微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用畢業(yè)論文

.WORD.WORD版本.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用畢業(yè)論文目錄標(biāo)題 1中文摘要 1引言 1微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用 1邊際分析 1彈性分析 3彈性的概念 3需求彈性 3需求彈性與總收入的關(guān)系 4多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 5邊際經(jīng)濟(jì)量 5偏彈性 6偏導(dǎo)數(shù)求極值 8積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用 9邊際函數(shù)求原函數(shù) 9消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余 9收益流的現(xiàn)值與未來(lái)值 10實(shí)際問(wèn)題探索 12經(jīng)濟(jì)批量問(wèn)題 12凈資產(chǎn)分析 13核廢料的處理 14結(jié)束語(yǔ) 16參考文獻(xiàn) 17致謝 18外文頁(yè) 19微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用武亞南摘要關(guān)鍵詞微積分邊際分析彈性分析實(shí)際問(wèn)題引言（公元263年）總結(jié)了前人的成果，提出了“割圓術(shù)頓（Newton，1642-1727）和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用邊際分析在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，常常會(huì)使用變化率的概念.變化率一般分為平均變化率和即時(shí)或瞬時(shí)率，平均變化率就是函數(shù)的增量與自變量的增量之比，瞬時(shí)變化率就是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也將瞬時(shí)變化率即導(dǎo)函數(shù)稱(chēng)為邊際函數(shù).一般，稱(chēng)

y f

xf0

y

在

的平均變化率，它表示函數(shù)x x 0 0yf在x0 0

xyfxx處的導(dǎo)數(shù)0 y

fxff'x lim lim 0 00 x0x x0 xyfxfxxxf在點(diǎn)0 0xx0在經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際函數(shù)定義如下1yfxffxfx處函數(shù)值0f'x為邊際函數(shù)值.簡(jiǎn)稱(chēng)為邊際.0根據(jù)邊際函數(shù)的定義，可知邊際成本、邊際收入、邊際收益、邊際需求，是成本函數(shù)、收入函數(shù)、需求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).1罐頭廠生產(chǎn)的草莓罐頭每瓶售價(jià)5.4（單位：千瓶）Q成本為2400100Q2(元).設(shè)價(jià)格不變，求可以獲得利潤(rùn)的銷(xiāo)售量圍；每周銷(xiāo)售量為多少瓶時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)解 總收益總利潤(rùn)LQRQCQ100Q21400Q2400100Q2142412當(dāng)2Q12時(shí)，0，即當(dāng)銷(xiāo)售量在2000瓶至12000 瓶之間可以獲得利令L'Q200Q14000，得Q7L"(Q)2000故Q7時(shí)，取得極大值，因極值唯一，即為最大值，所以當(dāng)銷(xiāo)售量7000 瓶時(shí)，可獲得大利.上述結(jié)果表明銷(xiāo)售量為每周7000 瓶時(shí)此時(shí)獲得最大利潤(rùn)，當(dāng)銷(xiāo)售量為每周2000Q7000瓶時(shí)，再增加一瓶，利潤(rùn)將增加，當(dāng)銷(xiāo)售量為每7000Q12000瓶時(shí)，再增加一瓶，利潤(rùn)將少.由此亦說(shuō)明并非生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量越多利潤(rùn)越高通過(guò)對(duì)邊際利潤(rùn)的分析可以減少工廠投資的盲目性，減少投資損失.彈性分析51200降價(jià)1元，結(jié)果，甲商品的需求量變化較大，這是為什么呢？原因是甲降價(jià)幅度即相對(duì)增量20%比乙降價(jià)的幅度0.5%大.為此我們有必要研究一下函數(shù)的相對(duì)改變率.彈性的概念

y f

xfx2y

x在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量 0 y0

0 f0

0 與自變yy量的相對(duì)改變量 之比0，稱(chēng)為函數(shù)

x

到xx

x兩點(diǎn)間的平均相對(duì)變化率，x x 0 00x0y或稱(chēng)兩點(diǎn)間的彈性.當(dāng)x0時(shí)，

y0的極限稱(chēng)為fx在xx

處的相對(duì)變化率，也就是相對(duì)導(dǎo)x 0x0數(shù)，或稱(chēng)彈性.記作即

xxEyExEyEx

,或EEx

fx0EyExxEyEx0

f'x00 fx00fxxx的變化幅度f(wàn)x

的大小x y影響，根據(jù)彈性函數(shù)公式推導(dǎo)可知，兩點(diǎn)之間的彈性有正負(fù)之分.需求彈性在定義2中已介紹過(guò)彈性函數(shù)，由此可知需求彈性反映了當(dāng)商品價(jià)格變動(dòng)時(shí)需求變動(dòng)的強(qiáng)度，由于需求函數(shù)Qf

