第08講拓展二圓錐曲線的方程（軌跡方程問題）

第08講拓展二：圓錐曲線的方程（軌跡方程問題）一、知識點歸納知識點一：曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關(guān)系：①曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．知識點二：求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍．知識點三：求軌跡方程的方法：1、定義法：如果動點的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。2、直譯法：如果動點的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3、參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動點運動的某個幾何量，以此量作為參變數(shù)，分別建立點坐標(biāo)與該參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，，進而通過消參化為軌跡的普通方程.4、代入法（相關(guān)點法）：如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。5、點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程.二、題型精講方法01直接法【典例1】（2023秋·山東濟寧·高二統(tǒng)考期末）已知圓心在軸上移動的圓經(jīng)過點，且與軸，軸分別相交于兩個動點，則點的軌跡方程為.【答案】【詳解】因為動圓圓心在軸上移動，且該動圓始終經(jīng)過點和，所以，為該動圓的直徑,又因為點在該動圓上，所以，，即，所以，點的軌跡方程為.故答案為：【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點距離之比值為常數(shù)的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓．已知點P到的距離是點P到的距離的2倍．求點P的軌跡方程；【答案】；【詳解】解：設(shè)點，點P到的距離是點P到的距離的2倍，可得，即，整理得，所以點P的軌跡方程為；【變式1】（2023·高三課時練習(xí)）已知兩定點A（1，1）、B（1，1），動點滿足，則點P的軌跡是.【答案】【詳解】設(shè)，，，則，，，化簡得.故答案為：【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，動點P與兩個定點，的距離之比為．求動點P的軌跡W的方程．【答案】.【詳解】設(shè)點P坐標(biāo)為，依題意得：，即，又，，所以2，化簡得：，故動點P軌跡W方程為.方法02相關(guān)點法【典例1】（2023春·四川內(nèi)江·高二四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？计谥校┮阎娣e為16的正方形ABCD的頂點A、B分別在x軸和y軸上滑動，O為坐標(biāo)原點，，則動點P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，不妨令，正方形ABCD的面積為16，則，則，由，可得，即，則，整理得故選：B【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點分別在軸、軸上運動，，點在線段上，且.則點的軌跡方程是；【答案】【詳解】設(shè)，因為，所以，①因為點在線段上，且，所以，即代入①，即，故答案為：.【典例3】（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知的斜邊為，且.求：(1)直角頂點的軌跡方程；(2)直角邊的中點的軌跡方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設(shè)，因為三點不共線，所以，因為，所以，又因為，所以，整理得，即，所以直角頂點的軌跡方程為.（2）解：設(shè)，因為，是線段的中點，由中點坐標(biāo)公式得，所以，由（1）知，點的軌跡方程為，將代入得，即所以動點的軌跡方程為.【變式1】（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定點和曲線上的動點，則線段的中點的軌跡方程為．【答案】【詳解】設(shè)線段中點為，，則，即，因為點為圓上的點，所以所以，化簡得：故答案為：【變式2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點P是橢圓上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段PM的中點的軌跡方程為．【答案】【詳解】因為軸，垂足為M，且PM的中點為，所以，又因為P是橢圓上任意一點，所以，即.故答案為：.【變式3】（2023春·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的上?下頂點分別為，點是橢圓上異于的動點，記分別為直線滿足.(1)證明：是定值，并求出該定值；(2)求動點的軌跡方程.【答案】(1)證明見解析，(2)【詳解】（1）由題意可知,設(shè)點，顯然，為定值.（2）設(shè)點,由于，的方程：①.