高考數(shù)學(xué)專題20-立體幾何大題(解析版)

專題20立體幾何大題（解析版）立體幾何解答題高考中的必考題，占12分，一般考察立體幾何知識(shí)掌握情況及解答技巧。如線面垂直、面面垂直、線面平行，線面角、二面角等問題。立體幾何解答題中的易錯(cuò)和易混點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)1：求兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時(shí)，如果所求的角為90°，那么就不要忘了還有一種求角的方法即用證明它們垂直的方法；易錯(cuò)點(diǎn)2：線面平行的判定定理和性質(zhì)定理在應(yīng)用時(shí)都是三個(gè)條件，但這三個(gè)條件易混為一談；面面平行的判定定理易把條件錯(cuò)誤地記為＂一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行＂而導(dǎo)致證明過程跨步太大；易錯(cuò)點(diǎn)3：作出二面角的平面角主要方法是什么？（定義法、三垂線法、垂面法）三垂線法：一定平面，二作垂線，三作斜線，射影可見；易錯(cuò)點(diǎn)4：求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？（直接法、等體積法、換點(diǎn)法、向量法）易錯(cuò)點(diǎn)5：求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補(bǔ)法、等積變換法）易錯(cuò)點(diǎn)6：兩條異面直線所成的角的范圍：0°<α≤90°直線與平面所成的角的范圍：0o≤α≤90°二面角的平面角的取值范圍：0°≤α≤180°易錯(cuò)點(diǎn)7：用向量法求線面角得的是正弦值，而不是余弦值；易錯(cuò)點(diǎn)8：用向量法求二面角時(shí)，最后一步忘了判斷二面角的平面角是鈍角還是銳角，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。題組一1．（2015新課標(biāo)Ⅱ）如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形。（1）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）；（2）求直線AF與平面α所成的角的正弦值?！窘馕觥浚á瘢┙痪€圍成的正方形如圖：（Ⅱ）作，垂足為，則因?yàn)闉檎叫?，所以于是，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所以的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)是平面的法向量，則即所以可取又，故所以AF與平面所成角的正弦值為所以直線與平面所成角的正弦值為．2.（2016全國(guó)III）如圖，四棱錐中，⊥底面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ）由已知得，取的中點(diǎn)，連接．由為中點(diǎn)知，．又，故平行且等于，四邊形為平行四邊形，于是．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié)，由得，從而，且．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意知，，，，，，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，可取，于是．所以直線與平面所成角的正弦值為題組二3.（2013新課標(biāo)Ⅱ）如圖，直三棱柱中，（Ⅰ）證明：//平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【解析】（Ⅰ）連結(jié)，交分別是的中點(diǎn)，于點(diǎn)O，連結(jié)DO，則O為的中點(diǎn)，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥，又因?yàn)镺D平面，平面，所以//平面；（Ⅱ）由=AC=CB=AB可設(shè)：AB=，則=AC=CB=，所以AC⊥BC，又因?yàn)橹崩庵?，所以以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CA、CB、為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則、、、，，，，，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個(gè)法向量為，同理可得平面的一個(gè)法向量為，則，所以，所以二面角D--E的正弦值為．4．（2012新課標(biāo)）如圖，直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求二面角的大?。窘馕觥浚á瘢┰谥校?，得：同理：得：面（Ⅱ）面取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，面面面得：點(diǎn)與點(diǎn)重合且是二面角的平面角設(shè)，則，既二面角的大小為傳統(tǒng)法求二面角的大?。鹤鞒龆娼堑钠矫娼遣⑼ㄟ^解三角形計(jì)算。作平面角常用方法如下：?①先確定二面角的棱，在棱上找一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為平面角。?②垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，兩交線所成的角即為平面角?③三垂線定理及其逆定理：過一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)作另一半平面的垂線，過垂足在另一個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線得棱上一點(diǎn)（即斜足），斜足與面上一點(diǎn)的連線和斜足與垂足連線所成角為平面角。?④利用特殊圖形的垂直關(guān)系直接作出平面角。此類問題的特征是圖形中一般有二面角的平面角，只須利用前面三種方法進(jìn)行判斷即可找到二面角的平面角。題組三5.（2019全國(guó)Ⅲ理19）圖1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B-CG-A的大小.