北師大版九年級數(shù)學上冊 （用配方法求解一元二次方程）一元二次方程教育教學課件(第2課時)

第二章一元二次方程2.1用配方法求解一元二次方程第2課時

情景導入1．復習提問：用配方法解一元二次方程(二次項系數(shù)為1)的步驟是什么？2．比較下列兩個一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別．①

x2＋6x＋8＝0；②

3x2＋18x＋24＝0.探討：方程②應如何去解呢？一移項、二配方、三求解．探究：用配方法解一元二次方程的步驟解方程：3x2+8x-3=0.

解：兩邊同除以3,得

x2+

x-

1=0.配方,得

x2+x+()2-(

)2-1=0,

(x+)2-

=0.

實踐探究移項,得x+=±

,即x+=

或x+=

－.所以x1=,

x2=

－3.

歸納總結(jié)用配方法解一元二次方程的一般步驟大致概括如下：(1)化二次項系數(shù)為1；(2)移項：使方程的左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；(3)配方：方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，使原方程變?yōu)?x＋m)2＝n(n≥0)的形式；(4)開平方；(5)解：方程的解為x＝－m±.

完成下面的填空：用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程的一般步驟是：(以解方程2x2－6x＋1＝0為例)練一練①系數(shù)化1：把二次項_____化為1，得______________；②移項：將常數(shù)項移到右邊，得x2－3x＝

；系數(shù)③配方：兩邊同時加上________________________，得：

．再將左邊化為完全平方形式，得：__________；④開平方：當方程右邊為正數(shù)時，兩邊開_____，得：(注意：當方程右邊為負數(shù)時，則原方程無解)；⑤解一次方程：得x＝

，∴x1＝

，x2＝______．一次項系數(shù)的一半的平方平方一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p.①當p>0時,則

,方程的兩個根為②當p=0時,則(x+n)2=0,x+n=0,開平方得方程的兩個根為

x1=x2=-n.③當p<0時,則方程(x+n)2=p無實數(shù)根.應用舉例例1解方程3x2+8x–3=0解：方程兩邊都除以3，得移項，得配方，得兩邊開平方，得所以

如圖，一塊矩形土地，長是48m，寬是24m，現(xiàn)要在它的中央劃一塊矩形草地(空白部分)，四周鋪上花磚路，路面寬都相等，草地面積占矩形土地面積的

，求花磚路面的寬．例2【方法指導】若設(shè)花磚路面寬為xm，則草地的長與寬分別為(48－2x)m及(24－2x)m，根據(jù)等量關(guān)系：矩形草地的面積＝×矩形土地的面積，即可列一元二次方程求解．

解：設(shè)花磚路面的寬為xm.根據(jù)題意，得(48－2x)(24－2x)＝×48×24.整理，得x2－36x＝－128.配方，得x2－36x＋(－18)2＝－128＋(－18)2，即(x－18)2＝196.兩邊開平方，得x－18＝±14.即x－18＝14，或x－18＝－14.所以x1＝32(不合題意，舍去)，x2＝4.故花磚路面的寬為4m.

例3試用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因為（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.若a,b,c為△ABC的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：對原式配方，得由代數(shù)式的性質(zhì)可知所以，△ABC為直角三角形.例4隨堂練習1．方程3x2－1＝2x的兩個根是_______________．2．方程2x2－4x＋8＝0的解是____________．無實數(shù)解3．用配方法解方程：(1)－

x2＋

x－

＝0；

(2)3x2＝5－6x.解：(1)x1＝

，x2＝

；

(2)x1＝

－1，x2＝－

－1.

