廈門大學(xué)《應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析》第07章-因子分析

第七章因子分析第一節(jié)引言第二節(jié)因子分析模型

第三節(jié)因子載荷矩陣求解

第四節(jié)公因子重要性的分析

第五節(jié)實(shí)例分析與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

第一節(jié)引言一般認(rèn)為因子分析是從CharlesSpearman在1904年發(fā)表的文章《對(duì)智力測(cè)驗(yàn)得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析》開始，他提出這種方法用來(lái)解決智力測(cè)驗(yàn)得分的統(tǒng)計(jì)方法。目前因子分析在心理學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中都取得了成功的應(yīng)用，是多元統(tǒng)計(jì)分析中典型方法之一。因子分析(factoranalysis)也是一種降維、簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的技術(shù)。它通過(guò)研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測(cè)數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)“抽象”的變量來(lái)表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個(gè)抽象的變量被稱作“因子”，能反映原來(lái)眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測(cè)的顯在變量，而因子一般是不可觀測(cè)的潛在變量。例如，在商業(yè)企業(yè)的形象評(píng)價(jià)中，消費(fèi)者可以通過(guò)一系列指標(biāo)構(gòu)成的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，評(píng)價(jià)百貨商場(chǎng)的各個(gè)方面的優(yōu)劣。但消費(fèi)者真正關(guān)心的只是三個(gè)方面：商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價(jià)格。這三個(gè)方面除了價(jià)格外，商店的環(huán)境和服務(wù)質(zhì)量，都是客觀存在的、抽象的影響因素，都不便于直接測(cè)量，只能通過(guò)其它具體指標(biāo)進(jìn)行間接反映。因子分析就是一種通過(guò)顯在變量測(cè)評(píng)潛在變量，通過(guò)具體指標(biāo)測(cè)評(píng)抽象因子的統(tǒng)計(jì)分析方法。又比如，在研究區(qū)域社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，描述社會(huì)與經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)很多，過(guò)多的指標(biāo)容易導(dǎo)致分析過(guò)程復(fù)雜化。一個(gè)合適的做法就是從這些關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)中提取少數(shù)幾個(gè)主要因子，每一個(gè)主要因子都能反映相互依賴的社會(huì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)間共同作用，抓住這些主要因素就可以幫助我們對(duì)復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展問(wèn)題進(jìn)行深入分析、合理解釋和正確評(píng)價(jià)。因子分析的內(nèi)容非常豐富，常用的因子分析類型是R型因子分析和Q型因子分析。R型的因子分析是對(duì)變量作因子分析，Q型因子分析是對(duì)樣品作因子分析。本章側(cè)重討論R型因子分析。第二節(jié)因子分析模型一因子分析的數(shù)學(xué)模型

二因子載荷陣的統(tǒng)計(jì)意義

一、因子分析的數(shù)學(xué)模型無(wú)論是R型或Q型因子分析，都用公共因子F代替X，一般要求m<p，m<n，因此，因子分析與主成分分析一樣，也是一種降低變量維數(shù)的方法。我們下面將看到，因子分析的求解過(guò)程同主成分分析類似，也是從一個(gè)協(xié)方差陣出發(fā)的。因子分析與主成分分析有許多相似之處，但這兩種模型又存在明顯的不同。主成分分析的數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上是一種線性變換，是將原始坐標(biāo)變換到變異程度大的方向上去，相當(dāng)于從空間上轉(zhuǎn)換觀看數(shù)據(jù)的角度，突出數(shù)據(jù)變異的方向，歸納重要信息。而因子分析從本質(zhì)上看是從顯在變量去“提練”潛在因子的過(guò)程。正因?yàn)橐蜃臃治鍪且粋€(gè)提練潛在因子的過(guò)程，因子的個(gè)數(shù)m取多大是要通過(guò)一定規(guī)則確定的，并且因子的形式也不是唯一確定的。一般說(shuō)來(lái)，作為“自變量”的因子F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m是不可直接觀測(cè)的。這里我們應(yīng)該注意幾個(gè)問(wèn)題。二、因子載荷陣的統(tǒng)計(jì)意義前面的因子分析模型中出現(xiàn)了一個(gè)概念叫因子載荷矩陣，實(shí)際上因子載荷矩陣存在明顯的統(tǒng)計(jì)意義。為了對(duì)因子分析過(guò)程和計(jì)算結(jié)果做詳細(xì)的解釋，我們對(duì)因子載荷矩陣的統(tǒng)計(jì)意義加以說(shuō)明。第三節(jié)因子載荷矩陣求解一因子載荷矩陣的求解二約相關(guān)陣的估計(jì)

一、因子載荷矩陣的求解

這樣在模型上就解決了從約相關(guān)陣R*出發(fā)求載荷矩陣A二、約相關(guān)陣的估計(jì)

第四節(jié)公因子重要性的分析一因子旋轉(zhuǎn)

二因子得分一、因子旋轉(zhuǎn)因子分析的目標(biāo)之一就是要對(duì)所提取的抽象因子的實(shí)際含義進(jìn)行合理解釋。有時(shí)直接根據(jù)特征根、特征向量求得的因子載荷陣難以看出公共因子的含義。例如，可能有些變量在多個(gè)公共因子上都有較大的載荷，有些公共因子對(duì)許多變量的載荷也不小，說(shuō)明它對(duì)多個(gè)變量都有較明顯的影響作用。這種因子模型反而是不利于突出主要矛盾和矛盾的主要方面的，也很難對(duì)因子的實(shí)際背景進(jìn)行合理的解釋。這時(shí)需要通過(guò)因子旋轉(zhuǎn)的方法，使每個(gè)變量?jī)H在一個(gè)公共因子上有較大的載荷，而在其余的公共因子上的載荷比較小，至多達(dá)到中等大小。這時(shí)對(duì)于每個(gè)公共因子而言（即載荷矩陣的每一列），它在部分變量上的載荷較大，在其它變量上的載荷較小，使同一列上的載荷盡可能地向靠近1和靠近0兩極分離。這時(shí)就突出了每個(gè)公共因子和其載荷較大的那些變量的聯(lián)系，矛盾的主要方面顯現(xiàn)出來(lái)了，該公共因子的含義也就能通過(guò)這些載荷較大變量做出合理的說(shuō)明，這樣也顯示了該公共因子的主要性質(zhì)。

當(dāng)m>2時(shí)，我們可以逐次對(duì)每?jī)蓚€(gè)公共因子和進(jìn)行上述旋轉(zhuǎn)。對(duì)公因子Fl和Fk進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，就是對(duì)A的第l和k兩列進(jìn)行正交變換，使這兩列元素平方的相對(duì)方差之和達(dá)到最大，而其余各列不變，其正交變換矩陣為二、因子得分

第五節(jié)實(shí)例分析與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)一利用SPSS進(jìn)行因子分析二因子分析在市場(chǎng)研究中的應(yīng)用一、利用SPSS進(jìn)行因子分析

（一）操作步驟 1.在SPSS窗口中選擇Analyze→DataReduction→Factor，調(diào)出因子分析主界面圖(7.1)，并將變量X1—X13移入Variables框中。圖7.1因子分析主界面 2.點(diǎn)擊Descriptives按