考研數(shù)學二向量

考研數(shù)學二向量1.【單項選擇題】設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，且滿足AB=E，則A.A的列向量組線性無關(guān)，B的行向量組（江南博哥）線性無關(guān).B.A的列向量組線性無關(guān)，B的列向量組線性無關(guān).C.A的行向量組線性無關(guān)，B的列向量組線性無關(guān).D.A的行向量組線性無關(guān)，B的行向量組線性無關(guān).正確答案：C參考解析：因為AB=E是m階矩陣，所以r(AB)=m．那么r(A)≥r(AB)=m，又因r(A)≤m，故r(A)=m．于是A的行秩=r(A)=m，所以A的行向量組線性無關(guān)．同理，B的列秩=r(B)=m，所以B的列向量組線性無關(guān)．1.【單項選擇題】設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，且滿足AB=E，則A.A的列向量組線性無關(guān)，B的行向量組線性無關(guān).B.A的列向量組線性無關(guān)，B的列向量組線性無關(guān).C.A的行向量組線性無關(guān)，B的列向量組線性無關(guān).D.A的行向量組線性無關(guān)，B的行向量組線性無關(guān).正確答案：C參考解析：因為AB=E是m階矩陣，所以r(AB)=m．那么r(A)≥r(AB)=m，又因r(A)≤m，故r(A)=m．于是A的行秩=r(A)=m，所以A的行向量組線性無關(guān)．同理，B的列秩=r(B)=m，所以B的列向量組線性無關(guān)．2.【單項選擇題】設(shè)α1，α2，α3，α4是三維非零向量，則下列命題中正確的是A.若α1，α2線性相關(guān)，α3，α4線性相關(guān)，則α1+α3，α2+α4必線性相關(guān).B.若α1，α2，α3線性無關(guān)，則α1+α4，α2+α4，α3+α4必線性無關(guān).C.若α4不能由α1，α2，α3線性表示，則α1，α2，α3必線性相關(guān).D.若α4能由α1，α2，α3線性表示，則α1，α2，α3必線性無關(guān).正確答案：C參考解析：3.【單項選擇題】設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αs；向量組(Ⅱ)：α1，α2，…，αs，αs+1，…，αs+t，則正確命題是A.(Ⅰ)相關(guān)可推導(dǎo)出(Ⅱ)相關(guān)．B.(Ⅰ)無關(guān)可推導(dǎo)出(Ⅱ)無關(guān)．C.(Ⅱ)無關(guān)可推導(dǎo)出(Ⅰ)無關(guān)．D.(Ⅱ)相關(guān)可推導(dǎo)出(Ⅰ)無關(guān)．正確答案：D參考解析：若a1=(1，0，0)T，a2=(0，1，0)T，則a1，a2線性無關(guān)。當a3=(1，1，0)T時，a1，a2，a3線性相關(guān)，當a3=(0，0，1)T時候，a1，a2，a3線性無關(guān)?？芍?I)線性無關(guān)時，(II)既可能線性無關(guān)亦可能線性相關(guān)，所以D正確。4.【單項選擇題】已知β1=(4，-2，a)T,β2=(7，b，4)T可由α1=(1，2，3)T，α2=(-2，1，-1)T線性表示，則A.a=2，b=-3．B.a=-2，b=3．C.a=2，b=3．D.a=-2，b=-3．正確答案：A參考解析：

5.【單項選擇題】設(shè)A為m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，r(A)=r，矩陣B=AC的秩為r1，則A.r>r1．B.r<r1．C.r=r1．D.r與r1和C有關(guān)．正確答案：C參考解析：秩的公式，如果C可逆則r(AC)=r(A)，r(BC)=r(B)．r1=r(B)=r(AC)=r(A)=r6.【單項選擇題】設(shè)α1，α2，α3線性無關(guān)，β1可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，對任意的常數(shù)點有(??)．A.α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關(guān)B.α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關(guān)C.α1，α2，α3，β1+kβ2線性無關(guān)D.α1，α2，α3，β1+kβ2線性相關(guān)正確答案：A參考解析：因為β1可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，所以志β1+β2一定不可以由向量組α1，α2，α3線性表示，所以α1，α2，α3，是kβ1+β2線性無關(guān)，選(A)．7.【單項選擇題】設(shè)竹階矩陣A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)。AB=(γ1，γ2，…，γn)，記向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn若向量組(Ⅲ)線性相關(guān)，則(??)