2021春北師大版六年級數(shù)學下冊教案：第四單元 正比例與反比例

第四單元教材分析

正比例與反比例

單元目標：

1.結(jié)合具體情境，體會生活中存在著大量互相依賴的變量，體會數(shù)學與生活的聯(lián)

系；在具體情境中，嘗試用自己的語言描述兩個變量之間的關系，知道列表或

畫圖都是表示變量之間關系常用的方法。

2.結(jié)合豐富的實例，經(jīng)歷正比例、反比例意義的建構過程，能從變化中看到“不

變”，認識正比例和反比例；能根據(jù)正比例和反比例的意義，判斷兩個相關聯(lián)

的量是不是成正比例和反比例；能舉出生活中成正比例和反比例量的實例。

3.初步了解正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數(shù)據(jù)在方

格紙上畫出相應的圖像。

單元重點：

1.在具體情境中，能辨別變化的量，用自己的語言描述一個量隨著另一個量變化

而變化的情況。

2.能根據(jù)正比例和反比例的意義，判斷兩個相關聯(lián)的量是不是成正比例和反比

例。

3.初步了解正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數(shù)據(jù)在方

格紙上畫出相應的圖像，能根據(jù)圖進行簡單的分析。

單元難點：

1.在具體情境中，能辨別變化的量，用自己的語言描述一個量隨著另一個量變化

而變化的情況。

2.能根據(jù)正比例和反比例的意義，判斷兩個相關聯(lián)的量是不是成正比例和反比

例。

3.初步了解正比例的圖像是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數(shù)據(jù)在方

格紙上畫出相應的圖像，能根據(jù)圖進行簡單的分析。

學情分析：

本單元是在學生已經(jīng)學習了比和比例等知識的基礎上進行學習的，主要學習

正比例和反比例的相關知識。我們生活在一個變化的世界中，從數(shù)學的前度研究

變量和變量之間的關系，將有助于人們更好地認識現(xiàn)實世界、預測未來。同時，

研究現(xiàn)實世界中的變化規(guī)律，也使學生從常量的世界進入了變量的世界，開始接

觸一種新的思維方式。我們知道，函數(shù)是研究現(xiàn)實世界變量之間關系的一個重要

模型，函數(shù)思想就是運用運動和變化的觀點、集合和對應的思想去分析問題的數(shù)

