函數(shù)、極限與連續(xù)教案

PAGEPAGE1高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案第1章函數(shù)、極限與連續(xù)教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第1章第1節(jié)函數(shù)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)反三角函數(shù)參考教材同濟(jì)七版《高等數(shù)學(xué)》作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1.理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。教學(xué)基本內(nèi)容一．預(yù)備知識(shí)1.集合（1）集合的定義：一般說來，由一些確定的不同的研究對(duì)象構(gòu)成的整體稱為集合.構(gòu)成集合的對(duì)象，稱為集合的元素.（2）集合的表示.（3）集合的元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性.（4）高等數(shù)學(xué)中常用數(shù)集及其記法.2．區(qū)間與鄰域（1）有限區(qū)間與無限區(qū)間及其記法.（2）鄰域：集合表示開區(qū)間，稱之為點(diǎn)的鄰域，記作稱為鄰域中心，稱為鄰域半徑.（3）去心鄰域：集合，表示，稱之為點(diǎn)的去心鄰域，記作3．映射（1）定義：設(shè)是兩個(gè)非空集合,如果存在一個(gè)法則,使得對(duì)中每個(gè)元素按照法則,在中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng),則稱為從到的映射,記作,其中稱為元素(在映射下)的像,并記作,即,而元素稱為元素(在映射下)的一個(gè)原像；集合稱為映射的定義域,記作，即.中所有元素的像所組成的集合稱為映射的值域,記為,或,即.（2）滿射、單射和雙射設(shè)是從集合到集合的映射,若,即中任一元素都是中某元素的像,則稱為到上的滿射；若對(duì)中任意兩個(gè)不同元素,它們的像,則稱為到的單射；若映射既是單射,又是滿射,則稱為雙射(或一一映射).（3）逆映射與復(fù)合映射設(shè)是到的單射,則由定義,對(duì)每個(gè),有唯一的,適合,于是,我們可定義一個(gè)從到的新映射,即,對(duì)每個(gè),規(guī)定,其中滿足.這個(gè)映射稱為的逆映射,記作,其定義域,值域.設(shè)有兩個(gè)映射，其中.則由映射和可以定出一個(gè)從到Z的對(duì)應(yīng)法則,它將每個(gè)映射成.顯然,這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從到Z的映射,這個(gè)映射稱為映射和構(gòu)成的復(fù)合映射,記作,即,.二．函數(shù)1.函數(shù)定義（1）設(shè)是一個(gè)給定的非空數(shù)集.若對(duì)任意的，按照一定法則，總有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記為.數(shù)集稱為函數(shù)的定義域，為自變量，為因變量.函數(shù)值的全體稱為函數(shù)的值域.（2）函數(shù)的兩要素：定義域與對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩要素，兩要素可以作為判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同的標(biāo)準(zhǔn).（3）兩函數(shù)相等2.常見的分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)法則用不同數(shù)學(xué)式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).(1)絕對(duì)值函數(shù)(2)符號(hào)函數(shù)(3)取整函數(shù)(4)狄利克雷函數(shù)3.函數(shù)的性質(zhì)及四則運(yùn)算（1）函數(shù)的有界性：有上界、有下界、有界定理：函數(shù)在其定義域上有界的充分必要條件是它在定義域上既有上界又有下界.（2）函數(shù)的單調(diào)性嚴(yán)格單調(diào)增加和嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).一般情況下，若不單獨(dú)說明，本書所指單調(diào)增加(減少)即為嚴(yán)格單調(diào)增加(減少).（3）函數(shù)的奇偶性（4）函數(shù)的周期性（5）函數(shù)的四則運(yùn)算4.反函數(shù)（1）定義：設(shè)函數(shù)(是定義域，是值域)．若對(duì)于任意一個(gè)，中都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，這時(shí)是以為定義域的的函數(shù)，稱它為的反函數(shù)，記作．習(xí)慣上往往用字母表示自變量，字母表示函數(shù)．為了與習(xí)慣一致，將反函數(shù)的變量對(duì)調(diào)字母，改寫成．今后凡不特別說明，函數(shù)的反函數(shù)均記為形式．在同一直角坐標(biāo)系下，與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對(duì)稱．（2）定理：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且單調(diào)增加(減少)的函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)增加(減少)的．（3）介紹反三角函數(shù).5.復(fù)合函數(shù)（1）定義:設(shè)有函數(shù)鏈，，且，則稱為由式(1.1)，(1.2)確定的復(fù)合函數(shù),稱為中間變量.這個(gè)新函數(shù)稱做由和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，稱為內(nèi)層函數(shù)，稱為外層函數(shù)，稱為中間變量．