ch-集合映射與函數(shù)

ch-集合映射與函數(shù)第一頁(yè)，共125頁(yè)。名稱(chēng)工科數(shù)學(xué)分析總學(xué)時(shí)一學(xué)年(兩學(xué)期)教材《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)》第二版本學(xué)期96學(xué)時(shí)王綿森馬知恩主編第一頁(yè)2008年9月242*第二頁(yè)，共125頁(yè)。參考書(shū)《數(shù)學(xué)分析》第三版華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編《高等數(shù)學(xué)》第五版同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編第二頁(yè)2008年9月243*第三頁(yè)，共125頁(yè)。書(shū)后習(xí)題參考書(shū)《工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解析》孫清華孫浩主編習(xí)題冊(cè)參考書(shū)《數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解華東師大第三版》張?zhí)斓马n振來(lái)主編第三頁(yè)2008年9月244*第四頁(yè)，共125頁(yè)。本學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容1.一元函數(shù)的微分學(xué)；4.無(wú)窮級(jí)數(shù)。2.一元函數(shù)的積分學(xué)；3.微分方程；第四頁(yè)2008年9月245*第五頁(yè)，共125頁(yè)。

高等數(shù)學(xué)

工科數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析計(jì)算計(jì)算為主、證明兼顧證明第五頁(yè)2008年9月246*第六頁(yè)，共125頁(yè)。

高等數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論課之一，它是理工科大學(xué)生必修的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論課程，也是學(xué)習(xí)后續(xù)數(shù)學(xué)的必修課程，還是學(xué)習(xí)其它專(zhuān)業(yè)的必修課。

高等數(shù)學(xué)的性質(zhì)與作用

高等數(shù)學(xué)的概念、理論和方法對(duì)于學(xué)生畢業(yè)后從事科學(xué)研究、工程技術(shù)與管理工作都是不可缺少的內(nèi)容。同時(shí)也是參加具有選拔功能的水平考試的必備基礎(chǔ)。第六頁(yè)2008年9月247*第七頁(yè)，共125頁(yè)。

掌握高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、基本理論和基本的計(jì)算方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)；

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目的

培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理的能力，以及辯證的思維方法；

培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)，也為學(xué)習(xí)專(zhuān)業(yè)的后繼課程準(zhǔn)備必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第七頁(yè)2008年9月248*第八頁(yè)，共125頁(yè)。

認(rèn)識(shí)高等數(shù)學(xué)的重要性，注意高等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，改進(jìn)學(xué)習(xí)方法

如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)？

初等數(shù)學(xué)------研究對(duì)象為常量，以靜止的觀點(diǎn)研究問(wèn)題；

學(xué)數(shù)學(xué)最好的方法是做數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)------研究對(duì)象為變量，運(yùn)動(dòng)和辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)。第八頁(yè)2008年9月249*第九頁(yè)，共125頁(yè)。

（2）每次課后均布置作業(yè)，希望大家認(rèn)真完成。（1）考試內(nèi)容以課堂上講的為范圍，在第12周前后會(huì)安排一次期中考試；

兩點(diǎn)說(shuō)明：第九頁(yè)2008年9月2410*第十頁(yè)，共125頁(yè)。第1章函數(shù)、極限、連續(xù)第1節(jié)集合、映射與函數(shù)第2節(jié)數(shù)列的極限第3節(jié)函數(shù)的極限第4節(jié)無(wú)窮小量及無(wú)窮大量第5節(jié)連續(xù)函數(shù)第十頁(yè)2008年9月2411*第十一頁(yè)，共125頁(yè)。第1節(jié)集合、映射與函數(shù)

1.1集合及其運(yùn)算

1.2實(shí)數(shù)集的完備性與確界定理1.3映射與函數(shù)的概念1.4復(fù)合映射與復(fù)合函數(shù)1.5逆映射與反函數(shù)1.6初等函數(shù)與雙曲函數(shù)第十一頁(yè)2008年9月2412*第十二頁(yè)，共125頁(yè)。

