橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用

橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用雙基達(dá)標(biāo)（限時(shí)20分鐘）22xy1．(2011·廈門(mén)高二檢測(cè))橢圓＋＝1231的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上．如果1線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是)．(33234A．±4B．±2C．±2D．±解析由條件可得F1(－3，0)，PF1的中點(diǎn)在y軸上，∴P坐標(biāo)(3，y0)，又P在＋＝1的橢圓上得y0＝±23，∴M的坐標(biāo)(0，±43)，22xy123故選A.答案A2．如圖所示，直線(xiàn)l：x－2y＋2＝0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F和一個(gè)頂點(diǎn)B，該橢圓的1離心率為()．1525A.B.5D.255C.5解析由條件知，F(xiàn)1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2，c225.∴a＝22＋12＝5，∴e＝＝＝a55答案D22xy3．已知橢圓＋＝341的上焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0與橢圓分別相交于點(diǎn)A，B和C，D，則AF＋BF＋CF＋DF＝()．A．23B．43C．4D．8解析如圖，兩條平行直線(xiàn)分別經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，連接AF1、FD.由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形AFDF1(其中F1為橢圓的下焦點(diǎn))為平行四邊形，∴AF1＝FD，同理BF1＝CF，∴AF＋BF＋CF＋DF＝AF＋BF＋BF1＋AF1＝4a＝8.答案D22xyy＝x＋2與橢圓＋＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是________．m34．直線(xiàn)y＝x＋2，解析由消去y，22xy＋＝1m3整理，得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.若直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，解得3＋m≠0，m≠－3，則＝（4m）2－4m（3＋m）>0，m<0或m>1.Δ22xy由＋＝1表示橢圓知，m>0且m≠3.m3綜上可知，m的取值范圍是(1，3)∪(3，＋∞)．答案(1，3)∪(3，＋∞)125．橢圓x＋4y2＝16被直線(xiàn)y＝x＋1截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．2x2＋4y2＝16，解析由消去y并化簡(jiǎn)，得x2＋2x－6＝0.1y＝x＋1，2設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－2，xx12＝－6.∴弦長(zhǎng)|MN|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）212122＝（x1－x2）＋（x－x）22154＝[（x1＋x2）－4xx12]254＝（4＋24）＝35.答案35422xl：y＝kx＋1與橢圓＋y＝1交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|＝.求直226．已知直線(xiàn)3線(xiàn)l的方程．解設(shè)直線(xiàn)l與橢圓的交點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)，y＝kx＋1，由消y并化簡(jiǎn)，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，2x＋＝1，y224k∴x＋x＝－，xx＝0.1＋2k12212由|MN|＝，得432(x－x)2＋(y1－y2)2＝，32912∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，32932∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4xx12]＝.924k32－即(1＋k2)＝.1＋2k92化簡(jiǎn)，得k＋k2－2＝0，∴k＝1，∴k＝±1.42∴所求直線(xiàn)l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.綜合提高（限時(shí)25分鐘）22xy7．已知橢圓＋＝631(a>b>0)的離心率是，過(guò)橢圓上一點(diǎn)M作直線(xiàn)MA，MB2ab2分別交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k，k，若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，12則k1·k2的值為()．12121313A.B．－C.D．－解析設(shè)點(diǎn)M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，22bx221bx2a則y2＝b2－，y＝b2－，212a所以k·k＝y(tǒng)－yy＋yy－y222bc21·1＝1＝－＝2－1＝2aa12－＋－221xxxxxx1111－1＝－，即k1·k2的值為－.33e2答案D2x8．已知橢圓C：＋y＝1的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)l：x＝2，點(diǎn)A∈l，線(xiàn)段AF交C22→→→于點(diǎn)FA＝3FB，則|AF|＝()．B，若A.2B．2C.3D．3解析設(shè)點(diǎn)A(2，n)，B(x0，y0)．2x2由橢圓C：＋y2＝1，知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1，∴右焦點(diǎn)F(1，0)．→→∴由FA＝3FB，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．4313∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.1423132x將x0，y0代入2＋y2＝1，得×()2＋(n)2＝1.→解得n2＝1，∴|AF|＝（2－1）＋2n2＝1＋1＝2.所以選A.答案A22xyF、F為橢圓＋＝2599．(2011·北京東城檢測(cè))已知1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)121交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若|FA|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.2解析由題意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.答案810．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，A2，B1，B2122xy2為橢圓＋＝1(a>b>0)的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直2ab線(xiàn)A1B2與直線(xiàn)BF相交于點(diǎn)T，線(xiàn)段OT與橢圓的交點(diǎn)1M恰為線(xiàn)段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．xyxy＝1，二者聯(lián)解析直線(xiàn)AB的方程為－a＋＝1，直線(xiàn)B1F的方程為＋b12bc－2acb（a＋c）a－c，立，得T，a－cb（a＋c）ac22xy則M，在橢圓＋＝1(a>b>0)上，a－c2（a－c）2ab2（a＋c）22c∴＋＝1，c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝27（a－c）24（a－c）2－5.答案27－522xyA(－1，1)的直線(xiàn)與橢圓＋＝8411．已知過(guò)點(diǎn)1交于點(diǎn)B、C，當(dāng)直線(xiàn)l繞點(diǎn)A(－1，1)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求弦BC中點(diǎn)M的軌跡方程．l與橢圓的交點(diǎn)B(x，y1)，C(x2，y2)，解設(shè)直線(xiàn)1弦BC中點(diǎn)M(x，y)，21＝1，2xy則1＋①8422xy2＋2＝1.②8422221)＝0.xxyy②－①，得(2－1)＋(2－8844∴(x2＋x1)(x2－x1)＋2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.③x＋xy＋yy－yy－1當(dāng)x1≠x2時(shí)，＝x，＝y(tǒng)，＝，1－xx＋11212222x21y－y＝0.x－x2又∵③式可化為(x＋x2)＋2(y1＋y2)·2111y－1∴2x＋2·2y·＝0，化簡(jiǎn)得x＋2y2＋x－2y＝0.2x＋1當(dāng)x＝x時(shí)，由點(diǎn)M(x，y)是線(xiàn)段BC中點(diǎn)，1，y＝0，顯然適合上式．M的軌跡方程是x＋2y2＋x－2y＝0.12∴x＝－總之，所求弦中點(diǎn)212．(創(chuàng)新拓展)如圖所示，點(diǎn)A、B分別是橢圓1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右x軸上方，PA⊥PF.2xy36202＋＝焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M的距離d的最小值．解(1)由已知可得點(diǎn)A(－6，0)，F(xiàn)(4，0)，P的坐標(biāo)是(x，y)，M到直線(xiàn)AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)設(shè)點(diǎn)→→則AP＝(x＋6，y)，F(xiàn)P＝(x－4，y)．22yx由已知得＋＝1，3620（x＋6）（x－4）＋y＝0.232則2x2＋9x－18＝0,即得x＝或x＝－6.3252由于y>0，只能x＝，于是y＝3.35