考研數(shù)學(xué)一曲線、曲面積分

考研數(shù)學(xué)一曲線、曲面積分1.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)S為球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=1(a，b，c均大于零)，則I=（江南博哥）A.4πB.4π(a+b+c)C.0D.正確答案：B參考解析：1.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)S為球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=1(a，b，c均大于零)，則I=A.4πB.4π(a+b+c)C.0D.正確答案：B參考解析：2.【單項(xiàng)選擇題】A.

B.

C.

D.

正確答案：C參考解析：

1.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)S為球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=1(a，b，c均大于零)，則I=A.4πB.4π(a+b+c)C.0D.正確答案：B參考解析：2.【單項(xiàng)選擇題】A.

B.

C.

D.

正確答案：C參考解析：

3.【單項(xiàng)選擇題】A.I1>I2>I3B.I2>I3>I1C.I3>I2>I1D.I2>I1>I3正確答案：B參考解析：如圖9-15所示，由曲線積分的定義，知

4.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)L為閉曲線|x|+|y|=1，取逆時(shí)針?lè)较颍瑒tI=A.8(a+b)B.2(a+b)C.8(a-b)D.2(a-b)正確答案：B參考解析：由L：|x|+|y|=1，知

4.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)L為閉曲線|x|+|y|=1，取逆時(shí)針?lè)较?，則I=A.8(a+b)B.2(a+b)C.8(a-b)D.2(a-b)正確答案：B參考解析：由L：|x|+|y|=1，知

5.【單項(xiàng)選擇題】A.x2+20y2-24x-116=0．B.4y2+4z2-12z-7=0．C.D.正確答案：A參考解析：6.【單項(xiàng)選擇題】A.I1<I2<I3．B.I1<I3<I2．C.I3<I2<I1．D.I2<I1<I3．正確答案：C參考解析：由格林公式得7.【單項(xiàng)選擇題】A.(a+b)l．B.(a2+b2)l．C.a2b2l．D.abl正確答案：C參考解析：故應(yīng)選(C)．8.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)場(chǎng)A={x3+2y，y3+2z，z3+2x)，曲面S：x2+y2+z2=2z內(nèi)側(cè)，則場(chǎng)A穿過(guò)曲面指定側(cè)的通量為(??)．A.32πB.-32πC.D.-正確答案：D參考解析：9.【單項(xiàng)選擇題】則(??)．A.I1>I2>I3

B.I2>I3>I1C.I3>I1>I2

D.I1>I3>I2正確答案：A參考解析：曲線弧關(guān)于y軸對(duì)稱，因此由對(duì)稱性知10.【單項(xiàng)選擇題】A.0B.C.D.正確答案：A參考解析：11.【單項(xiàng)選擇題】A.B.C.D.π正確答案：A參考解析：12.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】

13.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】

14.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：

【解析】

15.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】

沿閉曲線L的積分，考慮利用格林公式．先將L：x2+y2=R2代入被積函數(shù)，去掉被積函數(shù)中無(wú)定義的點(diǎn)(0，0)，則

16.【填空題】為_______．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：xy=2

【解析】

17.【填空題】設(shè)曲面S：x2+y2+z2=2x，其密度為ρ=x2+y2+z2，則曲面S的質(zhì)量m=_______．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：8π【解析】

18.【填空題】設(shè)光滑有向曲面S的邊界曲線為光滑有向閉曲線L，方向符合右手法則，則I=請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：0【解析】gradsin(x+y+z)=(cos(x+y+z)，cos(x+y+z)，cos(x+y+z))．由斯托克斯公式，有

19.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：4π【解析】

20.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】21.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：-1【解析】22.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】

由高斯公式得23.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】24.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：計(jì)算第一類曲線積分時(shí)要化為定積分，關(guān)鍵是正確寫出積分曲線的參數(shù)方程．

25.【解答題】(Ⅰ)L為(x+2)2+(y-2)2=1，取逆時(shí)針?lè)较颍?Ⅱ)L為x2+y2=1，取逆時(shí)針?lè)较颍?Ⅲ)請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

26.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

27.【解答題】設(shè)曲線L：x2+y2=R2(R>0)，取逆時(shí)針?lè)较?，?wèn)R為何值時(shí)，積分取得最大值，并求最大值．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

L為閉曲線，利用格林公式，記P=y3，Q=3x—x3，

28.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：29.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

法1

法2

用格林公式．

30.【解答題】(Ⅰ)(Ⅱ)請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

(Ⅰ)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當(dāng)k=-1時(shí)，存在u(x，y)，使得du=Pdx+Qdy．用積分求u(x，y)．

31.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

解法1

32.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

如圖9—8所示．

33.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：如圖9—9所示，曲面S關(guān)于xOz面對(duì)稱，x2y和yz2關(guān)

34.【解答題】設(shè)s為z=x2+y2介于z=0與z=1之間部分的下側(cè)，計(jì)算請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

法l如圖9-10所示，利用高斯公式．

34.【解答題】設(shè)s為z=x2+y2介于z=0與z=1之間部分的下側(cè)，計(jì)算請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

法l如圖9-10所示，利用高斯公式．

35.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：解法1(投影法)如圖9-11所示．

36.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：如圖9-13所示，為了利用高斯公式，添加輔助面

37.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

38.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：由格林公式，有

39.【解答題】設(shè)L為y=πcosx從A(π，-π)到B(-π，-π)的曲線，計(jì)算請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：法1

法2利用格林公式求解

．

40.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：法1

法2取積分路徑為xy=2，則

41.【解答題】設(shè)在D={(x，y)|y>0)內(nèi)，f(x，y)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，f(x，y)≠0，且對(duì)任意t>0，有f(tx，ty)=t2f(x，y)，證明：對(duì)D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線L，都有請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

42.【解答題】設(shè)曲面S為由圓柱面x2+y2=R2、平面z=0和z-x=R(R>0)所圍立體的表面，計(jì)算請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

依題設(shè)，曲面S可分成三個(gè)曲面(如圖9-22)

42.【解答題】設(shè)曲面S為由圓柱面x2+y2=R2、平面z=0和z-x=R(R>0)所圍立體的表面，計(jì)算請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

依題設(shè)，曲面S可分成三個(gè)曲面(如圖9-22)

43.【解答題】設(shè)球面為x2+y2+z2=R2，柱面為x2+y2=Rx(R>0)，球面在柱體內(nèi)的面積為S1，柱面在球體內(nèi)的面積為S2，請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：由對(duì)稱性，知求S1只需考慮z≥0的部分(如圖9-23)．

44.【解答題】(Ⅰ)求C在xOy面上的投影曲線方程；(Ⅱ)求S的質(zhì)量．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

(Ⅰ)

(Ⅱ)S的質(zhì)量為

45.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

如圖9-25所示，所求積分滿足高斯公式的條件．利用高斯公式，有

46.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

由兩類曲面積分的關(guān)系，有

47.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

由于被積表達(dá)式在點(diǎn)(0，0，0)處沒(méi)有意義，先將曲面S：代入化簡(jiǎn)，得

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