（2）復(fù)合函數(shù)不僅可以由兩個(gè)函數(shù)經(jīng)過復(fù)合而成，也可以由多個(gè)函數(shù)相繼進(jìn)行復(fù)合而成．6.初等函數(shù)（1）基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)．（2）初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的并能用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)．（3）雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)三.例題講解例1.確定函數(shù)的定義域.例2.某河道的一個(gè)斷面圖形，其深度與一岸邊點(diǎn)到測(cè)量點(diǎn)的距離之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖1.3中曲線所示.圖1.3這里深度與測(cè)距的函數(shù)關(guān)系是用圖形表示的，定義域.例3.確定函數(shù)的定義域并作出圖形.例4.求函數(shù).例5.某城市制定每戶用水收費(fèi)（含用水費(fèi)和污水處理費(fèi)）標(biāo)準(zhǔn)（參見下表）：用水量不超出10立方的部分超出10立方的部分收費(fèi)（元/立方）1.302.00污水處理費(fèi)（元/立方）0.300.80那么每戶用水量（立方）和應(yīng)交水費(fèi)（元）之間的函數(shù)關(guān)系是怎樣的呢？例6.某工廠生產(chǎn)某型號(hào)車床，年產(chǎn)量為臺(tái)，分若干批進(jìn)行生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為元.設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場(chǎng)，且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批，即平均庫存為批量的一半.設(shè)每年每臺(tái)庫存費(fèi)為元.顯然生產(chǎn)批量大則庫存費(fèi)高；生產(chǎn)批量少則批量增多，因而生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)高.為了選擇最優(yōu)批量，試求出一年中庫存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和與批量的函數(shù)關(guān)系.授課序號(hào)02教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第1章第2節(jié)極限的概念與性質(zhì)課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念與性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念參考教材同濟(jì)七版《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。教學(xué)基本內(nèi)容一．?dāng)?shù)列極限的概念1.數(shù)列定義2.數(shù)列極限的定義（1）對(duì)于數(shù)列，當(dāng)無限增大()時(shí)，若無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱為趨于無窮大時(shí)數(shù)列的極限（或稱數(shù)列收斂于），記作或；此時(shí)，也稱數(shù)列的極限存在；否則，稱數(shù)列的極限不存在（或稱數(shù)列是發(fā)散的）.（2）(定義)設(shè)為一數(shù)列，是常數(shù)，如果對(duì)，，使得對(duì)于滿足的一切，總有則稱為數(shù)列的極限（或稱數(shù)列收斂于），記作或.（3）數(shù)列極限的幾何意義：任意給定正數(shù)，當(dāng)時(shí)，所有的點(diǎn)都落在內(nèi)，只有有限個(gè)（至多只有個(gè)）落在其外.二．?dāng)?shù)列極限的性質(zhì)1.(唯一性)收斂數(shù)列的極限是唯一的.2.(有界性)收斂數(shù)列是有界的.注(1)定理1.3中的顯然不是唯一的，重要的是它的存在性.(2)有界性是數(shù)列收斂的必要條件，例如，數(shù)列有界但不收斂.(3)無界數(shù)列必定發(fā)散.3.（保序性）若使得當(dāng)時(shí)，有注：（1）若，使得當(dāng)時(shí)，（或），則（或）.（2）（保號(hào)性）若（或），則，使得當(dāng)時(shí)，（或）.三．子列1.定義：在數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)，保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序不變，這樣得到的新數(shù)列稱為數(shù)列的子數(shù)列，簡(jiǎn)稱子列.2.定理：（收斂數(shù)列與子列的關(guān)系）若數(shù)列收斂于，則其任意子數(shù)列也收斂于.注：該定理的逆否命題常用來證明數(shù)列發(fā)散，常見情形如下：(1)若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列分別收斂于不同的極限值，則數(shù)列發(fā)散；(2)若數(shù)列有一個(gè)發(fā)散的子數(shù)列，則數(shù)列發(fā)散.四．函數(shù)極限的概念1.自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限（1）定義:(描述性定義)設(shè)函數(shù)，在時(shí)有定義，當(dāng)?shù)慕^對(duì)值無限增大（）時(shí)，若函數(shù)的值無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱常數(shù)為時(shí)函數(shù)的極限．記作或．此時(shí)也稱極限存在，否則稱極限不存在．（2）定義:(定義)設(shè)函數(shù)在大于某一正數(shù)時(shí)有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它有多?。?