一題多解探尋圓錐曲線壓軸破解之策與算法優(yōu)化（8）高考湖北省數(shù)學(xué)起點(diǎn)考試圓錐曲線“一題多解”兩例

2024新高考湖北起點(diǎn)考試圓錐曲線“一題多解”兩例——談?wù)剤A錐曲線壓軸題破解之策與算法優(yōu)化【方法策略簡(jiǎn)述】一、解析幾何大題多以圓錐曲線與直線綜合應(yīng)用的形式呈現(xiàn)，考察動(dòng)態(tài)情形下的范圍、最值、定點(diǎn)、定值等問題及存在探索性問題.二、解決此類問題的方法策略主要有三種：1、根與系數(shù)的關(guān)系法（主流方法）．設(shè)出動(dòng)直線的方程（），與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到關(guān)于的一元二次方程，得兩根之和兩根之積，同時(shí)兼顧的要求，利用兩根之和兩根之積進(jìn)行整體代換整體變形而求解．2、多變量多參數(shù)聯(lián)動(dòng)變換法（圓曲不聯(lián)立）．此種方法有別于方法1，不聯(lián)立方程消元求解，而是直接將所設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線（直線）方程和題設(shè)中，得到若干個(gè)關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)間的關(guān)系式，對(duì)這些關(guān)系式進(jìn)行整體變形整體代換而求解．如弦中點(diǎn)問題常用點(diǎn)差法處理．此種方法對(duì)多變量多參數(shù)的代數(shù)式的駕馭能力及變換技巧是一種考驗(yàn)．3、設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法．方法1、2均采用了設(shè)而不求的策略．當(dāng)問題中直線與曲線的交點(diǎn)易求時(shí)，可考慮直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解，即設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法．如：動(dòng)直線過曲線上一已知點(diǎn)時(shí)，則另一交點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出；再如動(dòng)直線與橢圓的交點(diǎn)易求出．【騰云聯(lián)盟8月聯(lián)考?21】已知過點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），M，N，P是拋物線上橫坐標(biāo)不同的三點(diǎn)，直線MP過定點(diǎn)，直線NP過定點(diǎn).（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線MN過定點(diǎn).【答案】（1）（2）MN過定點(diǎn)，證明見解析【解析】(1)設(shè)直線AB方程為，，，聯(lián)立得，消x得，得，，因?yàn)?，所以，即，，所以拋物線的解析式為：.(2)法一（多變量多參數(shù)聯(lián)動(dòng)變換法）設(shè)，，，（兩兩互不相等）因?yàn)镸、P、C三點(diǎn)共線，所以，即，①因?yàn)镹、P、D三點(diǎn)共線，所以，即，②直線MN方程為：，即③由①②得，即，代入③得，所以直線MN過定點(diǎn).法二（設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法）設(shè)，，，（兩兩互不相等）直線的方程為，與聯(lián)立消去得，方程的兩根為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故，即，直線的方程為，與聯(lián)立消去得，方程的兩根為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故，即，直線的方程為，即，化簡(jiǎn)得，即，即，即，即所以直線MN過定點(diǎn).【宜荊荊恩9月?22】已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于A，B的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，和的面積分別為，.若，求的最大值.【解析】(1)解：當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值結(jié)合及，解得

，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.法一（非對(duì)稱韋達(dá)法）設(shè)點(diǎn)若直線PQ的斜率為零，由對(duì)稱性知，不合題意.設(shè)直線PQ

的方程為

，由于直線PQ不過橢圓

C

的左、右頂點(diǎn)，則

聯(lián)立

得，由可得，，所以解得即直線PQ的方程為，故直線PQ過定點(diǎn)

.由韋達(dá)定理可得，由平面幾何知識(shí)所以設(shè)則，當(dāng)時(shí)故在單調(diào)增因?yàn)?，所以因此，的最大值為法二（設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法）設(shè)點(diǎn)直線的方程為，代入得方程的兩根為，則，，從而，點(diǎn)，因?yàn)椋庶c(diǎn)直線的方程為，代入得方程的兩根為，則，，從而，點(diǎn)，直線的方程為即令，化