第六章重積分課題二十五重積分的應(yīng)用

重點(diǎn)：曲面的面積，格林公式，由定積分的元素法引出。

難點(diǎn)：正確求解曲線或曲面積分，由實(shí)例講解方法?？倳r數(shù)：4學(xué)時.1、知道第一和第二類曲線積分，第一和第二類曲面積分；2、會求曲線和曲面積分，會用格林公式計(jì)算二重積分和高斯公式計(jì)算三重積分?！臼谡n時數(shù)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】【重、難點(diǎn)】把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.若要計(jì)算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為的形式，其中在內(nèi)．這個稱為所求量U的元素，記為，所求量的積分表達(dá)式為一、曲面面積衛(wèi)星1.設(shè)曲面的方程為：如圖，上式是曲面S的面積元素曲面面積公式為：3.設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：2.設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得解解解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域?yàn)閷?shí)例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量勻質(zhì)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量(1)分割(2)求和(3)取極限近似值精確值非勻質(zhì)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量求法二、對弧長的曲線積分1.定義被積函數(shù)積分弧段積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量2.存在條件：注意：3.對弧長曲線積分的計(jì)算定理[例3]解如圖，4.幾何與物理意義[例4]它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量(設(shè)線密度解取坐標(biāo)系如圖，利用的參數(shù)方程于是計(jì)算半徑為中心角為的圓弧對于則實(shí)例:

變力沿曲線所作的功常力沿直線所作的功(1)分割變力沿曲線所作的功的算法(2)求和(3)取極限近似值精確值1.定義三、對坐標(biāo)的曲線積分類似地定義2.存在條件第二類曲線積分存在．),(),,(上連續(xù)時，在光滑曲線弧當(dāng)LyxQyxP3.性質(zhì)定理4.對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算特殊情形[例5]解[例6]解結(jié)論：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.1.曲面面積的計(jì)算2.對弧長曲線積分的概念和計(jì)算3.對坐標(biāo)曲線積分的概念和計(jì)算小結(jié)練習(xí)題弧長坐標(biāo)定理5.格林公式邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.xyoLAB

解

xyo解

解o曲線由函數(shù)所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面，且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動時，切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.要求光滑曲面的質(zhì)量，下面介紹第一類型曲面積分.1.定義四、對面積的曲面積分2.性質(zhì)則按照曲面的不同情況分為以下三種：3.計(jì)算法則則解解依對稱性知：觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外