2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第14講直線參數(shù)t的幾何意義含解析

第14講直線參數(shù)t的幾何意義對于直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,核心在于理解參數(shù)的幾何意義.我們常利用這個幾何意義計算直線上線段的長度和、差、積、商等問題,通常通過方程聯(lián)立,湊出韋達(dá)定理來求解.過定點(diǎn),傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),其中的幾何意義為:是直:線上任一點(diǎn)到的距離,設(shè)是直線上任意兩點(diǎn),對應(yīng)的參數(shù)分別為,則有以下結(jié)論.(1)線段相關(guān)問題線段積:線段商:線段差:線段和:(2)線段的中點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù).(3)若線段的中點(diǎn)為,則且.注意:求解時需先判斷的正負(fù),再求值,如果點(diǎn)相對于點(diǎn)在直線向上的方向,則為正,否則為負(fù).線段和【例1】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線與曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)若直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn),直線與曲線的交點(diǎn)為點(diǎn),求的值.【解析】((1)由直線的參數(shù)方程(其中為參數(shù)),得直線的直角坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為,整理得,將代入上式得.曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)將代入得即.設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則...【例2】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的傾斜角.(2)設(shè)點(diǎn),直線和曲線交于兩點(diǎn),求.【解析】(1)根據(jù)已知,消去參數(shù),整理得,即曲線的直角坐標(biāo)方程為.根據(jù),得.將代入上式并化簡得.直線的傾斜角為.(2)由(1)題知,點(diǎn)在直線上,設(shè)直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù))，將上述參數(shù)方程代入,化簡得線段差【例1】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線和曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線的交點(diǎn)為點(diǎn)和點(diǎn),求.【解析】(1)由得直線的直角坐標(biāo)方程為.由,整理得.化簡上式得,由線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)題知直線過點(diǎn),斜率為傾斜角.中為參數(shù)),將代入,化簡得.設(shè)兩點(diǎn)的參數(shù)分別為,則【例2】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程.(2)已知點(diǎn),若直線與曲線交于兩點(diǎn),求||的值.【解析】曲線C的參數(shù)方程為，兩式相減得,即曲線的直角坐標(biāo)方程為.直線的極坐標(biāo)方程為,整理得,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)直線過點(diǎn),直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),根據(jù)直線的參數(shù)方程,令點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,線段積【例1】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(其中為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為(1)求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程.(2)已知點(diǎn),若和的交點(diǎn)為,求。.【解析】(1)由已知整理得由線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),平方后相加得.曲線的直角坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,整理得.將代入即可得到直線的直角坐標(biāo)方程:.(2)點(diǎn)在直線上,直線的斜率為,傾斜角,中為參數(shù)),將上式代入曲的直角坐標(biāo)方程得 設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為和,由韋達(dá)定理得,.【例2】c的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,取相同長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程.(2)直線與軸的交點(diǎn)為,經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),證明:。為定值.(1)【解析】由題意得,曲線的直角坐標(biāo)方程為.整理直線的極坐標(biāo)方程得,故直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)證眀顯然,點(diǎn)的坐標(biāo)為,不妨設(shè)過點(diǎn)的直線方程為（其中為參數(shù),為傾斜角）,將參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程得為定值.線段商【例1】在直角坐標(biāo)系中,直線l的參數(shù)方程為(其中為參數(shù),為直線的傾斜角),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線與曲線相交于兩點(diǎn),且,求直線的直角坐標(biāo)方程.【解析】(1)已知,曲線的極坐標(biāo)方程:,即，得,即曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)將代入曲線的直角坐標(biāo)方程得化簡得.設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,由得,,整理得.解得或1,經(jīng)檢驗此時(1)對應(yīng)的,直線的方程為或.線段綜合【例1】在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過伸縮變換,曲線變?yōu)榍€.以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,為極角,直線的極坐標(biāo)方程為,其中為參數(shù),且.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程.(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn),與曲線交于兩點(diǎn),求的取值范圍.【解析】(1)將代入1,化簡整理得,即,曲線的直角坐標(biāo)方程是角為,且經(jīng)過點(diǎn).故直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)).(2)將直線的參數(shù)方程代入到曲線的直角坐標(biāo)方程,整理得,設(shè)兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,【例2】已知曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn),與交于兩點(diǎn),求的取值范圍.【解析】(1)根據(jù)題中已知化簡整理得,曲線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)).直線與曲線存在兩個交點(diǎn),.聯(lián)立直線與曲線得,則.聯(lián)立直線與曲線得,則.即.的取值范圍是【例3】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(