平面上的距離（十二大題型）（原卷版）

1．5平面上的距離課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能用坐標(biāo)法、向量方法推導(dǎo)平面上兩點(diǎn)間距離公式，體會(huì)向量法和幾何法各自的特點(diǎn)，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．（2）能用兩點(diǎn)間距離公式解決問(wèn)題，能通過(guò)具體例子解釋用兩點(diǎn)間距離公式解決問(wèn)題的基本步驟，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．（1）掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、平行直線間的距離公式并會(huì)應(yīng)用.（2）會(huì)用坐標(biāo)法證明簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一：中點(diǎn)坐標(biāo)公式若兩點(diǎn)、，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，則此公式為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．【即學(xué)即練1】已知點(diǎn)，，則線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為.知識(shí)點(diǎn)二：兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：此公式可以用來(lái)求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問(wèn)題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來(lái)解決．另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握．【即學(xué)即練2】已知，點(diǎn)C在x軸上，且，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)三：點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離；（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等．【即學(xué)即練3】已知到直線的距離等于3，則a的值為（

）A． B．或 C．或 D．知識(shí)點(diǎn)四：兩平行線間的距離本類問(wèn)題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；（2）利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式．【即學(xué)即練4】若兩條平行直線與之間的距離是，則．題型一：中點(diǎn)公式例1．（2023·浙江嘉興·高二統(tǒng)考期末）已知直線與直線和的交點(diǎn)分別為，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.例2．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考期末）直線過(guò)點(diǎn)且與軸?軸分別交于，兩點(diǎn)，若恰為線段的中點(diǎn)，則直線的方程為.例3．（2023·北京西城·高二統(tǒng)考期末）設(shè)，則過(guò)線段的中點(diǎn)，且與垂直的直線方程為.變式1．（2023·江蘇連云港·高二期末）過(guò)點(diǎn)的直線被兩平行直線與所截線段的中點(diǎn)恰在直線上，則直線的方程是．變式2．（2023·江蘇·高二海安高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）直線l被兩條直線l1：4x+y+3＝0和l2：3x﹣5y﹣5＝0截得的線段的中點(diǎn)為P（﹣1，2），則直線l的斜率為.變式3．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的長(zhǎng)度為.【方法技巧與總結(jié)】?jī)牲c(diǎn)、，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，題型二：兩點(diǎn)距離公式例4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)，，則（

）A．3 B．5 C．9 D．25例5．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則邊上中線的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為5，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C．或 D．1或變式4．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，則A，B兩點(diǎn)的距離為（

）A．25 B．5C．4 D．變式5．（2023·福建泉州·高一泉州五中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)與的圖像相交于，兩點(diǎn)，則，兩點(diǎn)間的距離為（