，總存在正數(shù)，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，則稱常數(shù)為時(shí)函數(shù)的極限．記作或．（3）極限的幾何意義：任意給定正數(shù)，作直線與，總能找到一個(gè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像全部落在這兩條直線之間.（4）定理：極限存在的充分必要條件是與都存在且相等，即.2.自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限（1）定義：(描述性定義)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域有定義，當(dāng)無限地趨近于(但)時(shí)，若函數(shù)無限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱為當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限．記作或．這時(shí)也稱極限存在，否則稱極限不存在．（2）定義：(定義)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域有定義，如果存在常數(shù)，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它有多小），總存在正數(shù)，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式，則稱常數(shù)為當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限．記作：或．（3）極限的幾何意義：任意給定正數(shù)，作直線與，總能找到點(diǎn)的一個(gè)鄰域，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像全部落在這兩條直線之間.（4）定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的左鄰域有定義，如果自變量從小于的一側(cè)趨近于時(shí)，函數(shù)無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱為當(dāng)時(shí)函數(shù)的左極限，記作：或或.（5）定義：(定義)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的左鄰域有定義，如果存在常數(shù).對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它有多?。偞嬖谡龜?shù)，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，有，則．（6）定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的右鄰域有定義，如果自變量從大于的一側(cè)趨近于時(shí)，函數(shù)無限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，則稱為當(dāng)時(shí)函數(shù)的右極限，記作：或或.(7)定義：(定義)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的右鄰域有定義，如果存在常數(shù).對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它有多?。?，總存在正數(shù)，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，有，則．（8）定理：極限存在且等于的充分必要條件是左極限與右極限都存在且等于.即.五．函數(shù)極限的性質(zhì)（以為例說明）1.(唯一性)若極限存在,則極限是唯一的.2．(局部有界性)若存在,則在的某去心鄰域內(nèi)有界.3.(局部保序性)設(shè)與都存在,且在某去心鄰域內(nèi)有,則.4．(局部保號(hào)性)若,則對(duì)一切，有或5．定理：(海涅定理)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域有定義，則的充要條件是對(duì)任何收斂于的數(shù)列，都有.注海涅定理的否命題常用于證明函數(shù)在點(diǎn)的極限不存在，常見情形如下：(1)若存在以為極限的兩個(gè)數(shù)列與，使得與都存在，但，則不存在；(2)若存在以為極限的數(shù)列，使得不存在，則不存在.六．例題講解例1.已知，證明數(shù)列的極限為1.例2.已知，證明例3.設(shè)證明等比數(shù)列的極限是0.例4.考察極限與是否存在？例5.考察極限是否存在？例6.考察下列函數(shù)當(dāng)時(shí)，極限是否存在？(1)(2)例7.討論當(dāng)時(shí)，函數(shù)的變化趨勢(shì).授課序號(hào)03教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第1章第3節(jié)極限的運(yùn)算法則課的類型復(fù)習(xí)、新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限、夾逼準(zhǔn)則、兩個(gè)重要極限教學(xué)難點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的極限、夾逼準(zhǔn)則參考教材同濟(jì)七版《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則。2.掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。教學(xué)基本內(nèi)容一．極限的四則運(yùn)算法則定理：如果與都存在，且，則（1）存在，且有（2）存在，且有（3）若，則存在，且有推論設(shè)存在，且，則（1）若是常數(shù)，則存在，且有（2）若為正整數(shù)，則存在，且有二．復(fù)合函數(shù)的極限定理：設(shè)，，且在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，則由和復(fù)合而成的函數(shù)的極限存在，且三．