．A.(Ⅰ)，(Ⅱ)都線性相關(guān)B.(Ⅰ)線性相關(guān)C.(Ⅱ)線性相關(guān)D.(Ⅰ)，(Ⅱ)至少有一個線性相關(guān)正確答案：D參考解析：若α1，α2，…，αm線性無關(guān)。β1，β2，…，βm線性無關(guān)，則r(A)=n，r(B)=n，于是r(AB)=n．因為γ1，γ2，…，γn線性相關(guān)。所以r(AB)=r(γ1，γ2，…，γn)<n，故α1，α2，…，αm與β1，β2，…，βm至少有一個線性相關(guān)，選(D)．8.【單項選擇題】設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αs的秩為r1，向量組(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩為r2，且向量組(Ⅱ)可由向量組(Ⅰ)線性表示，則(??)．A.α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩為r1+r2B.向量組α1-β1，α2-β2，…，Αs-βs的秩為r1-r2C.向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1+r2D.向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩為r1正確答案：D參考解析：因為向量組β1，β2，…，βs可由向量組α1，α2，…，αs線性表示，所以向量組α1，α2，…，αs與向量組α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等價，所以選(D)．9.【單項選擇題】若向量組α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，且向量α4不可由向量組α1，α2，α3，線性表示，則下列結(jié)論正確的是(??)．A.α1，α2，α3線性無關(guān)B.α1，α2，α3線性相關(guān)C.α1，α2，α4線性無關(guān)D.α1，α2，α4線性相關(guān)正確答案：B參考解析：若a1，a2，a3線性無關(guān)，因為a4不可由a1，a2，a3線性表示，所以a1，a2，a3，a4線性無關(guān)，與已知矛盾，故a1，a2，a3線性相關(guān)，B正確。10.【單項選擇題】設(shè)矩陣A=(α1，α2，α3，α4)經(jīng)初等行變換化為矩陣B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3，α4線性無關(guān)，α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，則(??)．A.β4不能由β1，β2，β3線性表示B.β4能由β1，β2，β3線性表示，但表示法不唯一C.β4能由β1，β2，β3線性表示，且表示法唯一D.β4能否由β1，β2，β3線性表示不能確定正確答案：C參考解析：11.【單項選擇題】假設(shè)A是n階方陣，其秩(A)=r<n，那么在A的n個行向量中(??)．A.必有r個行向量線性無關(guān)B.任意r個行向量線性無關(guān)C.任意r個行向量都構(gòu)成極大線性無關(guān)向量組D.任何一個行向量列向量均可由其他r個列向量線性表示正確答案：A參考解析：因為矩陣的秩與行向量組的秩及列向量組的秩相等，所以由r(A)=r得A一定有r個行向量線性無關(guān)，應(yīng)選(A)．12.【單項選擇題】設(shè)向量組(I)：α1，α2，…，αr可由向量組(1I)：β1，β2，…，βs線性表示，則(??)．A.若α1，α2，…，αr線性無關(guān)，則r≤sB.若α1，α2，…，αr線性相關(guān)，則r≤sC.若β1，β2，…，βs線性無關(guān)，則r≤sD.若β1，β2，…，βs線性相關(guān)，則r≤s正確答案：A參考解析：因為(Ⅰ)可由(Ⅱ)線性表示，所以(Ⅰ)的秩≤(Ⅱ)的秩，所以若α1，α2，…，αr線性無關(guān)，即(Ⅰ)的秩=r，則r≤(Ⅱ)的秩≤s，應(yīng)選(A)．13.【單項選擇題】向量組α1，α2，…，αs線性無關(guān)的充要條件是(??)．A.α1，α2，…，αs均不為零向量B.α1，α2，…，αs中任意兩個向量的分量不成比例C.α1，α2，…，αs中任意一個向量均不能由其余s-1個向量線性表示D.α1，α2，…，αs中有一部分向量線性無關(guān)正確答案：C參考解析：若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，則α1，α2，…，αs中任一個向量都不可由其余向量線性表示；反之，若α1，α2，…，αs中任一個向量都不可由其余向量線性表示，則α1，α2，…，αs線性無關(guān)，應(yīng)選(C)．14.【單項選擇題】設(shè)α1=(a1，a2，a3)T，α2=(b1，b2，b3)T，α3=(c1，c2，c3)T，其中≠0(i=1，2，3)，則三條直線aix+biy+ci=0(i=1，2，3)恰好僅交于一點的充要條件是（）．