量關系，雖然在小學數(shù)學中沒有正式引入函數(shù)概念與函數(shù)關系式，也不需要學生

掌握“函數(shù)”和“函數(shù)思想”的名稱，但進行函數(shù)思想的滲透的教學是必要的。

本單元的正比例、反比例就是兩個重要的函數(shù)關系。其實，在本單元學習之前，

學生學習的探索數(shù)、形的變化規(guī)律，字母表示數(shù)等，已經(jīng)為學生積累了研究變量

之間關系的經(jīng)驗。學習正比例和反比例后，學生可以運用運動和變化的觀點、集

合和對應的思想分析問題的數(shù)量關系，也可以使學生懂得一切事物都是不斷變化

且相互聯(lián)系的，從而了解事物的變化趨勢及其運動的規(guī)律，也可以為學生以后進

一步學習數(shù)學、物理等知識奠定良好的基礎。

第四單元正比例和反比例

第1課時變化的量

教學內(nèi)容：六年級下冊第二單元P39?40內(nèi)容

教學目標：

知識與能力：結(jié)合具體情境，體會生活中存在著大量互相依賴的變量。

過程與方法：在具體情境中，嘗試用自己的語言描述兩個變量之間的關系。

教學重點：體會生活中存在著大量互相依賴的變量。

教學難點：在具體情境中，嘗試用自己的語言描述兩個變量之間的關系。

教學準備：小黑板

教法：引導法

學法：自主探究

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，導入新課。

1、用手勢表示出自己從出生到現(xiàn)在身高的變化。

2、用手勢表示出自己從出生到現(xiàn)在體重的變化。

3、身高、體重都會變化，這些都是變化的量。（板書課題）

二、觀察表格，感知變量。

1、出示小明的體重變化情況表。

這是小明的體重變化情況表。

（1）從表中你知道了什么信息？

（2）上表中哪些量在發(fā)生變化？

（3）請用折線統(tǒng)計圖畫出小明的體重變化情況。

（4）說一說小明10周歲前的體重是如何隨年齡增長而變化的？

2、說一說。

（1）我發(fā)現(xiàn)（）隨（）的增加而增加。

（2）我發(fā)現(xiàn)（）隨（）的減少而減少。

3、通過你們舉的例子，可以發(fā)現(xiàn)什么？

三、通過讀圖，感受變量。

1、駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而發(fā)生較大的變化。

2、出示駱駝體溫隨時間的變化統(tǒng)計圖。

3、讀懂統(tǒng)計圖。

（1）從圖中你知道了什么信息？

（2）一天中，駱駝體溫最高是多少？最低是多少？

4、感受量的周期變化。

（1）一天中，在什么時間范圍內(nèi)駱駝的體溫在上升？在什么時間范圍內(nèi)駱駝的

體溫在下降？

(2)第二天8時駱駝的體溫與前一天8時的體溫有什么關系？

(3)第二天，在什么時間范圍內(nèi)駱駝的體溫在上升？在什么時間范圍內(nèi)駱駝的

體溫在下降？第三天呢？

(4)每天駱駝的體溫總是怎樣變化的？

四、建立模型，感悟變量。

1、出示蟋蟀叫的次數(shù)與氣溫之間關系的情境。

2、你能用式子表示這個近似關系嗎？即氣溫h=t4-7+3o

3、理解式子中量的變化。

如果蟋蟀叫了7次，這時的氣溫大約是多少？

如果蟋蟀叫了14次，這時的氣溫大約是多少？

如果蟋蟀叫了28次呢？

你能發(fā)現(xiàn)蟋蟀叫的次數(shù)與氣溫之間是怎樣變化的？

4、舉出而變化的例子。

5、通過舉例我們可以發(fā)現(xiàn)一個量隨另一個量變化而變化，這些量就是變化的量。

五、總結(jié)，談談收獲。

六、作業(yè)布置

板書設計

課后反思:

第四單元正比例和反比例

第2課時正比例

教學內(nèi)容：六年級下冊第二單元P41?42內(nèi)容

教學目標：

知識與能力：結(jié)合豐富的實例，認識正比例。

過程與方法：能根據(jù)正比例的意義，判斷兩個相關聯(lián)的量是不是成正比例。

情感態(tài)度和價值觀：利用正比例解決一些簡單的生活問題，感受正比例關系在生

活中的廣泛應用。

教學重點：能根據(jù)正比例的意義，判斷兩個相關聯(lián)的量是不是成正比例。

教學難點：理解正比例的意義

教法：引導法

學法：自主探究

教學準備：小黑板

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，體會相關聯(lián)的兩個量的變化情況。

1、上節(jié)課我們一起學習了變化的量，知道了生活中有許多相關聯(lián)的量，誰來說

說什么是兩種相關聯(lián)的量？你能舉個例子說說什么樣的兩個量是相關聯(lián)的量

嗎？

2、兩種相關聯(lián)的量還有什么特殊的關系呢？今天我們就一起來研究一下。

1、正方形的周長與邊長的變化關系（教師引導）

出示教材表（1）,根據(jù)右邊的圖像把表格填完整，并根據(jù)問題觀察表中填好的

數(shù)據(jù)，思考應該怎樣解答？

（1）填表，觀察正方形周長與邊長的變化關系，并用語言表達。

（正方形的周長總是邊長的4倍……）

（2）你能用一個式子表示出來嗎？

（板書：周長?邊長=4（一定））也就是說周長與邊長的比值是一個定值，是不

變的。

2、正方形的面積與邊長的變化關系

（1）填表，說說正方形面積與邊長的變化規(guī)律。

（2）正方形的面積與邊長的比值是一個定值嗎？

3、比較這兩組變量的有什么區(qū)別？

三、正比例的意義。

1、教材練習

出示第2題：（按要求解答）

（1）你能把表格寫完整嗎？（獨立完成）

（2）說一說你是根據(jù)什么來填的？（小組交流）

（3）觀察路程與時間這兩種量，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（小組討論、交流）

（路程?時間=90（一定），即路程與時間的比值（也就是速度相同。）

2、教材。

（1）請把表格填寫完整。（獨立完成）

（2）說一說你是怎么想的？（小組交流）

（3）從表中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？（小組討論、交流）

（應付的價錢+質(zhì)量=3（一定），即應付的錢數(shù)與質(zhì)量的比值（也就是單價相同。）

3、思考：從上面的2、3題中，它們有什么共同特征？

他們都是兩個相關聯(lián)的量，一個量隨著另一個量的變化而變化，在變化過程中，

兩個量的比值相同，我們就可以說這兩個量成正比例。（板書）齊讀。

4、學生說說上面（2、3）題中路程和時間成正比例、購買蘋果應付的錢數(shù)與質(zhì)

量成正比例。

5、思考：你能說說如果判斷兩個量是不是正比例關系，需要符合哪些條件嗎？

（學生討論、交流）

6、想一想：（小組討論、交流）

（1）正方形的周長與邊長成正比例嗎？面積與邊長呢？為什么？

（2）小明和爸爸的年齡變化情況如下，把表填寫完整。

小明的年齡/歲67891011

爸爸的年齡/歲3233

父子的年齡成正比例嗎？為什么？

四、總結(jié)。

今裝我們京習了什么？你有什么收獲?