為遞減函數(shù)，所以f

'

0，從而f

'P0

P0 P0正數(shù)表示需求彈性，因此采用需求函數(shù)相對(duì)變化率的相反數(shù)來(lái)定義需求彈性.定義3設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q

,P0

P

QP 0 為該商品從PQPP0

到PP0

P

'

Pf0

00'P00 fP0

為該商品在PP0

處的需求彈性.在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，當(dāng)1時(shí)，稱(chēng)為單位彈性，即商品需求量的相對(duì)變化與價(jià)格的相對(duì)變化基本相等.當(dāng)11需求彈性與總收入的關(guān)系在經(jīng)濟(jì)學(xué)上總收入 RPQPf邊際總收入 R

fPPf

'PfP

Pf

'PfffP1若1數(shù)為遞增函數(shù)，也就是當(dāng)價(jià)格上漲，總收入增加，價(jià)格下跌時(shí)，總收入減少；若1此時(shí)取得最大值；若1時(shí)，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度，此時(shí)邊際總收入小于零，即總收入函數(shù)為遞減函數(shù)，也就是當(dāng)價(jià)格上漲，總收入減少，價(jià)格下跌，總收入增加.通過(guò)分析上述需求彈性與總收入的關(guān)系，可推導(dǎo)出漲價(jià)未必增收，降價(jià)未必減收，從而能夠在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中為企業(yè)或經(jīng)營(yíng)者提供有利的條件，為他們的決策提供了有利的分析方法和新思路.2P15，當(dāng)商品價(jià)格處于哪種價(jià)格時(shí)，廠商可以用適當(dāng)降價(jià)或漲價(jià)的辦法提高總收入.解 由P15

，解出

QfP15P25設(shè)需求彈性為

，邊際需求

Q'f'P125由需求彈性定義可知

f'P f P 25 PP25P15P再由需求彈性與總收入的關(guān)系可知P 15當(dāng)15P1P2，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度，即當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)，總收入增加，價(jià)格下跌，總收入減少.P 15當(dāng)15P1P2P 15當(dāng)15P1P2，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度，即當(dāng)價(jià)格上漲，總收入減少，價(jià)格下跌，總收入增加.

0P15時(shí)，通過(guò)由上述分析可知，若企業(yè)對(duì)該商品進(jìn)行價(jià)格調(diào)整時(shí)，參照以上分析法，當(dāng) 215提升價(jià)格來(lái)提高總收入，當(dāng)時(shí)P2潤(rùn)，不會(huì)因?yàn)槊つ康慕档蛢r(jià)格而使企業(yè)的總收入降低.多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用在上述的分析中，我們只是對(duì)一元函數(shù)進(jìn)行了探討，但是在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，并不是由一種元決定商品的銷(xiāo)售策略，有時(shí)由多種元素來(lái)決定，這就要我們對(duì)其多元函數(shù)來(lái)進(jìn)行分析.邊際經(jīng)濟(jì)量設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量Q取決于投資的資本K和勞動(dòng)力L，一般滿(mǎn)足生產(chǎn)函數(shù)QcKL,其中c,,是正常數(shù)，且01,01由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，

Q Q K表示在勞動(dòng)力投入保持不變的情況下，資本投入變化時(shí)，產(chǎn)量的變化率稱(chēng)為資本的邊際產(chǎn)量.Q Q cKL表示在資本投入保持不變的情況下，勞動(dòng)力投入變化時(shí)，產(chǎn)量的變化率稱(chēng)為勞動(dòng)力的邊際產(chǎn)量.偏彈性由一元函數(shù)的彈性概念可知，f

'x

x0 x

的彈性，由此可以推知在多元函數(shù)中的0 f 00彈性.