集合論產(chǎn)生于十九世紀(jì)七十年代，它是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托（Cantor）創(chuàng)立的，不僅是分析學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)，它的一般思想已滲入到數(shù)學(xué)的所有部門(mén)。“集合論觀點(diǎn)”與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展不可分割地聯(lián)系在一起。第十二頁(yè)2008年9月2413*第十三頁(yè)，共125頁(yè)。1.1集合及其運(yùn)算1、集合概念具有某種確定性質(zhì)對(duì)象的全體.組成這個(gè)集合的個(gè)別對(duì)象稱(chēng)為該

集合元素(簡(jiǎn)稱(chēng)元)(集)元素.集合的通常以大寫(xiě)字母等表示集合,以小寫(xiě)字母等表示集合的元素.否則記記作或

注：集合中的元素具有確定性、無(wú)重復(fù)性、無(wú)序性。第十三頁(yè)2008年9月2414*第十四頁(yè)，共125頁(yè)。2表示法(1)列舉法：把集合的全部元素一一列出來(lái),例有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x所具有的性質(zhì)P(x)例整數(shù)集合或有理數(shù)集p與q互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)外加花括號(hào).正整數(shù)集第十四頁(yè)2008年9月2415*第十五頁(yè)，共125頁(yè)。3集合的關(guān)系兩個(gè)集合一般地,如則子集則稱(chēng)集合A與B相等,記作則稱(chēng)子集,(讀作A含于B)或(讀作B包含A).集合相等記作第十五頁(yè)2008年9月2416*第十六頁(yè)，共125頁(yè)。如空集.不含任何元素的集合稱(chēng)為則稱(chēng)真子集記作如NZQR.真子集,空集規(guī)定空集為任何集合的子集.今后在提到一個(gè)集合時(shí),一般都是如不加特別聲明,非空集.第十六頁(yè)2008年9月2417*第十七頁(yè)，共125頁(yè)。集合之間的相等與包含關(guān)系具有以下幾個(gè)性質(zhì):(1)反身性(2)反對(duì)稱(chēng)性(3)傳遞性

注：空集是唯一的。

第十七頁(yè)2008年9月2418*第十八頁(yè)，共125頁(yè)。

例確定下列命題是否為真（1）

?；（2）

∈；（3）∈{}；（4）?{}；（5）∈{{}}；（6）{a}?{{a}}；（7）{a}∈{{a}}；（8）{a}?{a，{a}}；（9）{a}∈{a，{a}}。

注:（i）理解符號(hào)∈和?的區(qū)別和聯(lián)系(ii)理解集合

和{}；{a}和{{a}}的區(qū)別和聯(lián)系。

第十八頁(yè)2008年9月2419*第十九頁(yè)，共125頁(yè)。給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:或4集合的三種基本運(yùn)算第十九頁(yè)2008年9月2420*第二十頁(yè)，共125頁(yè)。注研究某個(gè)問(wèn)題時(shí)所考慮的對(duì)象的全體記作例如,則余集或補(bǔ)集.A∪BA∩B并用

X表示,稱(chēng)為全集或基本集,并把差積特別稱(chēng)為A的例如,在實(shí)數(shù)集R中,集合的余集B關(guān)于A

余(補(bǔ))集第二十頁(yè)2008年9月2421*第二十一頁(yè)，共125頁(yè)。

，D={5}，求出以下集合。

，例

設(shè)，，(1)(2)(4)(3)(5)A∩D

第二十一頁(yè)2008年9月2422*第二十二頁(yè)，共125頁(yè)。例

用文氏圖表示下列集合。

(1)第二十二頁(yè)2008年9月2423*第二十三頁(yè)，共125頁(yè)。

(2)第二十三頁(yè)2008年9月2424*第二十四頁(yè)，共125頁(yè)。(3)第二十四頁(yè)2008年9月2425*第二十五頁(yè)，共125頁(yè)。例

用集合公式表示下列文氏圖中的陰影部分(1)解：

第二十五頁(yè)2008年9月2426*第二十六頁(yè)，共125頁(yè)。(2)解：

第二十六頁(yè)2008年9月2427*第二十七頁(yè)，共125頁(yè)。5.集合的運(yùn)算法則為任意三個(gè)集合,則下列法則成立:(1)交換律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;(2)結(jié)合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C),