五、鞏固練習

六、作業(yè)布置

板書設計

課后反思:

第四單元正比例和反比例

第3課時正比例練習課

教學內(nèi)容：P43

教學目標：

知識與能力：結(jié)合豐富的事例，進一步認識正比例。

過程與方法：掌握成正比例變化的量的變化規(guī)律及其圖像的特征。根據(jù)正比例的

意義，正確判斷兩個相關聯(lián)的量是不是成正比例。

情感態(tài)度和價值觀：提高學生分析比較、歸納概括和判斷推理能力。

教學重點：認識正比例的意義和怎樣判斷兩個變化的量是不是成正比例。

教學難點：判斷兩個變化的量是不是成正比例。

教法：引導法

學法：自主探究

教學準備：用小黑板寫下教材中有關的圖像和表格。

教學過程：

活動一：初步感受正比例圖像的特征。

出示情境一中的

（1）正方形的周長與邊長；

（2）正方形的面積與邊長有關的表格和數(shù)據(jù)

1、回憶正比例的意義和判斷方法。

提問：哪兩個量是成正比例的量？請說明理由。

2、感受正比例的圖像。

（1）現(xiàn)在我們利用橫軸和縱軸分別表示正方形的邊長和周長，把表格中對應的

一組組數(shù)據(jù)在圖中表示出來。（教師示范描述第一個點，并說明這個點的含義。）

（2）現(xiàn)在我們利用橫軸和縱軸分別表示正方形的邊長和面積，把表格中對應的

一組組數(shù)據(jù)在圖中表示出來。

（3）引導學生觀察和思考：對比兩個圖像，你有什么想法？

（成正比例的兩個變量的點會在同一條直線上。）

活動二：練一練。

1、判斷下面各題中的兩個量，是否成正比例，并說明理由。

（1）每袋大米的質(zhì)量一定，大米的總質(zhì)量和袋數(shù)。

（2）一個人的身高和年齡。

（3）寬不變，長方形的周長與長。

2、根據(jù)下表中平行四邊形的面積與高相對應的數(shù)值，判斷當?shù)资?厘米的時候,

它們是成正比例，并說明理由。（表格見書）

3、買郵票的枚數(shù)與應付的錢數(shù)成正比例嗎？

應付的錢數(shù)隨購買的枚數(shù)的變化而變化，而且比值不變。所以應付的錢數(shù)與買郵

票的枚數(shù)成正比例。

4、找一找生活中成正比例的例子。

5、作業(yè)布置

板書設計

課后反思：

第四單元正比例和反比例

第4課時畫一畫

教學內(nèi)容：六年級下冊第二單元P44?45內(nèi)容。

教學目標：

知識與能力：在具體情境中，通過“畫一畫”的活動，初步認識正比例圖像。

過程與方法：會在方格紙上描出成正比例的量所對應的點，并能在圖中根據(jù)一個

變量的值估計他所對應的變量的值。

情感態(tài)度和價值觀：利用正比例關系，解決生活中的一些簡單問題。

教學重點：能畫表示成正比例關系的圖。

教學難點：發(fā)現(xiàn)正比例關系圖的特征。

教法：引導法

學法：自主探究

教學準備：小黑板

教學過程：

活動一：判斷下面的量是否成正比例關系？

1、每行人數(shù)一定，總?cè)藬?shù)和行數(shù)。

2、長方形的長一定，寬和面積。

3、長方體的底面積一定，體積和高。

活動二：探索一個數(shù)與它的5倍之間的關系。

1、求出一個數(shù)的5倍，填寫書上表格。

2、判斷一個數(shù)的5倍和這個數(shù)有怎樣的關系？

小結(jié)：一個數(shù)和它的5倍之間具有正比例關系。

3、根據(jù)上表，說出下圖中各點的含義。（圖見書上）。

4、連接各點，你發(fā)現(xiàn)了什么？

5、利用書上的圖，把下表填完整。

6、估計并找一找這組數(shù)據(jù)在統(tǒng)計圖上的位置。

活動三：試一試。

1、在下圖中描點，表示兩個表格中的數(shù)量關系。

2、思考；連接各點，你發(fā)現(xiàn)了什么？

活動四：練一練。

1、圓的半徑和面積成正比例關系嗎？為什么？

教師講解：因為圓的面積和半徑的比值不是一個常數(shù)。

2、乘船的人數(shù)與所付船費為：（數(shù)據(jù)見書上）

（1）將書上的圖補充完整。

（2）說說哪個量沒有變？

（3）乘船人數(shù)與船費有什么關系？