Ez

z x

z xx

fx,

，則函數(shù)對(duì)x的偏彈性Ex xfy fy，表示若y保持不zfyyEz

y

zy

，表示若x保持不變，yEy fy fy的相對(duì)變化率.ABPPA B

Q和QA B

，因此，它們的需求函數(shù)可表示為Q f,P

gP,PA A B⑴需求的自身價(jià)格彈性，即

B A BAAEQAEP QAA

EQ PBBBEP QBBBA⑵需求的交叉價(jià)格彈性，即EQ

A AP

B B BBEQ PBA A BEP Q

B AEP QB B A⑶兩種商品的相互關(guān)系

A A BEQA0

0時(shí)，則表示當(dāng)兩種商品中任意一個(gè)價(jià)格降低，都將使其一個(gè)需求量增EP EPB A

EQ EQ加，另一個(gè)需求量減少，此時(shí)這兩種商品就是替代商品，當(dāng) EPB

0或 EPA

0時(shí)，則表示當(dāng)兩種商品中任意一個(gè)價(jià)格降低，都將使其需求量Q 和Q 增加，則這兩種商品為互補(bǔ)商品，當(dāng)A BEQ EQ A 0或 EP EPB A

0時(shí)，則稱(chēng)這兩種商品相互獨(dú)立.例3某一種數(shù)碼相機(jī)的的銷(xiāo)售量QA

，除了與它自身的價(jià)格PA

相關(guān)外，還與彩色噴墨打印機(jī)的PB

有關(guān)，具體相關(guān)函數(shù)為

Q 120A

250PA

10PB

P2BPPA

5時(shí)QAQA

P的彈性；APB解 （1）QA

P的彈性為AEQ Q PA A AEP P QA A A250P2

PA250A120 10PP2P B BA 250 PPA

5時(shí)，

120P 250P 10P P2A A B B EQA 250 1 EP 12050250505025 10A（2）Q PA

的交叉彈性為ABEQAQ EP P QABB B A102PB

PB12025010P

P2PPA

5時(shí)，EQ

P B BA5A20 2EP 12055025B偏導(dǎo)數(shù)求極值假設(shè)某公司生產(chǎn)的產(chǎn)品有許多種，那么如何進(jìn)行生產(chǎn)，才能使公司獲得最大利潤(rùn)以及成本最低，這就需要用到偏導(dǎo)數(shù)求極值與最值.

例4x單位104m

，電力y單位：kW的總成本函數(shù)為

Cx,y1x2

3y

7xy134x12y2502 4xyy4x36，試求煤氣和電力的銷(xiāo)售量各為多少時(shí)，總成本最低？解構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

Fy,yy4x361 x23y27xy134x12y2504x361解方程組

2 4Fx7y13440 ①xF3y7x120 ②y 2由①②可知

Fy4x360 ③再由③④可知 29x13y860 ④x4.72,y17.12依題意Cx,y4.72104m311kW可使總成本最低，且最低成本為C4.72,17.12753.2.積分在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用邊際函數(shù)求原函數(shù)積分是微分的逆運(yùn)算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出原函數(shù).設(shè)某個(gè)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用函數(shù)x的邊際函數(shù)為'x，則有x'xdxx00則消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余

x0x'xdx0.WORD.WORD版本.在經(jīng)濟(jì)管理中，一般來(lái)說(shuō)，商品的價(jià)格越低，需求量越大；反之，商品的價(jià)格越高，需求量就QfP此供給函數(shù)QgPP的單調(diào)遞增函數(shù).由于Qf和QgP兩者都是單調(diào)函數(shù)，故兩者都存在反函數(shù)，需求函數(shù)QfPf1也是需求函數(shù)，供給函數(shù)QgPPg1稱(chēng)為平衡點(diǎn)，在此點(diǎn)表示生產(chǎn)需求函數(shù)Pf1Q和供給函數(shù)Pg1Q的交點(diǎn)Q*,P*稱(chēng)為平衡點(diǎn)，在此點(diǎn)表示生產(chǎn).WORD.WORD版本.剩余.假設(shè)所有消費(fèi)者都是以他們打算支付的最終價(jià)格購(gòu)買(mǎi)某種商品，其中包括所有打算以比P*高的價(jià)格支付商品的消費(fèi)者確實(shí)支付了他們所情愿支付的，那么，* 1現(xiàn)考慮區(qū)間Q ，如上圖，選