(A∩B)∩C=A∩(B∩C);(3)分配律

(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);(4)對(duì)偶律(A∪B)C=AC∩BC,(A∩B)C=AC∪

BC;第二十七頁(yè)2008年9月2428*第二十八頁(yè)，共125頁(yè)。(5)冪等律A∪AA∩A(6)吸收律A∪=A,=A;=A,A∩=第二十八頁(yè)2008年9月2429*第二十九頁(yè)，共125頁(yè)。定義兩個(gè)確定了先后次序的元素a,b組成的元素對(duì),稱(chēng)為有序元素對(duì),簡(jiǎn)稱(chēng)為有序偶,記為(a,b)。且規(guī)定

笛卡兒乘積

(a,b)=(c,d)當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d.注:有序偶(a,b)和集合{a,b}的區(qū)別.第二十九頁(yè)2008年9月2430*第三十頁(yè)，共125頁(yè)。定義有序偶集合{(a,b)|a∈A,b∈B}稱(chēng)為集合A和B的笛卡兒乘積,記為A×B.例設(shè)A={1,2,3},B={x,y},求A×B,

B×A。(2)一般的,A×B≠B×A。注:(1)A×

=

×B=

;特例:記為平面上的全體點(diǎn)集第三十頁(yè)2008年9月2431*第三十一頁(yè)，共125頁(yè)。1.2實(shí)數(shù)集的完備性與確界定理實(shí)數(shù)的定義1實(shí)數(shù)及其性質(zhì)第三十一頁(yè)2008年9月2432*第三十二頁(yè)，共125頁(yè)。實(shí)數(shù)集的一些重要性質(zhì)四則（有理）運(yùn)算封閉性：實(shí)數(shù)全體對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算封閉有序性：任意兩實(shí)數(shù)a,b必滿(mǎn)足下述三個(gè)關(guān)系之一：稠密性：任意兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)之間還有另一個(gè)實(shí)數(shù)，所以任意兩個(gè)實(shí)數(shù)之間必存在無(wú)窮多實(shí)數(shù).有理數(shù)集也具有稠密性！第三十二頁(yè)2008年9月2433*第三十三頁(yè)，共125頁(yè)。完備性:實(shí)數(shù)的連續(xù)性有理數(shù)集不具有?。▽?shí)數(shù)的連續(xù)性）第三十三頁(yè)2008年9月2434*第三十四頁(yè)，共125頁(yè)。邏輯符號(hào)在邏輯推理過(guò)程中最常用的兩個(gè)邏輯記號(hào)“”表示“任取”,或“任意給定”.“”表示“存在”,“至少存在一個(gè)”,或“能夠找到”.Any(每一個(gè))或All(所有的)的字頭A的倒寫(xiě)Exist(存在)的字頭E的倒寫(xiě)“”表示“蘊(yùn)含”,或“推出”.“”表示“等價(jià)”,或“充分必要”.第三十四頁(yè)2008年9月2435*第三十五頁(yè)，共125頁(yè)。第三十五頁(yè)2008年9月2436*第三十六頁(yè)，共125頁(yè)。2絕對(duì)值與不等式運(yùn)算性質(zhì)第三十六頁(yè)2008年9月2437*第三十七頁(yè)，共125頁(yè)。幾個(gè)常用的絕對(duì)值不等式:第三十七頁(yè)2008年9月2438*第三十八頁(yè)，共125頁(yè)。幾個(gè)重要不等式第三十八頁(yè)2008年9月2439*第三十九頁(yè)，共125頁(yè)。幾何平均值算術(shù)平均值第三十九頁(yè)2008年9月2440*第四十頁(yè)，共125頁(yè)。

區(qū)間是用得較多的一類(lèi)數(shù)集(實(shí)數(shù)集合),具體是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).