【解析】（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因?yàn)锳B平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EHBC，垂足為H．因?yàn)镋H平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的邊長(zhǎng)為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小為30°．附：平面圖形的翻折問題：?（1）將平面圖形沿直線翻折成立體圖形，實(shí)際上是以該直線為軸的一個(gè)旋轉(zhuǎn)?（2）求解翻折問題的基本方法是：先比較翻折前后的圖形，弄清哪些量和位置關(guān)系在翻折過程中不變，哪些已發(fā)生變化，然后將不變的條件集中到立體圖形中，將問題歸結(jié)為一個(gè)條件與結(jié)論均明朗化的立幾問題。?（3）把平面圖形翻折成空間圖形后的有關(guān)計(jì)算問題，必須抓住在翻折過程中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系中，哪些是變的，哪些不變，特別要抓住不變量。一般地，在同一個(gè)半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是不變的，涉及到兩個(gè)半平面內(nèi)的幾何元素之間的關(guān)系是變的。題組四6．（2017新課標(biāo)Ⅲ）如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，，．(1)證明：平面⊥平面；(2)過的平面交于點(diǎn)，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值．【解析】（1）由題設(shè)可得，，從而．又是直角三角形，所以取的中點(diǎn)，連接，，則，．又由于是正三角形，故．所以為二面角的平面角．在中，．又，所以，故．所以平面平面．由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，．由題設(shè)知，四面體的體積為四面體的體積的，從而到平面的距離為到平面的距離的，即為的中點(diǎn)，得．故，，設(shè)是平面的法向量，則即可取設(shè)是平面的法向量，則同理可得則所以二面角的余弦值為．

7．（2018全國(guó)卷Ⅲ）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值．【解析】(1)由題設(shè)知，平面⊥平面，交線為．因?yàn)椤停矫?，所以⊥平面，故⊥．因?yàn)闉樯袭愑?，的點(diǎn)，且為直徑，所以⊥．又=，所以⊥平面．而平面，故平面⊥平面．(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，為的中點(diǎn)．由題設(shè)得，，，，，，，設(shè)是平面的法向量，則即可取．是平面的法向量，因此，，所以面與面所成二面角的正弦值是．題組五8．（2014新課標(biāo)=2\*ROMANII）如圖，四棱錐中，底面為矩形，⊥平面，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：∥平面；（Ⅱ）設(shè)二面角為60°，=1，=，求三棱錐的體積．【解析】（Ⅰ）連接交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)闉榫匦?，所以為的中點(diǎn)．又為的中點(diǎn)，所以∥．平面,平面，所以∥平面．（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，為矩形，所以，，兩兩垂直．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)，則．設(shè)為平面的法向量，則即，可?。譃槠矫娴姆ㄏ蛄浚深}設(shè)，即，解得．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以三棱錐的高為．三棱錐的體積．9．（2011新課標(biāo)）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，由余弦定理得從而，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD．故PABD（Ⅱ）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則，即因此可取=設(shè)平面的法向量為，則可取=（0，-1，）故二面角A-PB-C的余弦值為．題組六10．（2010新課標(biāo)）如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，垂足為，是四棱錐的高，為中點(diǎn).（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】以為原點(diǎn)，分別為軸，線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則（Ⅰ）設(shè)，則可得因?yàn)椋裕á颍┯梢阎獥l件可得設(shè)為平面的法向量則即因此可以取，由，可得，直線與平面所成角的正弦值.立體幾何十大經(jīng)典類型（解題思想方法歸納）類型一：證明線線平行 1.證明兩直線、平行，若直線和直線共面時(shí)，則可以用平面幾何中常用的一些方法（如證明和是一個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊）證明它們無公共點(diǎn)。在立體幾何中一般還有以下幾種思路：①根據(jù)公理4②根據(jù)“線面平行”的性質(zhì)定理③根據(jù)“線面垂直”的性質(zhì)定理，若直線和都與平面垂直，則//。④根據(jù)“面面平行”的性質(zhì)定理=5\*GB3⑤根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)。?=6\*GB3⑥根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)。?