Q,Q

，消費(fèi)者的消費(fèi)量f

QQ.消費(fèi)者消費(fèi)總量Q0

f0到Q*現(xiàn)在，如果所有商品都以平衡價(jià)格出售，那么消費(fèi)者實(shí)際上的消費(fèi)額為P*Q*，為兩條坐標(biāo)軸及直線QQ*PP*消費(fèi)者剩余

Q*fP*Q*需求曲線以下直線PP*0同理P*Q*是生產(chǎn)者實(shí)際售出商品的收入總額，Q*g1QdQ 是生產(chǎn)者愿意售出商品的收入0總額，因此，生產(chǎn)者剩余如下：P*Q*

Q*g1QdQ供給函數(shù)與直線PP*05已知某蔬菜市場(chǎng)的需求函數(shù)為P10QP70.5Q，求消費(fèi)者剩余與解先求出市場(chǎng)的均衡價(jià)格P*和均衡產(chǎn)量Q*：P10Q70.5Q得Q*

P*8由消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余公式可知消費(fèi)者剩余210QdQ2820生產(chǎn)者剩余2827QdQ10收益流的現(xiàn)值與未來(lái)值復(fù)利計(jì)息方式的基本思想：利息收入自動(dòng)計(jì)入下一期的本金，就像常說(shuō)的“利滾利”.4A0

（元，銀行年利率為r，第一年末的利息為A0

r，本利和為AA1 0

ArA0

rA0

1rr，本利和為A A2 0

1rA0

1rrA0

1r2以此類(lèi)推，可知，第n年末的本利和為

A An

1rn這就是以年為期的復(fù)利計(jì)算公式.定義5由于資金周轉(zhuǎn)過(guò)程是不斷連續(xù)進(jìn)行的，若一年中分n期計(jì)算，年利率仍為r，則一年后的本利和為

AA1rn則由此可知t年后的本利和為

1 0 nAA

1

rntt 0 n如果計(jì)息期數(shù)n時(shí)，即每時(shí)每刻計(jì)算復(fù)利（稱(chēng)為連續(xù)復(fù)利，則t年后的本利和為 nrt 1 r 1AlimA

r nt1 lim

1 t n

0 n

n

0 n r 這就是連續(xù)復(fù)利公式.

Aert0rA元人民幣從現(xiàn)在起存入銀行，則年0后的價(jià)值（將來(lái)值）

BA0

ert若有一筆收益流的收益流量為Pt（元/年，考慮從現(xiàn)在開(kāi)始（t0）到T年后這一段時(shí)間dt，在近似看做常數(shù)，則所應(yīng)（元）.從現(xiàn)在（t0）這一金額是在年后的將來(lái)而獲得，因此在收益流的現(xiàn)值PtdtertPtertdt從而總現(xiàn)值

TPtertdt0在計(jì)算將來(lái)值時(shí)，收入Ptdt在以后的Tt年期間獲息，故在t,tdt，收益流的將來(lái)值tdterTtterTtdt將來(lái)值TPterTtdt06一位城鎮(zhèn)居民想要購(gòu)買(mǎi)一棟別墅，現(xiàn)在價(jià)值為30021萬(wàn)元，并且還必須在20年付清，并且銀行的存款年利率為4%，若按照連續(xù)復(fù)利的方式計(jì)息，請(qǐng)你幫這位購(gòu)房者提供一個(gè)決策：是采用一次付款合算還是分期付款合算？解2021萬(wàn)元，所以收益流的變化率21，于是分期付款的現(xiàn)值為200

21e0.04tdt

21

e0.0t2005251-e0.8289.1300所以分期付款合算.實(shí)際問(wèn)題探索經(jīng)濟(jì)批量問(wèn)題7Ay批采購(gòu)進(jìn)貨.已知每批采購(gòu)費(fèi)用為B元，而未售商品的庫(kù)存費(fèi)用為C元／年·為最??？（ABCABC0）.解顯然，采購(gòu)進(jìn)貨的費(fèi)用為