在數(shù)軸上可表示為3.區(qū)間第四十頁(yè)2008年9月2441*第四十一頁(yè)，共125頁(yè)。

在數(shù)軸上可表示為

除了開(kāi)區(qū)間和閉區(qū)間外,我們還可類(lèi)似定義如下區(qū)間:第四十一頁(yè)2008年9月2442*第四十二頁(yè)，共125頁(yè)。除了有限區(qū)間外,我們還可以定義所謂的無(wú)限區(qū)間.通過(guò)引入記號(hào)+(讀作正無(wú)窮大)及-(讀作負(fù)無(wú)窮大),則可類(lèi)似地表示無(wú)限區(qū)間.如:注:以上這些區(qū)間均稱(chēng)為有限區(qū)間,數(shù)b－a稱(chēng)為這些區(qū)間的長(zhǎng)度(區(qū)間兩端點(diǎn)間的距離),從數(shù)軸上看,這些有限區(qū)間是長(zhǎng)度有限的線(xiàn)段.第四十二頁(yè)2008年9月2443*第四十三頁(yè)，共125頁(yè)。

注:在不需要辨明所論區(qū)間是否包含端點(diǎn),以及是有限區(qū)間還是無(wú)限區(qū)間時(shí),我們可簡(jiǎn)單地稱(chēng)其為“區(qū)間”,且常用I表示.

全體實(shí)數(shù)R可記作(-,+

),為一無(wú)窮區(qū)間.第四十三頁(yè)2008年9月2444*第四十四頁(yè)，共125頁(yè)。4鄰域:第四十四頁(yè)2008年9月2445*第四十五頁(yè)，共125頁(yè)。第四十五頁(yè)2008年9月2446*第四十六頁(yè)，共125頁(yè)。第四十六頁(yè)2008年9月2447*第四十七頁(yè)，共125頁(yè)。5有界數(shù)集與確界原理有界數(shù)集定義1.1(有界數(shù)集）

第四十七頁(yè)2008年9月2448*第四十八頁(yè)，共125頁(yè)。第四十八頁(yè)2008年9月2449*第四十九頁(yè)，共125頁(yè)。因此A無(wú)上界.證故A有下界.取l

=1,例第四十九頁(yè)2008年9月2450*第五十頁(yè)，共125頁(yè)。確界若數(shù)集A有上界,則必有無(wú)窮多個(gè)上界,而其中最小的一個(gè)具有重要的作用.最小的上界稱(chēng)為上確界,記作supA.同樣,若A有下界,則最大的下界稱(chēng)為下確界，記作infA.先給定確界的直觀定義MM2M1上確界上界

m2mm1下確界下界第五十頁(yè)2008年9月2451*第五十一頁(yè)，共125頁(yè)。定義2（確界的精確定義）設(shè)A為實(shí)數(shù)集R的非空子集，若數(shù)s滿(mǎn)足以下兩條：則稱(chēng)s

為實(shí)數(shù)集A的上確界，記作sup

A若數(shù)t滿(mǎn)足以下兩條：則稱(chēng)t為實(shí)數(shù)集A的下確界，記作inf

A第五十一頁(yè)2008年9月2452*第五十二頁(yè)，共125頁(yè)。證先證supA=1.例

第五十二頁(yè)2008年9月2453*第五十三頁(yè)，共125頁(yè)。注：實(shí)數(shù)集的上界、下界、上確界,下確界均未必存在，若上確界,下確界存在則唯一第五十三頁(yè)2008年9月2454*第五十四頁(yè)，共125頁(yè)。任一有上（下）界的非空實(shí)數(shù)集必有上（下）確界.注：非空有界實(shí)數(shù)集的上（下）確界是唯一的！定理1.1(確界原理)以下確界原理也可作公理,不予證明.問(wèn)題：滿(mǎn)足什么條件的實(shí)數(shù)集必有上確界和下確界？上述確界原理的證明利用到實(shí)數(shù)集的完備性.第五十四頁(yè)2008年9月2455*第五十五頁(yè)，共125頁(yè)。數(shù)集的最大數(shù)、最小數(shù)與上確界、下確界的關(guān)系設(shè)A為實(shí)數(shù)集R的非空子集，且A有最大值和最小值，則證明b0為是數(shù)集A的一個(gè)上界，并且比b0小的數(shù)都不是A的上界，所以b0就是最小的上界。第五十五頁(yè)2008年9月2456*第五十六頁(yè)，共125頁(yè)。1.3映射與函數(shù)的概念

