qū)間[2，＋∞）上是減函數(shù)，但h（x）在區(qū)間[－b，＋∞）上是增函數(shù)，故不存在a，b的值，使f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上是增函數(shù).所以f（x）在區(qū)間[2，＋∞）上是增函數(shù)時，a，b應(yīng)滿足的條件為a＞1且b≥－2.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.與指數(shù)有關(guān)的核心素養(yǎng)（一）數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算——指數(shù)運算的實際應(yīng)用[例1]（2019·高考全國卷Ⅱ）2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點，M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：eq\f(M1,（R＋r）2)＋eq\f(M2,r2)＝（R＋r）eq\f(M1,R3).設(shè)α＝eq\f(r,R).由于α的值很小，因此在近似計算中eq\f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，則r的近似值為（）A.eq\r(\f(M2,M1))R B.eq\r(\f(M2,2M1))RC.eq\r(3,\f(3M2,M1))R D.eq\r(3,\f(M2,3M1))R[解析]由α＝eq\f(r,R)得r＝αR，代入eq\f(M1,（R＋r）2)＋eq\f(M2,r2)＝（R＋r）eq\f(M1,R3)，整理得eq\f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)＝eq\f(M2,M1).又∵eq\f(3α3＋3α4＋α5,（1＋α）2)≈3α3，∴3α3≈eq\f(M2,M1)，∴α≈eq\r(3,\f(M2,3M1))，∴r＝αR≈eq\r(3,\f(M2,3M1))R.[答案]D高考題只是把物理競賽題中個別背景與條件進行變更，，本題以學(xué)生熟悉的“嫦娥四號”為背景，看起來是物理問題，實則考查數(shù)學(xué)中的解方程，求近似值的內(nèi)容.讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)和物理不分家，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，空間想象能力，以及運算求解能力，很好地考查了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).（二）創(chuàng)新應(yīng)用——指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用[例2]已知函數(shù)f（x）＝e|x|，函數(shù)g（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤4，,4e5－x，x＞4，))對任意的x∈[1，m]（m＞1），都有f（x－2）≤g（x），則m的取值范圍是（）A.（1，2＋ln2） B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)＋ln2))C.（ln2，2] D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,2)＋ln2))[解析]作出函數(shù)y1＝e|x－2|和y＝g（x）的圖像（圖略），可知當x＝1時，y1＝g（1），當x＝4時，y1＝e2＜g（4）＝e4，當x＞4時，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln4，解得x≤eq\f(7,2)＋lnm＞1，所以1＜m≤eq\f(7,2)＋ln2.[答案]D處理指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題：一是要強化數(shù)形結(jié)合思想的運用，注意邏輯推理與數(shù)學(xué)運算能力.二是要強化分類討論思想與等