極限存在準(zhǔn)則1.定理：（數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則）如果數(shù)列及滿足下列條件：(1)；(2)則數(shù)列的極限存在，且2.定理：（函數(shù)極限的夾逼準(zhǔn)則）設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域（或）內(nèi)有定義，且滿足下列條件：(1)當(dāng)（或）時(shí)，有成立；(2)則存在，且3.定理：(單調(diào)有界原理)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.四．兩個(gè)重要極限1.重要極限I2.重要極限II五．例題講解例1．求例2．求例3．求.例4.求例5.求例6.求極限.例7.求例8.設(shè)(1)證明存在；(2)求例9.求例10.求（為非零常數(shù)）.例11.求例12.求極限例13.求極限例14.(信息傳播規(guī)律)信息傳播是現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的現(xiàn)象，日新月異發(fā)展的信息媒介給信息傳播提供了溫床，使得信息給人類生活及認(rèn)知帶來了更多的影響.在傳播學(xué)中有這樣一個(gè)規(guī)律：在一定的狀況下，信息的傳播可以用下面的函數(shù)關(guān)系來表示：，其中表示時(shí)刻人群中知道該信息的人數(shù)比例，、均為正數(shù).通過，我們知道時(shí)刻人群中知道此信息的人數(shù)比例為，這就從數(shù)學(xué)理論上解釋了信息傳播的威力.例如，在“SARS病毒”時(shí)期人們搶購板藍(lán)根藥物、白醋、口罩等，甲流感病毒襲來時(shí)人們“搶購大蒜”的瘋潮，日本發(fā)生核輻射泄漏后的驚動(dòng)，在日本掀起了一場(chǎng)“搶鹽”的瘋狂行為.很顯然信息傳播會(huì)呈現(xiàn)出這樣一個(gè)規(guī)律：隨著時(shí)間的慢慢推移，最終所有的人都將會(huì)知道這個(gè)信息.授課序號(hào)04教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第1章第4節(jié)無窮小與無窮大課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)無窮小與無窮大的定義，無窮小階的比較教學(xué)難點(diǎn)無窮小階的比較參考教材同濟(jì)七版《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無窮小求極限。教學(xué)基本內(nèi)容一．無窮小1.定義：如果，則稱函數(shù)為當(dāng)時(shí)的無窮小.在定義中，可將成以及可定義不同變化過程中的無窮小.注(1)一個(gè)變量是否為無窮小，除了與變量本身有關(guān)外，還與自變量的變化趨勢(shì)有關(guān)．(2)無窮小不是絕對(duì)值很小的常數(shù)，而是在自變量的某種變化趨勢(shì)下，函數(shù)的絕對(duì)值趨近于0的變量.特別地，常數(shù)0可以看成任何一個(gè)變化過程中的無窮小.2.定理：的充分必要條件是，其中是的無窮小，即.3.無窮小的性質(zhì)（1）有限個(gè)無窮小的代數(shù)和是無窮??；（2）有限個(gè)無窮小的乘積是無窮??；（3）有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；（4）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。疅o窮大1.定義：當(dāng)時(shí)，如果函數(shù)的絕對(duì)值無限增大，則稱當(dāng)時(shí)為無窮大，記作.在定義中，將換成以及可定義不同變化過程中的無窮大.注(1)無窮大是變量，它不是很大的數(shù)，不要將無窮大與很大的數(shù)(如)混淆；(2)無窮大是沒有極限的變量，但無極限的變量不一定是無窮大.(3)無窮大一定無界，但無界函數(shù)不一定是無窮大.(4)無窮大分為正無窮大與負(fù)無窮大.2.無窮小量與無窮大量的關(guān)系定理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域有定義，當(dāng)時(shí)，(1)若是無窮大，則是無窮??；(2)若是無窮小，且，則是無窮大.三．無窮小階的比較1.定義：設(shè)是自變量在同一變化過程中的兩個(gè)無窮小，且，（1）如果則稱是比高階的無窮小，記作；；（2）如果則稱是比低階的無窮?。唬?）如果，則稱與是同階的無窮??；（4）如果，則稱與是等價(jià)的無窮小，記作；等價(jià)無窮小具有自反性和傳遞性；（5）如果，則稱是關(guān)于的階的無窮小.注并非任何兩個(gè)無窮小都能進(jìn)行比較.2.等價(jià)無窮小代換定理：若是同一自變量變化過程中的無窮小，且，，存在，則.注(1)該定理說明在求極限的過程中，可以把積或商中的無窮小用與之等價(jià)的無窮小替換，從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.但須注意，在加減運(yùn)算中一般不能使用等價(jià)無窮小代換.(2)當(dāng)時(shí),常用的等價(jià)無窮小有：；；；（，且為常數(shù)）.定理1.20與是等價(jià)無窮小的充要條件為四．例題講解例1.求極限例2.求例3.求極限例4.求極限例5.設(shè)時(shí)與為等價(jià)無窮小，求的值.授課序號(hào)05教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第1章第5節(jié)函數(shù)的連續(xù)性課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的間斷點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)的判別參考教材同濟(jì)七版《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。2.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。