（4）連接各點，你發(fā)現(xiàn)了什么？

3、回答下列問題：

（1）圓的周長與直徑成正比例嗎？為什么？

（2）根據(jù)右圖，先估計圓的周長，再實際計算。

（3）直徑為5厘米的圓的周長估計值為（），實際計算值為（）。

（4）直徑為15厘米的圓的周長估計值為（），實際計算值為（）。

4、把下表填寫完整。試著在第一題的圖上描點，并連接各點，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（表格見書上）

5、作業(yè)布置

板書設計

課后反思:

第四單元正比例和反比例

第5課時反比例

教學內(nèi)容：六年級下冊第二單元P46?47內(nèi)容

教學目標：

知識與能力：結(jié)合豐富的實例，認識反比例；

過程與方法：能根據(jù)反比例的意義，判斷兩個相關聯(lián)的量是不是成反比例；

情感態(tài)度和價值觀：利用反比例解決一些簡單的生活問題，感受反比例關系在生

活中的廣泛應用。

教學重點：根據(jù)反比例的意義，正確判斷兩個相關聯(lián)的量是不是成反比例。

教學難點：積不變，兩個量成反比例關系的理解和判斷。

教法：引導法

學法：自主探究

教學準備：小黑板

教學過程：

一、復習準備

1.成正比例關系的兩個量有什么特點？

2.試舉例說明。

二、新授學習

1.和是12的兩個加數(shù)，一個加數(shù)隨著另一個加數(shù)的變化而變化，在變化過程中

它們的和一定。

1）說出它們圖像。

2）這兩個加數(shù)之間有什么關系。（和一定12）

3）說出它們成什么比例關系。（正比例關系）

2.積是12兩個乘數(shù)，一個乘數(shù)隨著另一個乘數(shù)的變化而變化，在變化過程中，

它們的積一定。

1）說出它們的關系。

2）發(fā)現(xiàn)了什么？（積一定）

3）在積一定的條件下，兩個量成反比例關系。（板書）、

4）比較這兩個變化關系相同嗎？

三、歸納總結(jié)

1.一個量隨著另一個量的變化而變化，在變化過程中，它們的比值一定，這兩

個量成正比例關系。

2.一個量隨著另一個量的變化而變化，在變化過程中，它們的乘積一定，這兩

個量成反比例關系；

四、鞏固應用

第2題：路程一定時，速度和時間成反比關系。

幾種比例關系：

路程一定時，時間和速度成反比。

時間一定時，路程和速度成正比。

速度一定時，路程和時間成正比。

第3題：果汁總量一定時，分的杯數(shù)和每杯的果汁量成反比例關系。

五、課后練習

判斷單價一定時，總價格和質(zhì)量成什么比例

六、作業(yè)布置

板書設計

課后反思:

第四單元正比例和反比例

第6課時反比例練習課

教學內(nèi)容：六年級下冊P49內(nèi)容

教學目標：

知識與能力：掌握比的讀寫法，掌握求比值的方法并能正確地求出比值.

過程與方法：經(jīng)歷從具體情境中抽象出比的過程，理解比的意義。

情感態(tài)度和價值觀：能利用比的知識解釋一些簡單的生活問題，感受比在生活中

的廣泛存在。

教學重點：理解比的意義，了解比的各部分的名稱。

教學難點：提供多種情境，使學生經(jīng)歷從具體情境中抽象出比的意義的過程。

教法：引導法

學法：自主探究

教學準備：小黑板

教學過程：

一、情境引入，體會學習比的必要性。

1、出示照片知識與能力：

2、再出示A、B、C、D、E五張照片

問：再看看哪幾張照片和A比較像，哪幾張照片和B不像？

二、展開探究，感知比的意義

情境一：照片的放大與縮小

為了研究方便，我們把這幾張照片放在格子圖中，請看，每個小正方形的邊長都

是1厘米，那么照片A長是（），寬是（）。出示各個長方形的長和寬。

為什么有幾張照片比較像，有幾張不像？我們光是這樣看看這些長方形的長和

寬，好像還不能馬上看出原因，怎么樣才有利于觀察呢？（把長和寬統(tǒng)計下來）

統(tǒng)計的時候按A、B、C、D、E這樣的順序嗎？（按分來統(tǒng)計）

（2）現(xiàn)在我們先來觀察照片A、B、D這幾個長方形的長和寬有什么關系？先獨

立思考，再四人小組討論交流

（3）反饋交流

4、初步小結(jié):