4．已知a2－3a＋b2－

＋

＝0，求a－4的值．

5.若

，求(xy)z

的值.解：對原式配方，得由代數(shù)式的性質(zhì)可知6.小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關(guān)系：h＝15t－5t2，小球何時能達到10m的高度？解：根據(jù)題意得15t－5t2＝10；

方程兩邊都除以－5，得

t2－3t＝－2；t1＝2，t2＝1；答：當t＝2s或t＝1s時，小球達到10m的高度．配方，得配方法方法步驟一移常數(shù)項；二配方[配上

]；三寫成(x+n)2=p(p≥0);四直接開平方法解方程.特別提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化為x2+px+q=0的形式.應用求代數(shù)式的最值或證明在方程兩邊都配上課堂小結(jié)與作業(yè)用配方法求解一元二次方程北師大版九年級上冊數(shù)學

一元二次方程有哪些特點？①只含有一個未知數(shù);②未知數(shù)的最高次項系數(shù)是2；③整式方程．一元二次方程的一般形式是什么？復習導入

ax2+bx+c=0(a,

b,

c為常數(shù),

a≠0)新知探究一元二次方程的解：使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.下面哪些是方程x2–x–6=0

的解?

-3,-2,-1,0,1,2,33和-2.練一練x9.039.049.059.069.07x2+2x-100-0.3991-0.19840.00250.20360.4049例1、觀察下列表格，一元二次方程x2+2x-100=0的一個近似解是(

)A.x≈9.025 B.x≈9.035C.x≈9.045 D.x≈9.055C典例精析練習1觀察下列表格，一元二次方程x2-x=1.1的一個近似解是(

)x1.11.21.31.41.51.61.71.81.9x2-x0.110.240.390.560.750.961.191.441.71A、0.11B、1.19C、1.73D、1.67D？如何求一元二次方程的精確解新知探究例2、你會解下列一元二次方程嗎？用直接開平方法解一元二次方程一解：x1=2,x2=-2.

(1)(2)利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程解的方法叫直接開平方法.(3)x2+2x+1=5 用直接開平方法解方程時，要先將方程化成的形式，再根據(jù)平方根的定義求解．注意開方后，等式的右邊取“正、負”兩種情況.練一練一(1)(x+6)2

+72=102

(2)(3)

1、用直接開平方法解下列方程.思考：如何求解方程x2+2

x-

1=0？新知探究填一填：觀察：上面等式左邊的常數(shù)項與一次項系數(shù)有什么關(guān)系？36942164左邊的常數(shù)項為一次項系數(shù)一半的平方.對于形如x2

+

ax的式子，如何配成完全平方？典例精析例3、解方程：x2+8x-9=0.

解：把常數(shù)項移到方程的右邊,得

x2+8x=9,

兩邊都加42(一次項系數(shù)8的一半的平方),得x2+8x+42=9+42,即 （x+4）2=25.兩邊開平方,得x+4=±5,即x+4=5或

x+4=-5.所以 x1=1,x2=-9.移項配方用直接開平方法求解新知探究配方法：通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法.用配方法解形如x2+px+q=0的一元二次方程步驟：①移項——將常數(shù)項移到方程的右邊.x2+px=-q②配方——兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.

x2+px+(

)2

=(

)2

-q③用直接開平方法求解.

(x+)2=(

)2

-q練一練2、用配方法解下列方程.

(1)x2+12x-2=0;(2)

x2-4x=1;(3)

如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成的形式，那么：當n>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；當n=0時，方程有兩個相同的實數(shù)根；當n<0時，方程無實數(shù)根。例4、如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動多少米？問題解決解：由勾股定理可知,滑動前梯子底端距墻____m.如果設(shè)梯子底端滑動xm

,那么滑動后梯子底端距墻

m.根據(jù)題意，可得：6x+6整理得，x2+12

x

-

15=0.10m8m1mxm72+(x+6)2

=102.答：梯子底端滑動了米.典例精析例5、解方程.解：原方程等價于移項配方化二次項系數(shù)為1用直接開平方法求解練一練(1)3x2-4x+1=03、用配方法解下列方程.

(2)（3）課堂小結(jié)1、一元二次方程的解（判斷方程的近似解）2、直接開平方法解形如的方程3、配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步驟為：

①化二次項系數(shù)為1——方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；

②