數(shù)學(xué)分析103平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率

第十章定積分的應(yīng)用平面曲線的弧長(zhǎng)與曲率一、平面曲線的弧長(zhǎng)設(shè)平面曲線C=AB⌒.如下圖，在C上從A到B挨次取分點(diǎn)：A=P0,P1,P2,,Pn-1,Pn=B，它們成為曲線C的一個(gè)切割，記為T(mén).用線段聯(lián)絡(luò)T中每相鄰兩點(diǎn)，獲得C的n條弦Pi-1Pi(i=1,2,,n)，這n條弦又成為C的一條內(nèi)接折線，n記：T=max|Pi-1Pi|，sT=|Pi-1Pi|，分別表示最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)度和折線的總長(zhǎng)度。1ini1定義1：關(guān)于曲線C的不論如何的切割T，假如存在有限極限：limsT=s，T0則稱曲線C是可求長(zhǎng)的，并把極限s定義為曲線C的弧長(zhǎng).定義2：設(shè)平面曲線C由參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]給出.假如x(t)與y(t)在[α,β]上連續(xù)可微，且x’(t)與y’(t)不一樣時(shí)為零22(即x’(t)+y’(t)≠0,t∈[α,β])，則稱C為一條圓滑曲線.定理：設(shè)曲線C由參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]給出.若C為一圓滑β曲線，則C是可求長(zhǎng)的，且弧長(zhǎng)為：s=αx2(t)y2(t)dt.證：對(duì)C作隨意切割T={P01n0n分別對(duì)應(yīng)t=α與t=β,,P,,P}，并設(shè)P與P且Piiiii)),i=1,2,,n-1.(x,y)=(x(t),y(t于是，與T對(duì)應(yīng)獲得區(qū)間[α,β]的一個(gè)切割T’：α=t012<tn-1n=β.<t<t<t在T’所屬的每個(gè)小區(qū)間△i=[ti-1,ti]上，由微分中值定理得xi=x(ti)-x(ti-1)=x’(ξi)△ti,ξi∈△i；△yi=y(ti)-y(ti-1)=y’(ηi)△ti,ηi∈△i.進(jìn)而C的內(nèi)接折線總長(zhǎng)為sTn22n2(ξ)y2(η)△i=xiy=xiiit.i1i1記σi22(ηi)-x2(ξ)y2(ξ)，則nx22(η)△tT(ξ)yσi=x(ξi)yiis=iii.i1又由三角形不等式可得：|σiiiii|≤||y’(η)|-|y’(ξ)||≤|y’(η)-y’(ξ)|.由y’(t)在[α,β]上連續(xù)，進(jìn)而一致連續(xù)，∴對(duì)任給的ε>0,存在δ>0，當(dāng)T<δ時(shí)，只需ηiiiiiiεβ-α∴|sTnx2(ξi)y2(ξi)△in△in|σi|△ti≤ε-|=||i1i1i1<,∴n22△ti，即s=β2(t)y2(t)dt.limTxξy(ξ)x0αT0Ti1注：1、若曲線C由直線坐標(biāo)方程y=f(x),x∈[a,b]表示，則看作參數(shù)方程：x=x,y=f(x),x∈[a,b].所以，當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)可微時(shí)，b2(x)dx.此曲線即為一圓滑曲線，其弧長(zhǎng)公式為：s=1fa2、若曲線C由極坐標(biāo)方程r=r(θ),θ∈[α,β]表示，則化為參數(shù)方程：x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθ,θ∈[α,β].由x’(θ)=r’(θ)cosθ-r(θ)sinθ,y’(θ)=r’(θ)sinθ+r(θ)cosθ,得：2222x’(θ)+y’(θ)=r(θ)+r’(θ)，∴當(dāng)r’(θ)在[α,β]連續(xù)，且r(θ)與r’(θ)不一樣時(shí)為零時(shí)，此極坐標(biāo)曲線為一圓滑曲線，β其弧長(zhǎng)公式為：s=r2(θ)r2(θ)dθ.α例1：求擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤長(zhǎng).22222t解：∵x’(t)=a-acost;y’(t)=asint.∴x’2其弧長(zhǎng)為s=2π4a2sin2tdt=4a2πtdt=8a.00sin222例2：求懸鏈線y=exe-x從x=0到x=a>0那一段的弧長(zhǎng).2exe-xexe-x2.2.解：∵y’=2∴1+y’=2其弧長(zhǎng)為s=aexe-xdx=eae-a.022例3：求心形線r=a(1+cosθ)(a>0)的周長(zhǎng).2222θ解：∵r’(θ)=-asinθ.∴r(θ)+r’(θ)=4acos.22πθ2πθθ其周長(zhǎng)為s=2acosθcos00222注：∵s(t)=αx2(t)y2(t)dt連續(xù)，∴ds=2dy2tdtdtdt即有ds=dx2dy2.特別稱的微分dx為弧微分如左以下圖)PR為s(t).(曲線在點(diǎn)P處的切線，在Rt△PQR中，PQ為dx，QR為dy，PR則為dx，這個(gè)三角形稱為微分三角形。二、曲率：觀察右上圖由參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]給出的圓滑曲線C上，⌒⌒C從點(diǎn)P移至QPQ與QR長(zhǎng)度鄰近，但曲折程度差異較大，可見(jiàn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線時(shí)，切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度△α比動(dòng)點(diǎn)從Q移至R時(shí)切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度△β要大得多.設(shè)α(t)表示曲線在點(diǎn)P(x(t),y(t))處切線的傾角，△α=α(t+△t)-α(t)表示動(dòng)點(diǎn)由P沿曲線移至Q(x(t+△t),y(t+△t))時(shí)切線傾角的增量，若PQ⌒之長(zhǎng)為△s，則稱K=α為弧線PQ⌒的均勻曲率.假如存在有限極限sK=limα=limα=dα，則稱此極限K為曲線C在點(diǎn)P處的曲率.t0ss0sds因?yàn)榧俣–為圓滑曲線，所以總有α(t)=arctany(t)或α(t)=arccotx(t).x(t)y(t)又若x(t)與y(t)二階可導(dǎo)，則由弧微分可得：dαα(t)=dss(t)