觀察這里所有的算式，有什么共同點？（都用除法）

情境二：比比誰的速度快？哪個攤位的蘋果最便宜？

（1）馬拉松選手跑40千米，大約需2時。騎車人騎車3時可以行45千米。

（2）A攤位蘋果3千克15元B攤位蘋果9元2千克C攤位蘋果12元3千

克

2、學生分組完成：一二組學生完成表一，三四組學生完成表二。

3、反饋交流：說說怎樣求速度和單價的？怎樣求單價的？

4、思考：我們要比較誰的速度快，也就是要比較什么？要比較哪個攤位上的蘋

果便宜，也就是要比較什么？

5、小結(jié)，再次感受比的意義

這兩個問題，我們在解決時有什么共同點？（都用除法解決問題）

三、歸納特征，總結(jié)思辨比的意義

像上面那樣，兩個數(shù)相除，又叫做兩個數(shù)的比。如16+4又可以說是6：4

四、進一步認識比

1、認識比的讀寫

2、回顧剛才情境中的數(shù)量關系，具體說說有哪些比。

五、鞏固練習，質(zhì)疑知新

1.你能根據(jù)下列信息寫出哪些比。

①六（1）班有男生26人，女生24人。

②一個大正方形的邊長是4厘米，一個小正方形的邊長是3厘米。

2.下面二題中兩個數(shù)量之間的關系能用比表示嗎？如果能的就請你寫下這個比,

并想一想這個比是誰與誰的比？

①某水果店打出蘋果便宜賣的招牌：12元3千克。（）

②小軍買了5本科技書，每本4元。（）

3.既然比的后項不能為0,而足球比賽中常出現(xiàn)的“2:0”的意義是什么？它是

一個比嗎？

六、課堂總結(jié)：通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲?

七、作業(yè)布置

板書設計

課后反思:

第四單元正比例和反比例小結(jié)

一、變化的量

生活中存在著大量互相依存的變量，一種量變化，另一種量也隨著變化。

二、正比例

1.正比例的意義：兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果

這兩種量中相對應的

兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。

如果用字母x和y表示兩種相關聯(lián)的量，用字母k表示它們的比值（一定），正

比例關系可以表示為：y/x=k（一定）。

2.應用正比例的意義判斷兩種量是否成正比例：有些相關聯(lián)的量，雖然也是一

種量隨著另一種量的

變化而變化，但它們相對應的數(shù)的比值不一定，就不成正比例，例如：被減數(shù)與

差，正方形的面積與邊長等。

三、畫一畫

正比例的圖像是一條直線。

四、反比例

1.反比例的意義：兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這

兩種量中相對應的兩

個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。如

果用字母x和y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的乘積，反比例的關系式可

以表示為：x?y=k（一定）。

2.判斷兩個量是不是成反比例：要先想這兩個量是不是相關聯(lián)的量；再運用數(shù)量

關系式進行判斷，看

這兩個量的積是否一定；最后作出結(jié)論。

例：A、B、C三種量的關系是：AXB=C

（1）如果A一定,那么B和C成（）比例；

（2）如果B一定，那么A和C成（）比例；

（3）如果C一定，那么A和8成（）比例.

五、觀察與探究

當兩個變量成反比例關系時，所繪成的圖像是一條光滑曲線。

六、圖形的放縮

一幅圖放大或縮小，只有按照相同的比來畫，畫的圖才像。

七、比例尺

1.比例尺：圖上距離與實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。

比例尺=圖上距離+實際距離

圖上距離=實際距離X比例尺實際距離=圖上距離+比例尺

例：在一幅地圖上量得甲乙兩地距離6厘米，乙丙兩地距離8厘米；已知甲乙兩

地間的實際距離是120千米，乙丙兩地間的實際距離是（）千米；這幅地圖

的比例尺是（）。

2.比例尺的分類：比例尺根據(jù)實際距離是縮小還是擴大，分為縮小比例尺和放大

比例尺。根據(jù)表現(xiàn)

形式的不同，比例尺還可分為線段比例尺和數(shù)值比例尺。

例：一種微型零件的長5毫米，畫在圖紙上長20厘米，這幅圖的比例尺是（）-

3.比例尺的應用：

（1）已知比例尺和圖上距離，求實際距離

比例尺=圖上距離+實際距離

圖上距離=實際距離X比例尺

實際距離=圖上距離+比例尺

例如：在比例尺是1:4000000的地圖上，圖上距離1厘米表示實際距離（）

千米。也就是圖上距離是實際距離的，實際距離