的方程：②由①②聯(lián)立可得：，代入①可得，即點點滿足：，代入可得點的軌跡方程為：方法03定義法【典例1】（2023秋·全國·高二期末）一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，動圓圓心為，半徑為，當(dāng)兩圓外切時：，所以；當(dāng)兩圓內(nèi)切時：，所以；即，表示動點P到兩定點的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，所以P在以M、N為焦點的雙曲線上，且，，，所以動圓圓心的軌跡方程為：，故選：C.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：（x＋3）2＋y2＝1和圓C2：（x－3）2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.【答案】【詳解】設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為，半徑為，則由題意可得，，相減可得，故點的軌跡是以、為焦點的雙曲線的左支，由題意可得，，，故點的軌跡方程為．故答案為：【變式1】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為．【答案】【詳解】圓，即，圓心為，，圓，即，圓心為，，設(shè)動圓的圓心為，半徑為，由題意得，，則，所以動圓的圓心為的軌跡是以為焦點的橢圓，可設(shè)方程為，則，，所以，，所以動圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.【變式2】（2023·高二課時練習(xí)）如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關(guān)系式，那么點M的軌跡是．【答案】橢圓【詳解】可看作M（x，y）到的距離之和為，由于,所以點M的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.故答案為：橢圓方法04參數(shù)法【典例1】（2023·吉林長春·東北師大附中校考模擬預(yù)測）已知斜率為的動直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，則的軌跡長度為．【答案】/【詳解】設(shè)斜率為直線方程為：，代入橢圓中，消元整理得：，線段的中點為，設(shè)，則，所以，，所以，消去得：，所以線段的中點為的軌跡方程為：，如圖所示：的軌跡即為線段，由或，所以，所以的軌跡長度為：，故答案為：.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準(zhǔn)線于兩點，若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.【答案】【詳解】由拋物線，可得，設(shè)，則，且，記過兩點的直線為，則的方程為，設(shè)與軸的交點為，則，因為的面積是的面積的兩倍，可得，所以或（舍去），設(shè)滿足條件的的中點為，可得，當(dāng)與軸不垂直時，由，可得．又由，所以．當(dāng)與軸垂直時，與重合，所以，所求軌跡方程為.【變式1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，直線與拋物線交于兩點，過點作拋物線的切線，若交于點，則點的軌跡方程為.【答案】或【詳解】由焦點到準(zhǔn)線的距離為2，可得拋物線.由可得，故，故在處的切線方程為，即，同理在點處的切線方程為，聯(lián)立，即.聯(lián)立直線與拋物線方程：，消去得，由題或.由韋達定理，，得，其中或，故點的軌跡方程為：或.故答案為：或【變式2】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）已知橢圓，，為C為橢圓上一點，且.過P作兩直線與橢圓C相交于相異的兩點A，B，直線PA、PB的傾斜角互補，直線AB與x，y軸正半軸相交.(1)求橢圓C的方程；(2)點M滿足，求M的軌跡方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，所以，即，把代入，得，所以，故橢圓C的方程為；（2）由題意，直線AB斜率存在，不妨設(shè)其方程為，設(shè)點，聯(lián)立橢圓方程，得，其中，則，所以，因為直線、的傾斜角互補，所以，所以，化簡得，即，所以，若，此時直線AB過點P，不合題意舍去；故，所以，所以直線AB方程為，設(shè)，因為，所以M為AB的中點，所以，則，消去m得，又，且，所以，所以，所以點M的軌跡方程為.方法05點差法【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）若雙曲線的一條漸近線方程為，且兩頂點間的距離為6，求該雙曲線方程．（2）一組平行直線與橢圓相交，求弦的中點的軌跡方程．【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）若焦點在軸上，漸近線方程為，所以，又，所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為若焦點在軸上，漸近線方程為，所以，又，所以所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)與橢圓的兩交點，，，的中點為，則，兩式相減得：，即即，又，消去得，解得，所以弦的中點的軌跡方程為．【典例2】（2023春·上海徐匯·高二上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┮阎p曲線C的方程為．(1)直線截雙曲線C所得的弦長為，求實數(shù)m的值；(2)過點作直線交雙曲線C于P、Q兩點，求線段的中點M的軌跡方程．【答案】(1)(2)【詳解】（1）聯(lián)立,得，直線被雙曲線截得的弦長為,,設(shè)直線與雙曲線交于,則,由弦長公式得,解得.（2）設(shè),，則，，上式作差得，當(dāng)直