1、映射的概念定義設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合,如果存在一個(gè)法則f,使得對(duì)通過(guò)f,在B中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),則稱(chēng)f為從A到B的映(或算子),記作并稱(chēng)y為x(在映射f下)的象,即x稱(chēng)為y

(在映射f下)的原象.射定義域

即記或稱(chēng)為映射的值域第五十六頁(yè)2008年9月2457*第五十七頁(yè)，共125頁(yè)。對(duì)元素x的象y是唯一的;而對(duì)元素y的原象不一定是唯一的;映射f的值域是Y的一個(gè)子集,不一定(2)注(1)集合A,即定義域?qū)?yīng)法則f,使對(duì)有唯一確定的與之對(duì)應(yīng).①②二個(gè)要素:構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下(3)設(shè)若則稱(chēng)映射f與g相等，記作第五十七頁(yè)2008年9月2458*第五十八頁(yè)，共125頁(yè)。第五十八頁(yè)2008年9月2459*第五十九頁(yè)，共125頁(yè)。若，就稱(chēng)該映射是A到B上的映射(即滿(mǎn)射).若中的每個(gè)y，都有唯一的原象，則稱(chēng)為單射.若必有若映射f則稱(chēng)f是一一映射(或雙射)，又是單射,

既是滿(mǎn)射,即，即B中任一元素y都是A中某元素的象.即，若必有2、一一映射與對(duì)等第五十九頁(yè)2008年9月2460*第六十頁(yè)，共125頁(yè)。第六十頁(yè)2008年9月2461*第六十一頁(yè)，共125頁(yè)。例設(shè)對(duì)應(yīng)關(guān)系:既非滿(mǎn)射,

又非單射;滿(mǎn)射,

非單射;單射,非滿(mǎn)射;

滿(mǎn)射,

單射,即為一一映射.對(duì)定義域內(nèi)的任一x,第六十一頁(yè)2008年9月2462*第六十二頁(yè)，共125頁(yè)。(1)如圖,令由A到B的對(duì)應(yīng)關(guān)系為則f是一個(gè)從A到B的映射.練習(xí)滿(mǎn)射,

單射,即為一一映射.(2)令則f是一個(gè)從N+

到B的映射.滿(mǎn)射,

單射,即為一一映射.第六十二頁(yè)2008年9月2463*第六十三頁(yè)，共125頁(yè)。映射又稱(chēng)為算子。根據(jù)集合A、B的不同情形,在不同的數(shù)學(xué)分支中,映射又有不同的慣用名稱(chēng)：非空集A到數(shù)集B的映射稱(chēng)為泛函非空集A到它自身的映射稱(chēng)為A上的變換從實(shí)數(shù)集(或其子集)X到實(shí)數(shù)集Y的映射通常稱(chēng)為定義在A上的函數(shù)第六十三頁(yè)2008年9月2464*第六十四頁(yè)，共125頁(yè)。定義

設(shè)A和B是兩個(gè)非空集合，若存在映射則稱(chēng)集合A與B對(duì)等(等勢(shì)），記為若兩個(gè)集合彼此對(duì)等，則認(rèn)為它們個(gè)數(shù)是相同的！(1)反身性：(2)對(duì)稱(chēng)性：若，則(3)傳遞性：若，則等價(jià)關(guān)系對(duì)任意的集合A，B，C，對(duì)等關(guān)系具有如下性質(zhì)第六十四頁(yè)2008年9月2465*第六十五頁(yè)，共125頁(yè)。例第六十五頁(yè)2008年9月2466*第六十六頁(yè)，共125頁(yè)。3函數(shù)的概念