x(t)y(t)-x(t)y(t).∴曲率的公式為：K=xy-xy=3(x23.[x2(t)y2(t)]2y2)2y注：若曲線由y=f(x)表示，則相應(yīng)的曲率公式為：K=3.(1y2)2例4：求橢圓x=acost,y=bsint,0≤y≤2π上曲率最大和最小的點(diǎn).解：∵x’(t)=-asint,x”(t)=-acost；y’(t)=bcost,y”(t)=-bsint.2222222222∴x’(t)+y’(t)=asint+bcost=a+(b-a)cost；x’(t)y”(t)-x”(t)y’(t)=absin2t+abcos2t=ab.∴K=x(t)y(t)-x(t)y(t)=ab3.[x2(t)y23(b2(t)]2[a2a2)cos2t]2當(dāng)cos2t=0時(shí)，K=b2；當(dāng)cos2t=1時(shí)，K=a2.ab∴Kmax=max{b2,a2}；Kmin=min{b2,a2}.abab注：1、當(dāng)a=b=R時(shí)，橢圓變?yōu)閳A，則曲率K=1.R2、直線上到處曲率為0.定義：設(shè)曲線C在某一點(diǎn)P處的曲率K≠0.若過(guò)P作一個(gè)半徑為ρ=1K的圓，使它在P處與曲線有同樣的切線，并在點(diǎn)P近旁與曲線位于切線同側(cè)。我們把這個(gè)圓稱為曲線C在點(diǎn)P處的曲率圓或親密圓。曲率圓的半徑和圓心稱為曲線C在點(diǎn)P處的曲率半徑和曲率中心。鐵路彎道剖析：火車(chē)軌道從直道進(jìn)入到半徑為R的圓弧形彎道時(shí)，為了行車(chē)安全，一定經(jīng)過(guò)一段緩沖軌道，使得曲率由零連續(xù)地增添到1，R以保證火車(chē)的向心加快度(a=v2)不發(fā)生跳躍性的突變。如圖，x軸負(fù)ρ⌒是半徑為R的圓弧形軌道(點(diǎn)Q為其圓心)，半軸表示直線軌道，AB⌒x3OA為緩沖軌道。我國(guó)一般采納的緩沖曲線是三次曲線y=.此中l(wèi)6Rl⌒8R2l2x.是OA的弧長(zhǎng).它的曲率K=2l2x432(4R)當(dāng)x從0變?yōu)閤0時(shí)，曲率K從0連續(xù)地變?yōu)镵0=8R2l2x0(4R2l2x04)32

=18l2x03.R424l2x0R2當(dāng)x0≈l，且x0很小時(shí)，K0≈1.RR所以由OA⌒的曲率從0漸漸增添到靠近于1，進(jìn)而起了緩沖作用。R習(xí)題1、求以下曲線的弧長(zhǎng)：3,0≤x≤4；(2)33≤≤π；(1)y=+=1；(3)x=acosxxy(4)x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(a>0),0≤t≤2π；(5)r=asin3θ(a>0),0≤θ≤3π；(6)r=aθ(a>0),0≤θ≤2π.3解：(1)∵y’=3x；∴弧長(zhǎng)S=420