WyBy1A A因?yàn)殇N(xiāo)售商品是均勻的，所以平均庫(kù)存的商品數(shù)應(yīng)為每批進(jìn)貨的商品數(shù)y

2y

，因而商品的庫(kù)存費(fèi)用

WyAC2 2y總費(fèi)用

WyW1

yW2

yBy

AC 02y令A(yù)C2B得AC2BAC2AC2B

.又AC2B AC2B

W'yBAC02y2W''yAC0y3所以W 為W y的一個(gè)最小.從而當(dāng)批數(shù)y取一個(gè)接近于 的自然數(shù)時(shí)，才能使采 購(gòu)與庫(kù)存費(fèi)用之和最省.凈資產(chǎn)分析85%的連續(xù)復(fù)利產(chǎn)生利息而使總資產(chǎn)增加，同時(shí)，公司必須每年連續(xù)的支付200百萬(wàn)元人民幣為職工的工資.1列出描述公司凈資產(chǎn)W的微分方程假設(shè)公司的初始凈資產(chǎn)為W03描述當(dāng)W分別為3000,4000,5000時(shí)公司的情況.0解若存在一個(gè)初值W，使公司的凈資產(chǎn)不變，則0利息盈取的速率=工資支付的速率即0.05W0

200,W0

4000因此，如果凈資產(chǎn)為4000，那么此時(shí)的凈資產(chǎn)不變，此時(shí)達(dá)到一個(gè)平衡，則4000是一個(gè)平衡解.但是若W 4000，則利息盈取超過(guò)工資支付，凈資產(chǎn)增加，此時(shí)利息也會(huì)增長(zhǎng)的快，從而凈0資產(chǎn)也會(huì)增長(zhǎng)的快；W 4000，則利息盈取低于工資支付，公司的凈資產(chǎn)將減少，利息的盈取0也會(huì)減少，從而凈資產(chǎn)減少的速率越來(lái)越快，這樣一來(lái)，在不久的將來(lái)公司將面臨破產(chǎn)的危險(xiǎn).凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)速率=利息盈取的速率-工資支付的速率建立微分方程有即

dW200 ①dtdW4000 ②dt兩邊同時(shí)積分，得出

dW 0.05dt ③W4000 1W4000

dW0.05dt ④W4000Ce0.05t ⑤dW0，得出平衡解Wdt

4000.由當(dāng)t0時(shí)，W0

4000，代入⑤中可得

CW 40000則W400040000.05t0若W 4000，則W4000若0若W 5000，則W40001000e0.05t若0若W 3000，W40001000e0.05t，此時(shí)凈資產(chǎn)是減少的，并且當(dāng)W0t，若0這說(shuō)明，該公司在28年后將破產(chǎn).核廢料的處理91.14m的的海底（圓桶的質(zhì)量m240kg,體積V0.208m3，海水的密度為1026kg/m3）.當(dāng)時(shí)的一些桶的速度成正比，并且比例系數(shù)為k1.17kg/s12.2m/s，那圓桶到達(dá)海底時(shí)的速度為多少呢？這是一個(gè)我們值得探究的問(wèn)題.xy軸的正向沿鉛直向下.設(shè)在時(shí)間tyvy00v00.圓桶在下沉過(guò)程中所受的重力為Gmg240圓桶所受海水的浮力為

FVg10260.208海水的阻力為

fkv1.17v圓桶在下沉過(guò)程中所受的合力為F GFf235220911.17v2611.17v合由于加速度為a

dv，根據(jù)牛頓第二定律可知F

ma，mdv

GFkv，即dt 合 dtdvGFkv又由于

dt mdvdvdyvdvdt dydt dy故vdvGFdy m分離變量得出

vdv dy兩邊同時(shí)積分可得

GFkv my00v00，可得

vGk k2

lnGBkv

yCm此時(shí)可得方程為

CGFFk2 yvGFlnGF m k k2 GF y v

261

ln2611.17v240 1.17 1.172

261 若假設(shè)此時(shí)速度為臨界速度v12.2m/s，則此時(shí)的圓桶的位置由方程可得y71m說(shuō)明此時(shí)還沒(méi)有到達(dá)海底.但是問(wèn)題是海水的阻力會(huì)不會(huì)使其減速呢？由于加速度advGFdt ma0GFkv0即2611.17v0，此時(shí)v/s，也就說(shuō)只能在v/s時(shí)才能減速，那么當(dāng)v12.2m/s時(shí)GFkv

2611.1712.2

1.03m/s2m 240也就說(shuō)圓桶的速度大約每秒提升約1m/s，到海底還有約20m需要近2s，因此必定會(huì)在14m/s左右碰壁而破裂.結(jié)束語(yǔ)本文前面部分先給出了有關(guān)微積分的發(fā)展歷史，然后介紹了微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用的邊際分析以及彈性分析，