教學(xué)基本內(nèi)容一．函數(shù)連續(xù)的概念1.定義：設(shè)變量從它的一個(gè)初值變到終值，終值與初值的差稱為變量的增量，記為，即.2.定義：（1）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量有增量時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的有增量若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，為的連續(xù)點(diǎn).（2）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若，則稱在點(diǎn)處連續(xù).（3）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域有定義，如果對(duì)于任意正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)滿足不等式時(shí)，有，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).3.定義：如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)；如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)，并稱是的連續(xù)區(qū)間.注(1)在左端點(diǎn)右連續(xù)是指滿足(2)在右端點(diǎn)左連續(xù)是指滿足.4.定理：函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù).二．函數(shù)的間斷點(diǎn)1.定義：如果函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱函數(shù)在點(diǎn)處間斷，點(diǎn)稱為的間斷點(diǎn).2.在點(diǎn)的左右極限和都存在的間斷點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn).它包含兩種類型：可去間斷點(diǎn)與跳躍間斷點(diǎn).3.稱和中至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn).三．連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.定理：連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍是連續(xù)函數(shù).2.定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù).3.定理：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).4.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).5.由初等函數(shù)的定義及連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.四．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.定理：（最大值與最小值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最大值與最小值.2.推論：（有界性定理）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.3.定理：（介值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，和分別為在上的最小值與最大值.則對(duì)介于與之間的任一實(shí)數(shù)（即），至少存在一點(diǎn)使得4.推論：（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)，使得五．例題講解例1.證明函數(shù)在任意點(diǎn)處都是連續(xù)的.例2.試證函數(shù)在處連續(xù).例3.討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性.例4.討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性.例5.求函數(shù)的間斷點(diǎn)并判斷其類型.例6.求.例7.證明：方程在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根.例8.證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使授課序號(hào)06教學(xué)基本指標(biāo)教學(xué)課題第1章第6節(jié)函數(shù)極限的建模應(yīng)用課的類型新知識(shí)課教學(xué)方法講授、課堂提問、討論、啟發(fā)、自學(xué)教學(xué)手段黑板多媒體結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)極限的建模應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)如何根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型參考教材同濟(jì)七版《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)作業(yè)布置課后習(xí)題大綱要求會(huì)根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型教學(xué)基本內(nèi)容例題講解例1．降水量預(yù)測(cè)問題提出為了估計(jì)山上積雪融化后對(duì)下游灌溉的影響，在山上建立了一個(gè)觀察站，測(cè)量最大積雪深度與當(dāng)年灌溉面積.現(xiàn)有連續(xù)10年的實(shí)測(cè)資料，如表1.8所示．表1.8年序最大積雪深度灌溉面積(公頃)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1