選擇性空間向量與立體幾何專題03空間向量基本定理（原卷版）

空間向量與立體幾何專題03空間向量基本定理一、學習目標：1.類比平面向量基本定理，理解并掌握空間向量基本定理；2.熟練運用基底表示向量，并能解決平行、垂直、夾角等問題。二、知識梳理1.溫故知新：平面向量基本定理如果,是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使.若不共線，則稱,為表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.2.空間向量基本定理（1）定義：如果三個向量____________，那么對空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使____________.（2）基底與基向量：如果三個向量不共面，那么所有空間向量組成的集合就是，這個集合可以看作由向量生成的，我們把____________叫做空間的一個基底，都叫做____________。說明：空間任意三個____________的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.3、空間向量的正交分解單位正交基底：如果空間一個基底的三個向量兩兩____________，那么這個基底叫作____________，特別地，當一個正交基底的三個基向量都是____________向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用表示。正交分解：把一個空間向量分解成三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解。____________稱為空間向量的正交分解.三、類型歸納類型一：基底的基本概念及辨析類型二：用基底表示空間向量類型三：用空間向量基本定理求參數(shù)類型四：用空間向量基本定理解決平行、垂直、夾角等問題四、類型應用類型一：基底的基本概念及辨析【例1】若、、構(gòu)成空間的一組基底，則下面也能構(gòu)成空間的一組基底的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【變式訓練1】已知是空間的一組基底，則可以與向量，構(gòu)成基底的向量是（

）A． B． C． D．類型二：用基底表示空間向量【例2】如圖，M是四面體的棱的中點，點N在線段上，點P在線段上，且，，用向量，，表示．【變式訓練21】如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，E是MN的三等分點，且，用向量表示為（

）A． B．C． D．【變式訓練22】在空間四邊形中，分別是的中點，為線段上一點，且，設基向量，用這個基向量表示以下向量：、．【變式訓練23】如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則（

）A． B． C． D．類型三：用空間向量基本定理求參數(shù)【例3】如圖，在正方體中，點E是上底面的中心，若，求的值．【變式訓練31】若空間向量不共面，且，其中，為實數(shù)，則______．【變式訓練32】如圖所示，在空間四邊形中，，點在上，且為中點，若.則__________.類型四：用空間向量基本定理解決平行、垂直、夾角等問題【例41】如圖

1.23,在平行六面體

中，,，分別為的中點，求證:.【例42】如圖，

正方體的棱長為

1,

分別為的中點.（1）求證：；（2）求與所成角的余弦值.【變式訓練41】如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設，，.求證EG⊥AB.【變式訓練42】已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.【變式訓練43】棱長為2的正