2022年暑假初升高數(shù)學(xué)第6講：命題與量詞

第第#頁共8頁2022年暑假初升高數(shù)學(xué)第6講:命題與量詞學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1?理解命題的含義，并會(huì)判斷其真假.理解全稱量詞與全稱量詞命題的定義.理解存在量詞與存在量詞命題的定義.能準(zhǔn)確地使用全稱量詞和存在量詞符號(hào)(即“V，3”)來表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容.(重點(diǎn))會(huì)判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并會(huì)判斷它們的真假.(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過對(duì)命題、全稱量詞、存在量詞的理解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).2.借助全稱量詞命題和存在量詞命題的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.I—新虹I初探門命題可供真假判斷的陳述語句是命題，而且，判斷為真的語句稱為真命題，判斷為假的語句稱為假命題.全稱量詞和全稱量詞命題一般地，“任意”“所有”“每一個(gè)”在陳述中表示所述事物的全體，稱為全稱量詞，并用符號(hào)“工”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題，通常將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x),…表示，變量x的取值范圍用M表示，那么全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為Vx^M，p(x).存在量詞和存在量詞命題“存在”“有”“至少有一個(gè)”在陳述中表示所述事物的個(gè)體或部分,稱為存在量詞，并用符號(hào)“3”表示.含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題，存在量詞命題“存在集合M中的元素x，p(x)成立”，可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“3xWM，p(x)”.思考：“一元二次方程ax2+2x+1=0有實(shí)數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱量詞命題？請(qǐng)改寫成相應(yīng)命題的形式.提示：是存在量詞命題，可改寫為“存在x^R，使ax2+2x+1=0”.|_初試身手下列語句中，命題的個(gè)數(shù)為（）空集是任何非空集合的真子集；②起立！③垂直于同一平面的兩條直線平行嗎？④若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=0,則x=y=O.A.1B.2C.3D.4B［①④為命題，②是祈使句，③是疑問句，都不是命題，故選B.］下列命題中，全稱量詞命題的個(gè)數(shù)為（）平行四邊形的對(duì)角線互相平分；②梯形有兩邊平行；③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等.A.0B.1C.2D.3C［①②是全稱量詞命題，③是存在量詞命題.］下列存在量詞命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①3xeR,xWO；②至少有一個(gè)整數(shù)，它既不是合數(shù)，也不是素?cái)?shù)；③3x${xlx是整數(shù)}，X2是整數(shù).A.0B.1C.2D.3D［①②③都是真命題.］用存在量詞表示下列語句：“有一個(gè)實(shí)數(shù)乘以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”表示為.［答案］存在一個(gè)實(shí)數(shù)x,它乘以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0合作探究時(shí)昱盍養(yǎng)△步趣11/命題概念的核心要素【例1】（1）下列語句中為命題的是（）m+nB.{0}$NC.函數(shù)與圖像D.2x>3（2）下列語句中不是命題的有.（填序號(hào)）無理數(shù)的平方是有理數(shù)嗎？王明同學(xué)的素描多么精彩?。∪魓，y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)；請(qǐng)說普通話；

⑤x2—xy+y2三0.B(2)①②④[⑴只有B選項(xiàng)可判斷真假.①不是命題，因?yàn)槭且蓡柧洳皇顷愂鼍洌虎冖芊謩e是感嘆句和祈使句，所以都不是命題；③⑤是命題，因?yàn)樗鼈兡芘袛嗾婕?]一般地，判定一個(gè)語句是不是命題，要先判斷這個(gè)語句是不是陳述句，再看能不能判斷真假.其流程圖如圖：先看是否為陳述句再看證否判斷真假*語句是命題1j跟蹤訓(xùn)練下列語句中，是命題的為.(填序號(hào))紅豆生南國(guó)；作射線AB;中國(guó)領(lǐng)土不可侵犯！當(dāng)xW1時(shí)，x2—3x+2W0.①④[②和③都不是陳述句，根據(jù)命題定義可知①④是命題.]空型2/命題真假的判斷【例2】下列命題是真命題的為(){x$Nlx3+1=0}不是空集若丄二1,則x=yxy丿對(duì)任意的a,b^R，都有a2+b2—2a—2b+2<0若整數(shù)m是偶數(shù)，則m是合數(shù)B[A中，x^N,x3±0,{x$Nlx3+1=0}是空集，故為假命題；B中，由1x=y可推出x=y;C中，因?yàn)閍2+b2—2a—2b+2=(a—1)2+(b—1)2三0,故是假命題；D中，2是偶數(shù)，但2是質(zhì)數(shù)，故是假命題.]規(guī)件方法判斷命題真假性的兩個(gè)技巧真命題：判斷一個(gè)命題為真命題時(shí)，會(huì)涉及學(xué)習(xí)過的概念、定理、公理、法則、公式等，借助于題目中的已知條件，經(jīng)過嚴(yán)格科學(xué)的推理論證得出要證的結(jié)論.假命題：判斷一個(gè)命題為假命題時(shí)，只要舉一反例即可.jj跟蹤訓(xùn)練2?下列四個(gè)命題為真命題的有()①若x>1,則x2>1；②梯形不是平行四邊形；③全等三角形的面積相等.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)C[①②③是真命題.]\為型3丿全稱量詞和全稱量詞命題【例3】下列命題是全稱量詞命題的個(gè)數(shù)是()①任何實(shí)數(shù)都有立方根；②所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；③有的平行四邊形是矩形；④三角形的內(nèi)角和是180°.A.0B.1C.2D.3D[命題①②含有全稱量詞，而命題④可以敘述為“每一個(gè)三角形的內(nèi)角和都是180?！?，故有3個(gè)全稱量詞命題：①②④.]全稱量詞命題的常用表示形式：所有的x^M,r(x)；對(duì)一切x^M,r(x)；對(duì)每一個(gè)x^M,r(x)；任選一個(gè)x^M,r(x)；任意x^M,r(x).