）A．7 B． C．5 D．1變式6．（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？计谥校┮阎c(diǎn)，與直線，若在直線上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】計(jì)算兩點(diǎn)間距離的方法（1）對(duì)于任意兩點(diǎn)兩點(diǎn)間的距離公式為．（2）對(duì)于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．題型三：由頂點(diǎn)判斷三角形的形狀例7．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）以點(diǎn)A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點(diǎn)的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是例8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）以為頂點(diǎn)的的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形例9．（多選題）（2023·高二單元測(cè)試）已知頂點(diǎn)坐標(biāo)是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若為直角三角形，則或 B．若為銳角三角形，則C．若為鈍角三角形，則或 D．若為等腰三角形，則變式7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【方法技巧與總結(jié)】利用兩點(diǎn)間距離公式求出三角形的各邊長(zhǎng)，然后再判斷．題型四：由兩點(diǎn)距離公式求最值例10．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）的最小值為．例11．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二?？计谥校┖瘮?shù)的最小值是.例12．（2023·山西晉中·高二山西省平遙中學(xué)校?？计谥校渲?，，則二元函數(shù)的最小值為變式8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為．變式9．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為.變式10．（2023·黑龍江雞西·高二校考階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難人微”，事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，結(jié)合．上述觀點(diǎn)，可得的最小值為．變式11．（2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊101中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)分別在直線：與直線：上，且，點(diǎn)，則的最小值為．變式12．（2023·山東聊城·高二聊城二中?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值為.題型五：點(diǎn)線距離公式例13．（2023·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知平面上點(diǎn)和直線，點(diǎn)P到直線l的距離為d，則.例14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知滿足，則的最小值為例15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，若點(diǎn)P是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為．變式13．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離為．變式14．（2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，則的最小值為.變式15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離為.【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題（1）直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式．（2）點(diǎn)在直線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用．（3）直線方程中，或公式也成立，但由于直線是特殊直線（與坐標(biāo)軸垂直），故也可用數(shù)形結(jié)合求解．題型六：面積問(wèn)題例16．（2023·浙江臺(tái)州·高一溫嶺中學(xué)?？计谀┮阎谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1)求直線方程；(2)求的面積.例17．（2023·湖北武漢·高二武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）期中）已知的頂點(diǎn)，AB邊上的高所在直線為，D為AC中點(diǎn)，且BD所在直線的方程為．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求的面積．例18．（2023·福建福州·高二校聯(lián)考期末）已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、.(1)求所在的直線方程；(2)求平行四邊形的面積.變式16．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）以，，為頂點(diǎn)的三角形的面積等于（

）A．1 B． C． D．2變式17．（2023·高二單元測(cè)試）已知直線和點(diǎn)，在直線上求一點(diǎn)，使過(guò)、的直線與以及軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形的面積最小，則坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，則的面積等于()A． B． C． D．變式19．（2023·山東菏澤·高二?？茧A段練習(xí)）的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，如果直線將分割成面積相等的兩部分，則實(shí)數(shù)的值等于（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用兩點(diǎn)間距離公式求出三角形的一邊長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求出這邊上的高，從而求出三角形的面積，這是在解析幾何中求三角形面積的常規(guī)方法，應(yīng)熟練掌握，但應(yīng)注意的是點(diǎn)到直線的距離公式中帶有絕對(duì)值符號(hào)，因此在去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)必須對(duì)它的正負(fù)性進(jìn)行討論．題型七：由點(diǎn)線距離求參數(shù)例19．（2023·高二單元測(cè)試）已知直線過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到這條直線的距離為1，則這條直線的方程是（）A．和 B．和C．和 D．和例20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例21．（2023·廣東河源·高二龍川縣第一中學(xué)?？计谀┻^(guò)點(diǎn)引直線，使，，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則直線方程是（

）A． B．C．或 D．或變式20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線的方程為，當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．變式21．（2023·河南焦作·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知直線，點(diǎn)和到直線l的距離分別為且，則直線l的方程為（

）A． B．C．或 D．或變式22．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)到直線的距離為1，則的值為（

）A．5或15 B．5或15C．5或15 D．5或15變式23．（2023·山西運(yùn)城·高二山西省運(yùn)城中學(xué)校校聯(lián)考期中）若點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A． B． C．或 D．或題型八：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱例22．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（a+2，b+2）和B（ba，b）關(guān)于直線4x+3y=11對(duì)稱，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2例23．（2023·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．例24．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)經(jīng)AC反射后，再經(jīng)BC上點(diǎn)D反射，落到點(diǎn)上．則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式24．（2023·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．變式25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）．A． B． C． D．變式26．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知入射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，被直線反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線的斜率為（