=7\*GB3⑦根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例。?2.設(shè)法轉(zhuǎn)化為線面平行、面面平行、線面垂直的相關(guān)問題3.向量方法：證明向量共線。類型二：證明線面平行1.傳統(tǒng)幾何方法：①根據(jù)直線與平面平行的定義②根據(jù)直線與平面平行的判定定理③根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理2.方法②通過“線線平行證明線面平行”，是由低維升向高維的一種思維方式；方法③通過“面面平行證明線面平行”，是由高維降向低維的一種思維方式。這兩種思維方式是立體幾何中基本的思維方法。3.向量方法：①轉(zhuǎn)化為證明向量共線。②根據(jù)共面向量定理。③證明向量與平面的法向量相互垂直。類型三：證明面面平行1．傳統(tǒng)幾何方法：①根據(jù)兩個(gè)平面平行的定義②根據(jù)兩個(gè)平面平行的判定定理③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行④平行于同一平面的兩個(gè)平面平行思維過程：注意三者的轉(zhuǎn)化線線平行線面平行面面平行線線平行線面垂直面面平行向量方法：①轉(zhuǎn)化為用向量證明線線平行、線面平行問題。②證明兩個(gè)平面的法向量共線。類型四：證明線線垂直證明線線垂直，若兩條直線在同一平面內(nèi)，可用平面幾何中證明兩條直線垂直的方法來證明它們垂直。立體幾何一般有以下幾種證明方法：①根據(jù)定義②如果直線//直線，直線直線，則③如果直線平面，則④三垂線定理及其逆定理⑤根據(jù)二面角的平面角的定義=6\*GB3⑥等腰（等邊）三角形中的中線=7\*GB3⑦菱形（正方形）的對(duì)角線互相垂直=8\*GB3⑧勾股定理中的三角形=9\*GB3⑨1::2的直角梯形中=10\*GB3⑩利用相似或全等證明直角，直徑所對(duì)的圓周角向量方法：證明向量相互垂直。類型五：證明線面垂直傳統(tǒng)幾何方法：①如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線，則這條直線和這個(gè)平面垂直②線面垂直的判定定理③如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則這條直線也與另一個(gè)平面垂直④兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面⑤面面垂直的性質(zhì)定理向量方法：①轉(zhuǎn)化為證明向量垂直。②證明向量與平面的法向量共線。類型六：證明面面垂直1．傳統(tǒng)幾何方法：①根據(jù)面面垂直的定義：如果兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直②根據(jù)面面垂直的判定定理③利用結(jié)論：如果一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它垂直于另一個(gè)平面2．向量方法：①轉(zhuǎn)化為用向量證明線線垂直、線面垂直問題。②證明兩個(gè)平面的法向量相互垂直。類型七：求異面直線所成角傳統(tǒng)幾何方法：先判斷這個(gè)角是否是直角，如果是直角可直接證明并得出結(jié)論，一般求角的步驟是：（1）利用平移作出要計(jì)算的角；（2）構(gòu)造含該角的三角形；（3）解三角形求角異面直線所成的角作法：①定義。在具體問題中異面直線的給出是異面線段形式表示的，因此由異面直線所成角的定義我們可以選擇兩條線段的四個(gè)端點(diǎn)，過其中一個(gè)端點(diǎn)作另外一條線段的平行線，選擇點(diǎn)的原則是過這點(diǎn)作另外一條線段的平行線要容易作（往往是這點(diǎn)和另外一條線段在一個(gè)三角形中且這點(diǎn)在三角形的一邊上，或這點(diǎn)和另外一條線段在已知一個(gè)平面內(nèi)且作平行線要好作）②利用中位法。如給出異面直線AB和CD，連接AC、AD、BC，然后再分別取這三條線段的中點(diǎn)E、F、G，連接EF、EG、FG得到△EFG，則∠FEG就是所求角或所求角的補(bǔ)角。這種方法優(yōu)點(diǎn)是作異面直線所成角比較容易，但缺點(diǎn)是△EFG中有一邊GF的長(zhǎng)度不容易求。向量方法：轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)向量的夾角（即等于所求的異面直線所成的角或其補(bǔ)角的大小）類型八：求平面的斜線與平面所成角傳統(tǒng)幾何方法：①轉(zhuǎn)化為求斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角，通過直角三角形求解。②利用三面角定理（即最小角定理）求。向量方法：設(shè)為平面的法向量，直線與平面所成的角為，則類型九：求二面角作出二面角的平面角并通過解三角形計(jì)算。作平面角常用方法如下：①先確定二面角的棱，在棱上找一點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，兩垂線所成的角即為平面角。②垂面法：用垂直于二面角棱的平面截二面角，兩交線所成的角即為平面角。③三垂線定理及其逆定理：過一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)作另一半平面的垂線，過垂足在另一個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線得棱上一點(diǎn)（即斜足），斜足與面上一點(diǎn)的連線和斜足與垂足連線所成角為平面角。④利用特殊圖形的垂直關(guān)系直接作出平面角。此類問題的特征是圖形中一般有二面角的平面角，只須利用前面三種方法進(jìn)行判斷即可找到二面角的平面角。求二面角的大小有時(shí)也可不必作平面角，只須判斷出二面角與某個(gè)線面角或線線角相等，求出即可。①用射影面積公式：（其中為斜面面積，為射影面積，為斜面與其射影面所成的二面角的平面角）。此法適用于棱未給出或平面角難以作出的情形。②公式法：如利用兩條異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式可求出二面角，公式為：③向量方法：只要在兩個(gè)半平面內(nèi)各有棱的垂線、（不必相交），則向量、所成的角的大小等于所求二面角或其補(bǔ)角的大小。另法：設(shè)、分別為兩個(gè)半平面的法向量，則它們所成的