A.r(α1，α2，α3)=3B.r(α1，α2，α3)=1C.r(α1，α2，α3)=r(α1，α2)D.r(α1，α2，α3)=r(α1，α2)=2正確答案：D參考解析：15.【單項選擇題】設(shè)α1，α2，α3均為3維向量，則對任意常數(shù)k和μ，向量組α1+kα3，α2+μα3線性無關(guān)是向量組α1，α2，α3線性無關(guān)的（）．A.充分必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.既非充分又非必要條件正確答案：C參考解析：16.【單項選擇題】設(shè)向量組α1，α2，α1-2α2+α3線性無關(guān)，則下列向量組線性無關(guān)的是（）．A.α1+α2，α2+α3，α3-α1B.α1，α2，α3C.α1-α2，α2-α3，α1-2α2+α3D.α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3正確答案：B參考解析：依題意，α1，α2，α3與α1，α2，α1-2α2+α3?？苫榫€性表示，故其秩相同，所以α1，α2，α3線性無關(guān)．17.【單項選擇題】設(shè)A是m×n矩陣，α1，α2，…，αt是n維列向量，向量組(Ⅰ)α1，α2，…，αt，(Ⅱ)Aα1，Aα2，…，Aαt，則正確的是（）．A.若(Ⅰ)線性無關(guān)，則(Ⅱ)線性無關(guān)B.若(Ⅱ)線性相關(guān)，則(Ⅰ)線性相關(guān)C.若(Ⅱ)線性無關(guān)，則(Ⅰ)線性無關(guān)D.(Ⅰ)與(Ⅱ)具有相同的線性相關(guān)性正確答案：C參考解析：18.【單項選擇題】設(shè)向量α1，α2，α3滿足k1α1+k2α2+k3α3=0，k1，k2，k3為常數(shù)，且k1k3≠0，則（）．A.α1與α3等價B.α1，α2與α1，α3等價C.α1，α2與α2，α3等價D.α1，α3與α2，α3等價正確答案：C參考解析：兩個向量組等價是指這兩個向量組可以互相線性表示．19.【單項選擇題】設(shè)n維向量組(Ⅰ)α1，α2，…，αk(k<n)線性無關(guān)，則n維向量組(Ⅱ)β1，β2，…，βk也線性無關(guān)的充要條件是（）．A.β1，β2，…，βk可由α1，α2，…，αk線性表示B.α1，α2，…，αk可由β1，β2，…，βk線性表示C.向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)等價D.矩陣(α1，α2，…，αk)與(β1，β2，…，βk)等價正確答案：D參考解析：20.【單項選擇題】設(shè)A，B均是m×n矩陣，則Ax=0與Bx=0同解的充要條件是（）．A.A，B的列向量組等價B.A，B的行向量組等價C.A，B是等價矩陣D.ATx=0與BTx=0同解正確答案：B參考解析：顯然，Ax=0，Bx=0同解，但ATX=0與BTx=0不同解．21.【填空題】已知向量組α1=(a，0，b)T，α2=(0，a，c)T，α3=(f，b，0)T線性相關(guān)，則a，b，c必滿足_____.請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：abc=0【解析】22.【填空題】已知α1，α2，α3線性無關(guān)，若α1+2α2+α3，α1+aα2，3α2+α3線性相關(guān)，則a=請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：-1【解析】23.【填空題】已知向量β=(1，a，-1)T可以由α1=(a+2，7，1)T，α2=(1，-1，2)T線性表出，則a=．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：3或-424.【填空題】已知向量組β=(1，0，1，2)T，α1=(1，1，3，1)T，α2=(2，-1，a，5)T線性相關(guān)，則a=______．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：0【解析】25.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】26.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：27.【填空題】設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，且α1+aα2+4α3，2α1+α2-α3，α2+α3線性相關(guān)，則a=_______請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：28.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：29.【填空題】請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：30.【填空題】已知向量α1=(1，2，3)T，α2=(2，-1，1)T，α3=(-2，k，4)T線性相關(guān)，則k=請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：對于3個3維向量線性相關(guān)性的問題，用行列式或秩．