歷年考研數(shù)學二真題1995

1995年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試理工一、設ycos(x2)sin21,則y' x【答】2xsinx2 1sin2cosx2 y'[cos(x2)]'sin21cos(x2)sin21 x 2xsinx2sin211sin2cosx2 微分方程y''y2x的通解 y2xC1cosxC2sinx.【詳解 相應齊次方程的特征方程為210,其根為i, 由于非齊次項為2x0y*ABx，代入原方程解，得A0,B2，因此通解為y2xC1cosxC2sinx

在 3y【答】3xy7【詳解 當t2時，x05,y08,dydt

32

t

33y

y83x5或3xy7 nnn nn nn 1 【詳解 利用夾逼定理，12 n n 12 n2n i1n2n n2n且 lim12 nli 1 1nn2n nn2n 1lim12 nlim 1 n2n nn2n lim ni1nn 曲線yx2ex2的漸近線方程 【答】【詳解 由于limx2ex2limx

lim x x所以，y=0水平為漸近線（1）fx和x在fxfx0,x有間斷 【答】應選【詳解 方法一（用反證法fxf

f

.（A取x

x,fxx41,則fx,x符合要求，而

f

x （C2(A)0xx122 2D0xx122【答】應選yxx12xxx0,x1,x2x軸所 0xx12xdx0xx12xdx1xx12A對任意xf'xC函數(shù)fx單調增加【答】應選

B對任意xf'xD函數(shù)-fx單調增加【詳解 fx1fx2 故fx是單調增加的.(4)fx在0,1上f''x0,則f'1、f'0、f1f0或f0f1Af'1f'0f1f Bf'1f1f0fCf1f0f'1f Df'1f0f1f【答】應選(B)【詳解 由題設f''x0,所以f'x單調增加，f'0f'xf x f1f0f'

f'1f1f0f'0可見應選（5）fx可導，F(xiàn)xfx1sinx.若使Fx在x0Cf0f'0【答】應選【詳解

Bf'0Df0f'0F'0limFxF0limfx1sinxf f f f flim xf0sinxfx x0 F'0limFxF0limfx1sinxf f'0f 要使F'0存在,必有F'0F'0, f'0f0f'0f f0三（1）求

cos cosx1cos

1cos1 lim x

x 2

yyx由方程xefyeyff1,【詳解 方法一lnxfy

d2ydx2x

1f'yy'yxy'故

1f'yxf''yy 1f'y2f''y

x21f'yefyxefyf'yy'eyyy'

ef

ef

efyxefyf'y 2 設f 【詳解 由

x21x21 fx

xx

xx

x x從 x1x,即xx1 x1dx2lnx1x xxarctan1設fx 【詳解 當x0時

xx

試討論f'x在x0處的連續(xù)性 f'xxarctanx21x4xarctan f'0

x2 limf'xlimarctan 2x2 42 4 1x f'x在x0x1cos 求擺線ytsint0t2的弧長【詳解 弧微ds x'2ty'2tdt 21costdt2sint2

0t2 從 S0sin2dt設單位質點在水平面內作直線運動，初速度vt0v0.已知阻力與速度成正比（比例常數(shù)1）t為多少時此質點的速度為v0并求到此時刻質點所經過的路程.3【詳解 設質點的運動速度為v(t),由題設，阻ffvt

d2st

m

v't vt0

v0vet得t S vet3 3fx

0【詳解 由題f'x2x2x2ex2令f'x0,知fx在區(qū)間0,+內有唯一駐點x 當0x 2時，f'x0'當x 2時，f'x所以x 是極大值點，由極值點唯一知，這也是最大值點，最大值 f222tetdt2tet22etdt1 因 2tetdt2tetet1,以及f0 x=0是最小值點.所以f(x)的最小值為0.xln五、設yex是微分方程xy'pxyx的一個解，求此微分方程滿足條件 0xln【詳解 把yex代入原方程，pxxex

xy'xexxyy'ex1yyeex1dxeex1dxdxCexCexex yxln

0，得Ce2

y*ex

xex231y'2 3的切線和法線.已知線段MP

其中yy'x

,【詳解 由題設

yy

x2y2 y y0PM與MTy'x0 y0

y y01yy0 y0 x

y

y'1y'2

y， y，

y'1y'2 0 10y yxsin fx0tdt計算【詳解 用分部積分法

0fxdxxfx00xf'xsintdtxsinxdxsinxdx0 八、設

1,且f''(x0,證明f(x【詳解 方法一 f00,f'0 由于 F''xf''x0,知F(0)是F(x)的極小值，F(xiàn)''(x)單調，故F(x)只有一個駐點，從而F（0）是F(x)的極小值，因