2021阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題

第三屆阿里巴巴數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽試題

1.問(wèn)答題20分。因打:題

在一場(chǎng)舞會(huì)開始時(shí)，舞池中有20個(gè)女孩和22個(gè)男孩，舞池外還有無(wú)窮多的等待入場(chǎng)

的女孩和男孩。舞池的游戲規(guī)則如下：每一輪機(jī)會(huì)均等地從舞池中選出一個(gè)幸運(yùn)兒.如果

被選出來(lái)的是名女孩，她會(huì)邀請(qǐng)一位舞池中的男孩跳一支雙人舞，曲子結(jié)束以后雙雙離開

舞池；如果被選出來(lái)的是名男孩，那么他會(huì)從舞池外等待的人中邀請(qǐng)一位女孩和一位男孩

入場(chǎng)跳一支三人舞，舞曲結(jié)束后三人均留在舞池內(nèi).如果舞池里只剩兩個(gè)男孩則舞會(huì)結(jié)束。

問(wèn)題1：這場(chǎng)舞會(huì)永遠(yuǎn)也不會(huì)結(jié)束的概率是多少？

問(wèn)題2：舞會(huì)的組織者決定顛倒舞會(huì)的規(guī)則：在每一輪中，如果被選出來(lái)的是名女孩,

她會(huì)邀請(qǐng)會(huì)從舞池外等待的人中邀請(qǐng)一位女孩和一位男孩入場(chǎng)跳一支三人舞，舞曲結(jié)束后

三人均留在舞池內(nèi)；如果被選出來(lái)的是名男孩，那么他會(huì)邀請(qǐng)一位舞池中的女孩跳一支雙

人舞.曲子結(jié)束以后雙雙離場(chǎng)。舞會(huì)仍然在舞池里只剩兩個(gè)男孩時(shí)結(jié)束。在新的規(guī)則下，該

舞會(huì)平均會(huì)進(jìn)行多少輪才會(huì)終止？

2.證明題

考慮由服務(wù)器以及服務(wù)器之間的雙向信道組成的計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)。這些信道質(zhì)量不佳，每

一個(gè)信道的每一個(gè)方向都有可能以概率P失效，以概率1-P工作.（所有這些隨機(jī)事件均

為獨(dú)立事件，且OWPW1）整個(gè)網(wǎng)絡(luò)有一個(gè)服務(wù)器為根節(jié)點(diǎn).如果所有的服務(wù)器都可以通

過(guò)工作的信道訪問(wèn)到這個(gè)根節(jié)點(diǎn)，那么我們稱這個(gè)網(wǎng)絡(luò)是工作的.（注意我們并不要求根節(jié)

點(diǎn)可以訪問(wèn)其他的任何服務(wù)器.）圖1是一個(gè)例子.

試證明：整個(gè)網(wǎng)絡(luò)工作的概率與根節(jié)點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)。即，對(duì)于任意兩個(gè)不同的根節(jié)點(diǎn),

整個(gè)網(wǎng)絡(luò)工作的概率是一樣的.

一個(gè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)一些信道的一些方向失效了。

這里圓圈代表服務(wù)器，如果2是根節(jié)點(diǎn)，那么此網(wǎng)絡(luò)工作。

箭頭代表信道的一個(gè)方向。如果1,3,或者4是根節(jié)點(diǎn)，那么此網(wǎng)絡(luò)不工作。

圖1:一個(gè)例子.無(wú)論哪個(gè)服務(wù)器是根節(jié)點(diǎn)，此網(wǎng)絡(luò)工作的概率均為（l+2p）（l-p）3.

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3.證明題20分。因材漉

給定正整數(shù)k22和，對(duì)充分大的正整數(shù)m,定義/為包含所有恰好有m個(gè)1的

0/1矩陣(不一定為正方陣)的集合.定義/(m)為坡大的正整數(shù)L,使得對(duì)尸中任意矩陣

A都能找到一個(gè)同樣大小的0/1矩陣B滿足：(1)B至少有L個(gè)1;(2)B的每個(gè)元素都

不大于A對(duì)應(yīng)位置的元素；(3)B不包含任意k乘k的全1子矩陣.證明等式

..Inf(m)k

hm—r-2；——r.

m->ooinmk+1

4.證明題20分匚蹣本遨

設(shè)(n,AP)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)概率空間，X是有界隨機(jī)變量組成之集.對(duì)于t>0,定義映射

凡如下

凡(X)=tlogE[exp(X/0],XeX,

并且對(duì)t€(0,1),定義映射Q,如下

Qt(X)=inf{工€R:P(X>i)<t},XeX.