本題用秩進行計算．31.【解答題】已知α1，α2，…，αt是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，β不是Ax=0的解，證明β+α1，β+α2，…，β+αt線性無關(guān).請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(用定義法)32.【解答題】設(shè)向量組(Ⅰ)α1，α2，α3，(Ⅱ)α1，α2，α3，α4，(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3，r(Ⅲ)=4，證明：向量組α1，α2，α3，α5-α4的秩為4．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：法1依題意，只要證α1，α2，α3

，α5-α4線性無關(guān)，用定義．

33.【解答題】設(shè)A是3階方陣，α1，α2為A的分別屬于特征值-2，1的特征向量，且Aα3=α2+α3，證明：α1，α2，α3線性無關(guān)．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：法1由特征值的定義，有Aα1=-2α1，Aα2=α2．34.【解答題】(Ⅰ)求向量組α1，α2，α3，α4的一個極大線性無關(guān)組；(Ⅱ)求可逆矩陣P3×3，Q4×4，使得PAQ=B．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(Ⅰ)對A進行初等行變換，得(Ⅱ)對C作初等列變換，得35.【解答題】設(shè)向量組α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量組β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T線性表示，求a的值，并將β1，β2，β3用α1，α2，α3線性表示．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：36.【解答題】設(shè)A=(α1，α2，α3)，其中α1=(1，0，1)T，α2=(1，1，2)T，α3=(1，2，以)T，B=(β1，β2)，其中β1=(-1，2，1)T，β2=(1，0，6)T．(Ⅰ)問a，b為何值時，β1，β2不能同時由α1，α2，α3線性表示；(Ⅱ)問a，b為何值時，β1，β2可同時由α1，α2，α3線性表示，并求表達式．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(Ⅰ)對增廣矩陣(A|B)施行初等行變換有37.【解答題】設(shè)n維向量組α1，α2，…，αk(k<n)線性無關(guān)，且ak-1=λ1α1+λ2α2+…+λkαk，λi≠0，i=1，2，…，k，證明：α1，α2，…，αk，αk+1中任何k個向量都線性無關(guān)．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：證法138.【解答題】設(shè)A是3階方陣，A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=3，對應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，4)T，α3=(1，3，9)T，另一向量β=(1，1，3)T．(Ⅰ)將β用α1，α2，α3線性表示；(Ⅱ)求Anβ(n為正整數(shù))．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(Ⅰ)(Ⅱ)39.【解答題】設(shè)A是m×n矩陣，α1與α2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同解．(Ⅰ)證明：α1，α1-α2線性無關(guān)；(Ⅱ)若β是Ax=0的一個非零解向量，r(A)=n-1，證明：β，α1，α2線性相關(guān)．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：(Ⅰ)用定義法，設(shè)(Ⅱ)40.【解答題】設(shè)A是3階矩陣，αi(i=1，2，3)是3維非零列向量，且Aαi=iαi(i=1，2，3)，α=α1+α2+α3，證明：α，Aα，A2α線性無關(guān)．請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了參考解析：由Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα3=3α3，且α1，α2，α3是非零列向量，知α1，α2，α3是不同特征值對應(yīng)的特征向量，故α1，α2，α3線性無關(guān)．設(shè)41.【解答題】(1)設(shè)向量組α1=(1，1，1，2)T，α2=(3，a+4，2a+5，a+7)T，α3=(4，6，8，10)T，α4=(2，3，2a+3，5)T，α=(0，1，3，6)T．(Ⅰ)求向量組