物跟蹤訓(xùn)練下列不是全稱量詞命題的是()任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘零都得零自然數(shù)都是整數(shù)高一(1)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員每一個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是180°C[“高一(1)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員”，即“高一(1)班有的同學(xué)不是團(tuán)員”，不是全稱量詞命題.]存在量詞和存在量詞命題存在量詞和存在量詞命題【例4】下列命題中存在量詞命題的個(gè)數(shù)是()①至少有一個(gè)偶數(shù)是質(zhì)數(shù)；②mx$R,x2—1>0；③有的平行四邊形是菱形.A.0B.1C.2D.3D[①中含有存在量詞“至少有一個(gè)”，所以是存在量詞命題；②中含有存在量詞符號(hào)“弓”,所以是存在量詞命題；③中含有存在量詞“有的”，所以是存在量詞命題.]規(guī)評(píng)方出存在量詞命題的常用表示形式：(1)存在x^M,s(x)；(2)至少有一個(gè)x^M,s(x)；(3)對(duì)有些x^M,s(x)；(4)對(duì)某個(gè)x^M,s(x)；(5)有一個(gè)x^M,s(x).)物跟圖訓(xùn)練下列語句是存在量詞命題的是()整數(shù)n是2和5的倍數(shù)存在整數(shù)n,使n能被7整除x>7Vx^M,p(x)成立B[B選項(xiàng)中有存在量詞“存在”，故是存在量詞命題，A和C不是命題,D是全稱量詞命題.]全稱量詞命題和存在量詞命題的改寫【例5】用全稱量詞或存在量詞表示下列語句.不等式X2+x+1>0恒成立；當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，|x2+|x+1也是有理數(shù);(3)方程3x-2y=10有整數(shù)解.［解］(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)X,不等式X2+x+1>0成立.(2)對(duì)任意有理數(shù)X,|x2+|x+1是有理數(shù).存在一對(duì)整數(shù)X,y,使3x—2y=10成立.期律彷i去判斷一個(gè)命題是存在量詞命題，還是全稱量詞命題，要根據(jù)命題中所含量詞來判斷.有些命題中表面上看并不含量詞，但從意義上理解卻含有“全部”“所有”等這樣的意思，也是全稱量詞命題.ii跟蹤訓(xùn)練用全稱量詞或存在量詞表示下列語句.有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式；⑵方程x2+2x+8=0有實(shí)數(shù)解.［解］(1)任意一個(gè)有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)形式.存在實(shí)數(shù)x,使方程x2+2x+8=0成立.全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷【例6】試判斷下面命題的真假.Vx^R,x2+2>0;Vx^N,x4±1；3x^Z,x3<1；Vx$Q,x2=3.［解］⑴由于x^R，都有x2±0,因而有x2+2±2>0,即x2+2>0,所以命題“Vx^R,x2+2>0"是真命題.由于OWN，當(dāng)x=O時(shí)，x4±l不成立，所以命題“Vx^N,x4±l”是假命題.由于一1WZ，當(dāng)x=—1時(shí)，能使x3V1，所以命題“弓x^Z,x3V1”是真命題.由于使x2=3成立的數(shù)只有±-../3,而它們都不是有理數(shù).因此，任何一個(gè)有理數(shù)的平方都不等于3,所以命題“VxWQ,x2=3”是假命題.觀律方港要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素x,驗(yàn)證p(x)成立；要判定一個(gè)全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x=x°，使p(x0)不成立即可.判斷一個(gè)存在量詞命題真假的依據(jù)：若在限定集合M中，至少能找到一個(gè)x=x°，使p(x°)成立，則這個(gè)存在量詞命題是真命題，否則是假命題.物跟圖訓(xùn)練判斷下列命題的真假.在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P;每一條線段的長(zhǎng)度都能用正有理數(shù)表示；存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使等式x2+x+8=0成立.［解］(1)真命題.⑵假命題，如邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)\/2,它的長(zhǎng)度就不能用有理數(shù)表示.(3)假命題，因?yàn)樵摲匠痰呐袆e式2S=-31VO,故無實(shí)數(shù)解.I課堂妙I(lǐng)根據(jù)命題的意義，可以判斷真假的陳述句是命題，真命題要給出證明，假命題只需舉一反例即可.判斷命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，主要是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞，有些全稱量詞命題雖然不含全稱量詞，可以根據(jù)命題涉及的意義去判斷.要確定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，需保證該命題對(duì)所有的元素都成立;

若能舉出一個(gè)反例說明命題不成立，則該全稱量詞命題是假命題.要確定一個(gè)存在量詞命題是真命題，舉出一個(gè)例子說明該命題成立即可;若經(jīng)過邏輯推理得到命題對(duì)所有的元素都不成立，則該存在量詞命題是假命題.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)?當(dāng)堂達(dá)標(biāo)?JJANCrTANCJMIJIAOGUSHUAN(.：|I下列語句不是命題的有（）①若a>b,b>c,則a>c；②x>2；③3v7.A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)B[①③是可以判斷真假的陳述句，是命題；②不能判斷真假，不是命題.]下列命題是存在量詞命題的是（）對(duì)頂角相等正方形都是四邊形不相交的兩條直線是平行直線存在實(shí)數(shù)大于等于1D[選項(xiàng)D中含有存在量詞“存在”，所以根據(jù)存在量詞命題的定義知選D.]下列命題：①所有合數(shù)都