北京航空航天大學線性代數(shù)第二章2-2-矩陣的運算

朱立永北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院線性代數(shù)答疑時間：星期二晚上18:00－20:30星期四晚上18:00－20:30答疑地點：J4-102§2.1矩陣的概念§2.2矩陣的運算§2.3逆矩陣§2.4分塊矩陣§2.5初等變換與初等矩陣本章的主要內(nèi)容§2.6矩陣的秩2.2.1

矩陣的加法與數(shù)乘

§2.2

矩陣的運算

定義2.2.1

兩個矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)s×t,如果m=s,n=t,稱A與B是同型矩陣;若數(shù)域P上的同型矩陣A=(aij)m×n與B=(bij)m×n的對應元素相等,即aij=bij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),則稱A與B相等,記作A=B.，

，

定義2.2.2

設A=(aij)m×n,B=(bij)m×n為數(shù)域P上的兩個同型矩陣，稱矩陣(aij+bij)m×n為矩陣A與B的和,記作.

由矩陣加法的定義可以看出,只有同型矩陣才能進行加法運算,兩個矩陣相加等于矩陣中對應元素相加.

定義2.2.3

設A=(aij)m×n為數(shù)域P上的矩陣,k∈P.數(shù)k與矩陣A的每個元素相乘后得到的矩陣(kaij)m×n稱為數(shù)k與矩陣A的數(shù)量乘積,簡稱為數(shù)乘,記作.矩陣的加法與數(shù)量乘積稱為矩陣的線性運算.，

，

若矩陣A=(aij)m×n,則稱矩陣(-aij)m×n為矩陣A的負矩陣,記為-A.

由矩陣的數(shù)乘,得.

利用負矩陣,并借助于矩陣的加法,可定義矩陣的減法.設矩陣A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,A與B的減法定義為.

設A,B,C均為數(shù)域P上的m×n矩陣,k,l∈P,不難驗證,矩陣的加法和數(shù)乘滿足如下運算規(guī)律:(1)加法交換律A+B=B+A;(2)加法結(jié)合律

(A+B)+C=A+(B+C);(3)A+O=O+A=A,這里O是與A同型的零矩陣;

(4)A+(-A)=(-A)+A=O；(5)k(A+B)=kA+kB；

(6)(k+l)A=kA+lA；

(7)(kl)A=k(lA)=l(kA)；

(8)1A=A,0A=O.例2.2.1

設2A+3X=B,且,求矩陣X.，

，

解在矩陣方程兩端同加上-2A,得，

，

在這個方程兩端同乘以,得2.2.2

矩陣的乘法

在給出矩陣乘法的定義之前,我們先看一個解析幾何中關于坐標旋轉(zhuǎn)的例子.

設按逆時針方向?qū)⑵矫嬷苯亲鴺讼祒oy轉(zhuǎn)一個角度α后,得到坐標系x'oy',這時得新舊坐標之間的變換公式，

，

再將坐標系x'oy'旋轉(zhuǎn)一個角度β后,得到坐標系x"oy",這時坐標變換公式為它的系數(shù)矩陣為它的系數(shù)矩陣為于是,連續(xù)施行兩次變換,坐標系xoy與x"oy"之間的關系為

此變換對應的系數(shù)矩陣為

容易看到,矩陣C中第i行j列(i,j=1,2)的元素,恰好等于矩陣A中第i(i=1,2)行元素與矩陣B中第j(j=1,2)列對應元素乘積之和,由此我們給出下列矩陣乘法的定義.，

，

定義2.2.4

設A=(aij)m×k,B=(bij)k×n,C=(Cij)m×n均為數(shù)域P上的矩陣,其中,稱矩陣C是A與B的乘積,記作C=AB.只有當左乘矩陣A的列數(shù)等于右乘矩陣B的行數(shù)時,乘積AB才有意義.乘積矩陣AB的行數(shù)等于左乘矩陣A的行數(shù),AB的列數(shù)等于右乘矩陣B的列數(shù).，

，

例2.2.2

設計算AB.

，

，

解由于左乘矩陣A的列數(shù)與右乘矩陣B的行數(shù)都是3,所以AB有意義,且

因為B為3×2矩陣,A為3×3矩陣,B的列數(shù)不等于A的行數(shù),所以B與A不能相乘,即BA無意義.

例2.2.3

設求AB,BA.，

，

解在這個例子中,AB是n階矩陣,而BA則是1階矩陣.

，

，

例2.2.4

設計算AB,BA,CA.，

，

解

矩陣乘法與數(shù)的乘法的不同之處：（1）矩陣乘法不滿足交換律：

（a)AB有意義,而BA可能無意義;

(b)盡管AB與BA都有意義,但可能不是同型矩陣;

(c)AB與BA都有意義,并且同型,但AB≠BA；（2）矩陣乘法不滿足消去律,盡管BA=CA且A≠O,一般得不到B=C;（3）兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣,即A≠O,B≠O,而AB=O.因此，在矩陣乘法運算中,若AB=O,則不能推出A=O或B=O的結(jié)論.，

，

例2.2.5

已知

,求滿足條件AX=XA(稱A與X相乘可換)的矩陣X.

解

由題設AX=XA及矩陣乘積的定義,知X為二階方陣.設則由AX=XA得由矩陣相等的定義得于是所有與A相乘可換的矩陣為即其中a,b為任意常數(shù).

例2.2.6

利用矩陣乘法與矩陣相等的概念,可以把線性方程組寫成矩陣乘積的形式.設線性方程組令則于是有，

，

對于m×n矩陣A,顯然有以下結(jié)論:

設A,B,C為數(shù)域P上的矩陣，k∈P，它們的乘法滿足如下運算規(guī)律:(1)結(jié)合律(AB)C=A(BC)；(2)分配律A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；(3)k(AB)=(kA)B=A(kB),k為任意常數(shù).

，

，

容易看出,(AB)C與A(BC)都是m×n矩陣,因此只需證明(1)式兩端的對應元素相等即可.設這里僅對(1)進行證明，

，

由矩陣乘法的定義，矩陣(AB)C中第i行第j列的元素為(2.2.1)式右端正好是矩陣A(BC)中第i行第j列的元素,根據(jù)矩陣相等的定義,有(2.2.1)

，

因為矩陣的乘法滿足結(jié)合律,所以可以給出方陣的正整數(shù)次冪的概念.

定義2.2.5

設A是n階矩陣,k為正整數(shù),定義k個A的連乘積為A的k次冪,記作Ak,即這里規(guī)定A0=E.

根據(jù)矩陣乘法的結(jié)合律,容易證明(m,l均為正整數(shù)).