定義1.4設(shè)實(shí)數(shù)集則稱(chēng)映射為定義在A上的函數(shù),通常簡(jiǎn)記為自變量因變量定義域(domain)定義中,按對(duì)應(yīng)法則f,總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng),這個(gè)值稱(chēng)為函數(shù)f在x處的函數(shù)值,記作函數(shù)關(guān)系函數(shù)值全體組成的集合稱(chēng)為range記作即函數(shù)f的值域,第六十六頁(yè)2008年9月2467*第六十七頁(yè)，共125頁(yè)。第六十七頁(yè)2008年9月2468*第六十八頁(yè)，共125頁(yè)。自變量因變量對(duì)應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.兩函數(shù)只有在定義域和對(duì)應(yīng)法則皆相同時(shí)才能稱(chēng)為相同.第六十八頁(yè)2008年9月2469*第六十九頁(yè)，共125頁(yè)。第六十九頁(yè)2008年9月2470*第七十頁(yè)，共125頁(yè)。第七十頁(yè)2008年9月2471*第七十一頁(yè)，共125頁(yè)。常用的定義函數(shù)的方法列表法圖像法第七十一頁(yè)2008年9月2472*第七十二頁(yè)，共125頁(yè)。取自變量在橫軸上在平面直角坐標(biāo)系中,因變量在縱軸上變化,則函數(shù)的圖形是指變化,平面點(diǎn)集:通常是一條或幾條曲線(xiàn)(包括直線(xiàn)).中的集合函數(shù)的圖像函數(shù)的一種直觀表示方法.第七十二頁(yè)2008年9月2473*第七十三頁(yè)，共125頁(yè)。常用的定義函數(shù)的方法解析法顯函數(shù)形式（y由x的解析式直接表示出來(lái)）隱函數(shù)形式（y沒(méi)有由x的解析式直接表示出來(lái))分段函數(shù)形式（函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi)具有不同的解析表達(dá)式）第七十三頁(yè)2008年9月2474*第七十四頁(yè)，共125頁(yè)。例第七十四頁(yè)2008年9月2475*第七十五頁(yè)，共125頁(yè)。練習(xí)設(shè)則f(x)的定義域20填空:第七十五頁(yè)2008年9月2476*第七十六頁(yè)，共125頁(yè)。2.用分段函數(shù)表示函數(shù)分段函數(shù)在其整個(gè)定義域上是一個(gè)函數(shù),答案:即注而不是幾個(gè)函數(shù).1-243第七十六頁(yè)2008年9月2477*第七十七頁(yè)，共125頁(yè)。幾個(gè)今后常引用的函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)例

定義域值域第七十七頁(yè)2008年9月2478*第七十八頁(yè)，共125頁(yè)。符號(hào)函數(shù)

定義域值域?qū)谢虻谄呤隧?yè)2008年9月2479*第七十九頁(yè)，共125頁(yè)。

取整函數(shù)如例當(dāng)階梯曲線(xiàn)

定義域值域表示不超過(guò)x的最大整數(shù)第七十九頁(yè)2008年9月2480*第八十頁(yè)，共125頁(yè)。例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)(x為有理函數(shù))(x為無(wú)理函數(shù))

定義域值域有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)第八十頁(yè)2008年9月2481*第八十一頁(yè)，共125頁(yè)。yxoyxo取最值函數(shù)例第八十一頁(yè)2008年9月2482*第八十二頁(yè)，共125頁(yè)。oyM-Mxy=f(x)D有界1．函數(shù)的有界性:例如函數(shù)y=sinx,y=cosx在（-∞,+∞)上均為有界函數(shù).函數(shù)的幾種特性第八十二頁(yè)2008年9月2483*第八十三頁(yè)，共125頁(yè)。第八十三頁(yè)2008年9月2484*第八十四頁(yè)，共125頁(yè)。是單調(diào)增加;如果對(duì)恒有（若改為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí)，稱(chēng)為嚴(yán)格單調(diào)增加的）2．函數(shù)的單調(diào)性:例：y=ex在（-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)增加。第八十四頁(yè)2008年9月2485*第八十五頁(yè)，共125頁(yè)。是單調(diào)減少.如果對(duì)恒有（若改為嚴(yán)格不等號(hào)時(shí)，稱(chēng)為嚴(yán)格單調(diào)減少的）第八十五頁(yè)2008年9月2486*第八十六頁(yè)，共125頁(yè)。注:單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù).