對(duì)于兩個(gè)映射/,g：%t[-00,00),定義算子口如下

fDg(x)=inf{/(r)+g(x-y)：yw?},xex.

(a)證明等式：對(duì)于t,s>0,

用口兄=凡+"

(b)證明等式：對(duì)于>0并且t+s<1,

QtOQs=Qt+s-

5.證明題20分口辭礴

假設(shè)4是區(qū)”的有限子集,且滿足如下條件

(a)A中每三個(gè)不同的點(diǎn)中必有兩個(gè)點(diǎn)距離為1,且

(b)每個(gè)A中的點(diǎn)"到原點(diǎn)的歐氏距離滿足

V廣麗川/麗

證明A的基數(shù)至多為2d+4.

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b.i止明題20分

假設(shè)M(t)是定義在。8)上的非負(fù)可測(cè)局部有界函數(shù)，這里局部有界指的是對(duì)任意0<

a<b<oo,存在常數(shù)仁,"使得

<Cw^a<t<b.

如果M(t)滿足

M(t)<1+/M(t-s)(l+t)-1s-5ds,Vt>0.

Jo

證明

Af(t)<10+2\/5,Vt>0.

7證明題20分

我們說(shuō)Sobolev空間7T(R)中的子集Q是等度連續(xù)的如果對(duì)任意e>0,存在6>0使得

||/(x+/i)-/(x)||w.<€,V/eQ,V|川<6.

固定常數(shù)r<s以及H'(1R)中的有界序列啟，如果序列在〃「(鼠)中收斂并在才,國(guó))中等

度連續(xù)，證明九在便)中也收斂。

8.證明題20分

假設(shè)〃z)是圓盤{|z|</?}(0</?<8)上的全純函數(shù).定義

M(rJ)=max|/(z)|,A(r,f)=maxRe{f(z)}.

證明

2rH.T

<-->!(/?,/)+---|/(0)|,V0<r</?.

it-FK-T

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9.證明題20分

對(duì)于給定的常數(shù)€>0,假設(shè)U滿足方程

'(a一￡況-dy)u=0,(t,x,y)eR+xRxR+,

<aytz|y=o=8工八,

、u|t=0=o.

這里Mt,r)是光滑Schwartz函數(shù)。定義算子e"。》

—(叼)體)=e。性⑺(A),(k)=l+四,

這里有表示對(duì)變量工做傅里葉變換.證明存在不依賴于時(shí)間T、邊值五以及￡的常數(shù)。使

得

/?TrT

j||e(iT)(D%||"盧￡CJ||e(D<0川ds.

10.問(wèn)答題20分

在R3中，對(duì)于長(zhǎng)方體△我們用10△記中心相同各邊平行但各邊長(zhǎng)擴(kuò)大10倍的長(zhǎng)方體。

比如如果△是一個(gè)1x1x10的長(zhǎng)方體(因而體積為10),那么10△就是10x10x100的

長(zhǎng)方體.我們說(shuō)兩個(gè)長(zhǎng)方體△]、42是幾乎重合的如果△[u1042并且△2€：1041。

找出最大的常數(shù)a,使得對(duì)某個(gè)只依賴于a的常數(shù)C(a),以下結(jié)論成立：

對(duì)于正整數(shù)N以及1x1xN的長(zhǎng)方體組成的集合S,如果⑴|S|=N：(ii)集合S中的任

何兩個(gè)不同的長(zhǎng)方體△[,△2都不是幾乎重合的；(iii)S中的每個(gè)長(zhǎng)方體的最長(zhǎng)邊與沖-平

面的夾角為打那么S中所有長(zhǎng)方體覆蓋的總體積滿足下界估計(jì)

U△>C(a)Na.

△ws

11.證明題20分

設(shè)M是一個(gè)緊致可定向的2n維帶邊流形(n>1),滿足條件MQ,

W,(A/;Q)=O,Vi>0.證明H?!(9A/;Z)的階是一個(gè)平方數(shù).

12證明題20分

記5階方陣A=(%),其中旬=設(shè)/:臚T瞪為光滑映射,且/②)c￡,

T

其中￡={工€瞪|XAX=1}.f自身復(fù)合n次得到的映射記為/(“).證明：不存在N>1,

使得

inf||/(n)(x)-i||>0,^n>N.

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13.證明題20分

當(dāng)n22時(shí)，記={(u,v)€5"xS"|u?v=0},其中u-vMu,v之間的歐氏內(nèi)

n

積,假定Mn的拓?fù)鋸?xS'誘導(dǎo)而來(lái),證明：

(1)M,為夕xS”的連通正則子流形；

(2)K為L(zhǎng)ie群當(dāng)且僅當(dāng)n=2.

