2022-2023學年江蘇省南京市孫家中學高三數(shù)學理期末試卷含解析

2022-2023學年江蘇省南京市孫家中學高三數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.將函數(shù)f（x）=cos2ωx的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在上為減函數(shù)，則正實數(shù)ω的最大值為（）A． B．1 C． D．3參考答案：B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用誘導公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得實數(shù)ω的最大值．【解答】解：將函數(shù)f（x）=cos2ωx的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)y=g（x）=cos2ω（x﹣）=cos（2ωx﹣）=﹣sin2ωx的圖象，若y=g（x）在上為減函數(shù)，則sin2ωx在上為增函數(shù)，∴2ω?（﹣）≥﹣，且2ω?≤，求得ω≤1，故正實數(shù)ω的最大值為1，故選：B2.在復平面內(nèi)，復數(shù)的對應(yīng)點位于（

）A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限參考答案：B略3.在下列函數(shù)中，圖象關(guān)于原點對稱的是 A．y=xsinx

B．y= C．y=xlnx

D．y=參考答案：D4.要得到的圖象，只要將的圖象（

）

A.向左平移個單位

B.向右平移個單位C.向右平移個單位

D.向左平移個單位參考答案：C因為，所以要得到的圖象，只要將的圖象向右平移個單位，選C.5.已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為（

）A．

B.

C.

D.參考答案：D略6.設(shè)集合A=，Z為整數(shù)集，則A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.設(shè)二次函數(shù),若,則的值為

(

)A.正數(shù)

B.負數(shù)

C.非負數(shù)

D.正數(shù)、負數(shù)和零都有可能參考答案：A8.過雙曲線(a>0,b>0)的左焦點F(-c,0)作圓的切線，切點為E，延長FE交拋物線于點P，O為原點，若，則雙曲線的離心率為

A．

B．

C．

D．參考答案：A因為，所以是的中點。設(shè)右焦點為,則也是拋物線的焦點。連接,則，且,所以，設(shè)，則，則過點F作軸的垂線，點P到該垂線的距離為，由勾股定理得，即，解得，選A.9.若命題“”為假命題，則m的取值范圍是A．(－∞,－1]∪[2,+∞)

B．(－∞,－1)∪(2,+∞)

C．[－1,2]

D．(－1,2)參考答案：C10.已知a＝，b＝，c＝，則a、b、c的大小關(guān)系是

(

)A．c<a<b

B．a(chǎn)<b<c

C．b<a<c

D．c<b<a參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)全集已知實數(shù)、滿足則的最小值為

.參考答案：做出約束條件表示的可行域，如圖中的三角形，三角形內(nèi)（包括邊）到圓心的最短距離即為r的值，所以r的最小值為圓心到直線y=x的距離，所以的最小值為。12.已知上所有實根和為

參考答案：10

略13.已知三點在球的球面上，且，若與平面所成角為60°，則球的表面積為______________________．參考答案：答案：676

解析：

由知，

作⊥平面，垂足為，

∵，∴是△的外心，即中點，

是與平面所成角，°，

∴．14.已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在[0,+∞)單調(diào)遞減，當時，恒有成立，則x的取值范圍是

參考答案：

15.若復數(shù)是實數(shù)，則x的值為

．參考答案：-3略16.已知為非零向量，且夾角為，若向量，則

參考答案：【知識點】平面向量數(shù)量積的運算F3【答案解析】解析：解：因為為非零向量，且夾角為，向量=，所以||2=（）2=（）2+（）2+2=1+1+2cos=1+1+1=3，所以||=；故答案為：．【思路點撥】將向量=平方，轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積解17.已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10=8，則a100=．參考答案：98【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出a100．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10=8，∴，解得a1=﹣1，d=1，∴a100=a1+99d=﹣1+99=98．故答案為：98．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)在一次數(shù)學考試中，第22,23,24題為選做題，規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題，設(shè)5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為，每位學生對每題的選擇是相互獨立的，各學生的選擇相互之間沒有影響.（1）求其中甲、乙兩人選做同一題的概率；（2）設(shè)選做第23題的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.參考答案：解：(1)設(shè)事件表示甲選22題，表示甲選23題，表示甲選24題，表示乙選22題，表示乙選23題，表示乙選24題，則甲、乙兩人選做同一題事件為，且相互獨立，所以…………4分(2)設(shè)可能取值為0,1,2,3,4,5.，分布列為012345