）A． B． C．4 D．變式27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式28．（2023·四川達(dá)州·高二達(dá)州中學(xué)校考階段練習(xí)）一條光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)方法一：（一中一垂），即線段的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對(duì)稱軸的斜率之積為，兩個(gè)條件建立方程組解得點(diǎn)方法二：先求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點(diǎn)，從而得題型九：直線關(guān)于直線對(duì)稱例25．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，且直線過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．例26．（2023·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線方程為．例27．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是.變式29．（2023·廣東梅州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，它關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為.變式30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如果直線l與直線關(guān)于y軸對(duì)稱，那么直線l的方程是．變式31．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a=.變式32．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)市回民中學(xué)校考階段練習(xí)）若直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則.變式33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是.【方法技巧與總結(jié)】求一條直線關(guān)于另一條直線的對(duì)稱直線的基本途徑是把它轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問(wèn)題，即在其上取一點(diǎn)（或兩點(diǎn)），求出它們關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式即可求得所求的直線方程．題型十：平行線間距離公式例28．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）兩平行直線，之間的距離為．例29．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）若直線與平行，則與間的距離是．例30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線與，之間的距離相等，則直線的方程是．變式34．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，則與之間的距離為．變式35．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為．變式36．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為．【方法技巧與總結(jié)】求兩平行線間的距離，一般是直接利用兩平行線間的距離公式，當(dāng)直線，且時(shí)，；當(dāng)直線且時(shí)，．但必須注意兩直線方程中的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．題型十一：直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱例31．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為．例32．（2023·高二單元測(cè)試）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程是．例33．（2023·河北廊坊·高三?？茧A段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為.變式37．（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥校┡c直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是.變式38．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程是．變式39．（2023·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）直線恒過(guò)定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．變式40．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為．【方法技巧與總結(jié)】求直線l關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的直線求解方法是：在已知直線l上取一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱得，再利用，由點(diǎn)斜式方程求得直線的方程（或者由，且點(diǎn)到直線l及的距離相等來(lái)求解）．題型十二：將軍飲馬問(wèn)題例34．（2023·河北石家莊·高二河北新樂(lè)市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路最短？試求最?。?/p>

）A． B． C． D．例35．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（

）A．2 B．3 C．4 D．5例36．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．變式41．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）．A．5 B． C．45 D．變式42．（2023·重慶長(zhǎng)壽·高二重慶市長(zhǎng)壽中學(xué)校?？计谥校┮阎c(diǎn)在直線上，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式43．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程是（

）A． B． C． D．變式44．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，在上任取一點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，連接，取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線.(1)求直線的方程；(2)已知兩點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)使得最小，求點(diǎn)的坐標(biāo).變式45．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面上兩點(diǎn)和，在直線上求一點(diǎn)M．(1)使最大值；(2)使最?。兪?6．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，直線．(1)在上求一點(diǎn)，使的值最小；(2)在上求一點(diǎn)，使的值最大．變式47．（2023·山東淄博·高二山東省淄博第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，直線.(1)在直線上找一點(diǎn)使得最小，并求這個(gè)最小值和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在直線上找一點(diǎn)使得最大，并求這個(gè)最大值和點(diǎn)的坐標(biāo).【方法技巧與總結(jié)】由平面幾何知識(shí)（三角形任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊）可知，要在直線上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之差最大的問(wèn)題，若這兩點(diǎn)、位于直線的同側(cè)，則只需求出直線的方程，再求它與已知直線的交點(diǎn)，即得所求的點(diǎn)的坐標(biāo)；若、兩點(diǎn)位于直線的異側(cè)，則先求、兩點(diǎn)中某一點(diǎn)（如A）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再求直線的方程，再求它們與直線的交點(diǎn)即可．對(duì)于在直線上求一點(diǎn)，使到平面上兩點(diǎn)、的距離之和最小的問(wèn)題可用類似方法求解．1．（江西省景德鎮(zhèn)市20222023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．4 B．5 C． D．2．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高一周南中學(xué)校考開學(xué)考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線和軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線：與關(guān)于直線對(duì)稱，與平行，則（

）A． B． C． D．24．（2023·廣東汕頭·高二校考期中）若直線與平行，則間的距離是（

）A． B． C．4 D．25．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．46．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中?？计谀┮阎本€的傾斜角為，在軸上的截距與另一條直線在軸上的截距相同，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C．1 D．7．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．8．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)間的折線距離，該距離也稱曼哈頓距離．已知點(diǎn)，若，則的最小值與最大值之