14證明題20分

n+,

設(shè)/為曖上的光滑函數(shù)，記G/={(i,/(x))€R|工€R"}.歐氏度量在Gf上的

限制記為g.

(1)證明g是完備度量：

(2)若存在A>0,使得-A1n<Hcss(/)<Mn,其中/“是n階單位方陣，HessU)是f

的Hessian矩陣，則(G/,g)的單射半徑不小于會(huì).

15.證明題2。分

設(shè)(M,g)為n維完備黎曼流形，n>2.假定M連通，且其Ricci曲率張量Ric滿

足Ric>(n-1)5.記dg為(M,g)的饕曼測(cè)度，d(X,y)為x,y之間的測(cè)地距離.證明:

［cosd(工,y)dg(工)dg(y)>0,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)(M,g)等距同構(gòu)于標(biāo)準(zhǔn)球面Sn.

JMXM

16.證明題20分

問(wèn)題.設(shè)G為有限群，且HX,H2cG為其子群。假設(shè)對(duì)任意G在有限維復(fù)線性空

間V上的表示，總有

dimVHl=dimVHa,

其中Vft>是由V中所有不變向量構(gòu)成的子空間(t=1,2).證明

Z(G)cHi=Z(G)nH2,

其中Z(G)是G的中心。

17.問(wèn)答題20分

問(wèn)題.令P為素?cái)?shù)，并令Fp為有P個(gè)元索的有限域?？紤]多項(xiàng)式環(huán)弓［7］的自同

構(gòu)T,定義為

T(7)(X)=/(?+1).

令R為所有的滿足條件T(/)=f的多項(xiàng)式f構(gòu)成的Fp［z］的子環(huán).試找出一多項(xiàng)式

9€Fp［x］，使得g,?g),…,k】?為Fp［x］作為自由H-模的基。

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18.問(wèn)答題20分

問(wèn)題.令P為奇素?cái)?shù)，m20和N21為整數(shù)。設(shè)A為一秩為2m+1的自由

Z/p'Z?模，并設(shè)

(,)：AxA-Z/pNZ

為一完美對(duì)稱Z/P，豆雙線性型。這里，“完美”指的是誘導(dǎo)映射

A-Homz/*z(A,Z/pA-Z),xf(x,-)

為同構(gòu)。試求集合

{x€A|(x,x)=0}

的元素個(gè)數(shù),表達(dá)為P,m,N的函數(shù)。

19.問(wèn)答題20分

問(wèn)題.找出所有形如，2021+加并且可以表示為單位根的有理線性組合的實(shí)數(shù),

其中

?P和q是(可能相同的)索數(shù)；

?a>1是一整數(shù)，且不是另一整數(shù)的q次方。

2cl.證明題20分

問(wèn)題.令M=?i<zCe,為無(wú)窮維復(fù)線性空間，并記End(M)為M的復(fù)線性自同

態(tài)構(gòu)成的C代數(shù).令4和B為End(M)里兩個(gè)相互交換旦滿足如下條件的元索:

存在整數(shù)m<n<0<p<q,滿足gcd(-m,p)=gcd(-n,q)=1,使得對(duì)任意的j€Z,

我們有

j+n

4e,=ZdijCi,其中OijeC,aj+mjaj+nj*0,

i?j^m

Bcj-ZbjjG,其中bij€C,bj+pjbj.qj*0.

令RuEnd(M)為由4和B生成的C子代數(shù).注意R是交換環(huán)且M可以視為

在模。

(a)證明R是整環(huán)且同構(gòu)于C[x,y]/f(x,y),其中f(x,y)為一非零多項(xiàng)式使得

(b)令K為/?的分式域.證明M?RK是K上的一維線性空間。

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21.問(wèn)答題20分

考慮如下偏微分方程

(1)-V(flVu(z))=/(z),inR\

其中a是一個(gè)正定3x3常矩陣,而/€Cf(Bi)是個(gè)光滑緊支函數(shù).僅在R3中的冷位球場(chǎng)內(nèi)非零.

a)請(qǐng)問(wèn)/滿足什么條件時(shí)，方程(1)有解？

b)方程(1)的解是否唯-?如果唯?清證明：如果不唯一，請(qǐng)舉出反例，并且說(shuō)明如何提更多的條件

使得解唯一?

C)假設(shè)已知方程的解u(z)滿足

|u(z)|=O(|z|-3)as|z|too.

請(qǐng)問(wèn)