………12分略19.已知函數(shù)f(x)＝eax－x，其中a≠0.（1）若對一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，記直線AB的斜率為k.問：是否存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＞k成立？若存在，求x0的取值范圍；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（1）若a＜0，則對一切x＞0，f(x)＝eax－x＜1，這與題設(shè)矛盾.又a≠0，故a＞0.而f′(x)＝aeax－1，令f′(x)＝0得x＝ln.當x＜ln時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當x＞ln時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增.故當x＝ln，f(x)取最小值f＝－ln.于是對一切x∈R，f(x)≥1恒成立，當且僅當－ln≥1.①令g(t)＝t－tlnt，則g′(t)＝－lnt.當0＜t＜1時，g′(t)＞0，g(t)單調(diào)遞增；當t＞1時，g′(t)＜0，g(t)單調(diào)遞減.故當t＝1時，g(t)取最大值g（1）＝1.因此，當且僅當＝1，即a＝1時，①式成立.綜上所述，a的取值集合為{1}.（2）由題意知，k＝＝－1.令φ(x)＝f′(x)－k＝aeax－.則φ(x1)＝－

[－a(x2－x1)－1]，φ(x2)＝

[－a(x1－x2)－1].令F(t)＝et－t－1，則F′(t)＝et－1.當t＜0時，F(xiàn)′(t)＜0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞減；當t＞0時，F(xiàn)′(t)＞0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增.故當t≠0時，F(xiàn)(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.從而－a(x2－x1)－1＞0，－a(x1－x2)－1＞0，又＞0，＞0，所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.因為函數(shù)y＝φ(x)在區(qū)間[x1，x2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在c∈(x1，x2)，使得φ(c)＝0.又φ′(x)＝a2eax＞0，φ(x)單調(diào)遞增，故這樣的c是唯一的，且c＝ln.故當且僅當x∈時，f′(x)>k.綜上所述，存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＞k成立，且x0的取值范圍為20.（本題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求四棱錐的體積.（III）設(shè)平面和平面的交線為直線，試判定直線與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

參考答案：（Ⅰ）證明：因為四棱錐的底面是邊長為1的正方形，所以，所以

-------3分又，所以平面

--------------6分（Ⅱ）四棱錐的底面積為1，因為平面，所以四棱錐的高為1，所以四棱錐的體積為.---------------10分（III）平面

-----------11分

平面

平面平面

-----------12分又平面且平面平面=由線面平行的性質(zhì)定理得：

-----------13分又平面，平面平面

-----------14分21.本小題滿分13分）已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，且短軸長為4，離心率為。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓C的焦點在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點，且，求直線l的方程。

參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）設(shè)橢圓C的長半軸長為a（a>0），短半軸長為b（b>0），則2b=4，。

2分解得a=4，b=2。

3分因為橢圓C的對稱軸為坐標軸，所以橢圓C的方程為標準方程，且為。

5分（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，A（x1，y1），B（x2，y2）,

6分由方程組，消去y，得，

7分由題意，得，8分且，

9分因為

，11分所以，解得m=±2,驗證知△＞0成立，所以直線l的方程為。

13分略22.已知=（sinx，cosx），=（，﹣1）．（Ⅰ）若∥，求sin2x﹣6cos2x的值；（Ⅱ）若f（x）=?，求函數(shù)f（2x）的單調(diào)減區(qū)間．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量的平行和角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出答案，（Ⅱ）先求出f（x），