注

應(yīng)指明單調(diào)區(qū)間,否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.第八十六頁(yè)2008年9月2487*第八十七頁(yè)，共125頁(yè)。3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-xyxox-x奇函數(shù)第八十七頁(yè)2008年9月2488*第八十八頁(yè)，共125頁(yè)。4．函數(shù)的周期性:第八十八頁(yè)2008年9月2489*第八十九頁(yè)，共125頁(yè)。周期為的周期函數(shù)注:并非所有周期函數(shù)都存在最小正周期.

第八十九頁(yè)2008年9月2490*第九十頁(yè)，共125頁(yè)。例狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)?1xyo(當(dāng)x是有理函數(shù)時(shí))(當(dāng)x是無(wú)理函數(shù)時(shí))這是一個(gè)周期函數(shù),任何正有理數(shù)r都是它的周期.因?yàn)椴淮嬖谧钚〉恼欣頂?shù),所以沒(méi)有最小正周期.第九十頁(yè)2008年9月2491*第九十一頁(yè)，共125頁(yè)。定義.由上述映射鏈可定義由A到C的映射稱(chēng)為g與f構(gòu)成的復(fù)設(shè)有映射鏈記作合映射,或1.4復(fù)合映射與復(fù)合函數(shù)(1)復(fù)合映射中間元素稱(chēng)為復(fù)合運(yùn)算

注意:構(gòu)成復(fù)合映射的條件不可少.第九十一頁(yè)2008年9月2492*第九十二頁(yè)，共125頁(yè)。定義.由上述函數(shù)鏈可定義由A到C的函數(shù)稱(chēng)為g與f構(gòu)成的復(fù)設(shè)有函數(shù)鏈記作合函數(shù),或中間元素(2)復(fù)合函數(shù)—復(fù)合映射的特例注意:構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.第九十二頁(yè)2008年9月2493*第九十三頁(yè)，共125頁(yè)。(1)逆映射的定義定義:設(shè)映射,若存在另一映射使記成例如,映射其逆映射為其中稱(chēng)此映射為f的逆映射.稱(chēng)f是可逆映射.設(shè)映射為f的逆映射的充要條件是1.5逆映射與反函數(shù)

第九十三頁(yè)2008年9月2494*第九十四頁(yè)，共125頁(yè)。定理1.2映射

是可逆映射的充分必要條件是為

到

的一一映射。

定義設(shè)是非空集合，定義映射如下：稱(chēng)是上的恒等映射或單位映射。第九十四頁(yè)2008年9月2495*第九十五頁(yè)，共125頁(yè)。（2）反函數(shù)(i)反函數(shù)的概念及性質(zhì)設(shè)函數(shù)若存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱(chēng)此映射為f的反函數(shù).第九十五頁(yè)2008年9月2496*第九十六頁(yè)，共125頁(yè)。問(wèn)題:滿(mǎn)足什么條件的函數(shù)才有反函數(shù)?回答:構(gòu)成一一映射的函數(shù)就有反函數(shù)。則其反函數(shù)(減).1)y＝f(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增且也嚴(yán)格單調(diào)遞增性質(zhì):(減),第九十六頁(yè)2008年9月2497*第九十七頁(yè)，共125頁(yè)。（ii))函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).例如,對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都嚴(yán)格單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).指數(shù)函數(shù)第九十七頁(yè)2008年9月2498*第九十八頁(yè)，共125頁(yè)。1.6初等函數(shù)與雙曲函數(shù)1.基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù);冪函數(shù);指數(shù)函數(shù);對(duì)數(shù)函數(shù);三角函數(shù);反三角函數(shù)第九十八頁(yè)2008年9月2499*第九十九頁(yè)，共125頁(yè)。冪函數(shù)第九十九頁(yè)2008年9月24100*第一百頁(yè)，共125頁(yè)。指數(shù)函數(shù)第一百頁(yè)2008年9月24101*第一百零一頁(yè)，共125頁(yè)。對(duì)數(shù)函數(shù)第一百零一頁(yè)2008年9月24102*第一百零二頁(yè)，共125頁(yè)。三角函數(shù)（正弦函數(shù)）第一百零二頁(yè)2008年9月24103*第一百零三頁(yè)，共125頁(yè)。三角函數(shù)（余弦函數(shù)）第一百零三頁(yè)2008年9月241