9xdx=8(1010-1).27(2)∵y=1-2x+x,0≤x≤1，y’=1-1；x21111dx=211dx=1+2ln(1+2).∴弧長(zhǎng)S=x2x-2x002(3)∵x’=-3asintcos2t,y’=3acostsin2t；2222424222922x’+y’=9a(sintcost+costsint)=9asintcost=4asin2t.2π∴弧長(zhǎng)S=3a0|sin2t|d2t=6a.4(4)∵x’=a(sint+tcost-sint)=atcost,y’=a(cost-cost+tsint)=atsint；2222∴弧長(zhǎng)2π2’’S=a0tdt=2πa.x+y=at.2θθ2224θ(5)∵r’=asincos；r+r’=asin.3333π2θdθ=3πa.∴弧長(zhǎng)S=3asin0332∵’，∴弧長(zhǎng)2π221π2S=a1θdθ=πa14π++14π).(6)r=a02aln(22、求以下各曲線在指定點(diǎn)處的曲率：(1)xy=4,在點(diǎn)(2,2)；(2)y=lnx,在點(diǎn)(1,0)；(3)x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0),在t=π的點(diǎn)；233在t=π(4)x=acost,y=asint(a>0),的點(diǎn).48解：(1)∵y=4,y’=-42,y”=8x4=83,∴K=x33.xxxx1621x4當(dāng)x=2時(shí)，K=1=2.224(2)∵y’=1,y”=-12,∴K=1x23.xx1212x當(dāng)x=1時(shí)，K=1=-2.224(3)∵x’π=a(1-cost)tπ=a,x”π=asintπ=a;tt2t222y’π=asinttπ=a,y”π=acostπ=0；tt2t222πa2∴當(dāng)t=時(shí)，K=32(2a2)2

2.4a(4)x’π=-3acos2tsintπ=-342a,x”π=3a(2costsin2t-cos3t)π=32a;tttty’π=3asin2tcostt4

322332π=a,y”t)π=a；4π=3a(2sintcost-sintttt∴當(dāng)t=π時(shí)，K=9a24349a224

2.3a3、求a,b的值，使橢圓x=acost,y=bsint的周長(zhǎng)等于正弦曲線y=sinx在0≤x≤2π上一段的長(zhǎng).2π2π解：當(dāng)0a2sin2tb2cos2tdt=01cos2tdt時(shí)，a2sin2tb2cos2t=a2(b2-a2)cos2t=1cos2t，a=1,b=2;或a=2,b=1.4、設(shè)曲線由極坐標(biāo)方程r=r(θ)給出，且二階可導(dǎo)，證明它在點(diǎn)(r,θ)|r22r2-rr|.處的曲率為K=r3(r22)2證：化為參數(shù)方程：x=f(θ)cosθ,y=f(θ)sinθ,則x’=f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ,x”=f”(θ)cosθ-f’(θ)sinθ-f’(θ)sinθ-f(θ)cosθ=[f”(θ)-f(θ)]cosθ-2f’(θ)sinθ.y’=f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ=f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ,y”=f”(θ)sinθ+f’(θ)cosθ+f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ=[f”(θ)-f(θ)]sinθ+2f’(θ)cosθ.2222∴x’’(θ)cosθ-f(θ)sinθ]+[f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ]+y’=[f2222=f’(θ)-2f’(θ)cosθf(wàn)(θ)sinθ+2f’(θ)sinθf(wàn)(θ)cosθ+f(θ)=r+r’.x’y”=[f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ]{[f”(θ)-f(θ)]sinθ+2f’(θ)cosθ}22222=f’(θ)f”(θ)sinθcosθ-3f(θ)f’(θ)sinθcosθ+2r’cosθ-rr”sinθ+rsinθ;x”y’={[f”(θ)-f(θ)]cosθ-2f’(θ)sinθ}[f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ]22222=f’(θ)f”(θ)sinθcosθ+rr”cosθ-3f(θ)f’(θ)sinθcosθ-rcosθ-2r’sinθ.x’y”-x”y’=r22+2r’-rr”.xy-xy|r22r2-rr|.∴K=3=(r23(x2y2)2r2)25、用上題公式，求心形線r=a(1+cosθ)(a>0)在θ=0處的曲率、曲率半徑和曲率圓.解：∵rθθθ=-a,=0=2a,r’=0=0,r”=0∴Kθ=0=|r22r2-rr|2(r2r3θ=0=6a32)2(4a2)2

3.4a曲率半徑：Rθ=0=1θ=0=