第一章 矩陣?yán)碚?管理數(shù)學(xué)基礎(chǔ))

第一節(jié)線性變換及其矩陣表示一、線性空間與線性變換1、線性空間及其基組空間：賦予了某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的非空集合，記為X。其中的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”可為定義了元素間的運(yùn)算、距離。集合X＝{x|x滿足的條件}。封閉：X中任元素經(jīng)某運(yùn)算后的結(jié)果仍屬于X，則稱(chēng)X對(duì)該運(yùn)算封閉。（如：實(shí)數(shù)集R，任x1、x2∈R，x1+x2∈R，稱(chēng)R對(duì)加法封閉。實(shí)際上R對(duì)乘法也封閉。）1

線性空間：即賦予了線性運(yùn)算的非空集合。具體定義為：設(shè)X是一個(gè)非空集合，K是數(shù)域（K為實(shí)數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C），若定義X中二元素之間的加法運(yùn)算以及數(shù)域K中的數(shù)與X中元素之間的數(shù)乘運(yùn)算，并滿足下列條件：加法運(yùn)算“+”滿足：對(duì)任意x、y∈X，x+y∈X，且(1)交換律：x+y=y+x；(2)結(jié)合律：對(duì)任意z∈X，(x+y)+z=x+(y+z)；(3)有零元：存在0∈X，使得對(duì)一切x∈X，有x+0=x（0稱(chēng)X的零元素）；(4)有負(fù)元：對(duì)任意x∈X，存在y∈X，使x+y=0（y稱(chēng)為x的負(fù)元素）。2數(shù)乘運(yùn)算“”滿足：對(duì)任意α∈K，x∈X，αx∈X，且(1)對(duì)任意的β∈K，α(βx)=(αβ)x；(2)1x=x；(3)對(duì)任意的y∈X，α(x+y)=αx+αy；(4)對(duì)任意的β∈K，(α+β)x＝αx+βx。則稱(chēng)X為數(shù)域K上的線性空間。當(dāng)K是實(shí)數(shù)域R時(shí)，X稱(chēng)實(shí)線性空間；當(dāng)K是復(fù)數(shù)域C時(shí)，X稱(chēng)復(fù)線性空間。X上的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為線性運(yùn)算。34567891011二、方陣的特征值與特征向量121314151617三、相似矩陣及其性質(zhì)1819201.2方陣在相似變換下的標(biāo)準(zhǔn)形1.2.1方陣的行列式因子、不變因子、初等因子1.2.2方陣相似的條件1.2.3方陣在相似變換下的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形1.2.4方陣在相似變換下的有理標(biāo)準(zhǔn)形211.2.1方陣行列式因子、不變因子、初等因子1.行列式因子定義1.7?E-A中所有非零k級(jí)子行列式的首項(xiàng)(即最高次項(xiàng))系數(shù)為1的最大公因式稱(chēng)為?E-A的k級(jí)行列式因子，記為22解：考慮其3級(jí)子式

考慮其所有的3級(jí)子式(只有一個(gè))：1.7求A的各級(jí)行列式因子

23所以考慮其所有的2級(jí)子式，因?yàn)橛幸粋€(gè)2級(jí)子式所以考慮其所有的1級(jí)子式，因?yàn)?E-A中的有元素-1,所以242.不變因子定理1.4?E-A總可以經(jīng)初等變換化為25可以證明，?E-A在初等變換下秩與行列式因子不變，由此得出不變因子與行列式因子間的關(guān)系：

26計(jì)算方法273.初等因子28計(jì)算方法29301.2.2方陣相似的條件定理1.6方陣A與B相似的充要條件是：A與B有全同的不變因子。而且還可以得出以下推論：方陣A與E相似的充要條件是A與B有全同的初等因子31321.2.3方陣在相似變換下的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形定理1.7設(shè)n階方陣A的全部初等因子為：

由此稱(chēng)J在相似變換下的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，或稱(chēng)若當(dāng)法式。J中的對(duì)角塊稱(chēng)為相應(yīng)于的一個(gè)階若當(dāng)塊。333435361.2.4方陣在相似變換下的有理標(biāo)準(zhǔn)形定義給定多項(xiàng)式f(?)=由f(?)構(gòu)成的n階方陣稱(chēng)為f(?)的伴侶方陣

373839401.3方陣特征值的估