小學(xué)數(shù)學(xué)30種典型應(yīng)用題分類講解附帶例題和解題過(guò)程_第1頁(yè)
小學(xué)數(shù)學(xué)30種典型應(yīng)用題分類講解附帶例題和解題過(guò)程_第2頁(yè)
小學(xué)數(shù)學(xué)30種典型應(yīng)用題分類講解附帶例題和解題過(guò)程_第3頁(yè)
小學(xué)數(shù)學(xué)30種典型應(yīng)用題分類講解附帶例題和解題過(guò)程_第4頁(yè)
小學(xué)數(shù)學(xué)30種典型應(yīng)用題分類講解附帶例題和解題過(guò)程_第5頁(yè)
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小學(xué)數(shù)學(xué)30種典型應(yīng)用題講解應(yīng)用題可分為一般應(yīng)用題與典型應(yīng)用題。沒有特定的解答規(guī)律的兩步以上運(yùn)算的應(yīng)用題,叫做一般應(yīng)用題。題目中有特殊的數(shù)量關(guān)系,可以用特定的步驟和方法來(lái)解答的應(yīng)用題,叫做典型應(yīng)用題.以下主要研究30類典型應(yīng)用題:1、歸一問(wèn)題2、歸總問(wèn)題3、和差問(wèn)題4、和倍問(wèn)題5、差倍問(wèn)題6、倍比問(wèn)題7、相遇問(wèn)題8、追及問(wèn)題9、植樹問(wèn)題10、年齡問(wèn)題11、行船問(wèn)題21、方陣問(wèn)題12、列車問(wèn)題22、商品利潤(rùn)問(wèn)題23、存款利率問(wèn)題24、溶液濃度問(wèn)題2513、時(shí)鐘問(wèn)題14、盈虧問(wèn)題15、工程問(wèn)題16、正反比例問(wèn)題17、按比例分配18、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題19、“牛吃草”問(wèn)題20、雞兔同籠問(wèn)題、構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題26、幻方問(wèn)題27、抽屜原則問(wèn)題28、公約公倍問(wèn)題29、最值問(wèn)題30、列方程問(wèn)題1歸一問(wèn)題【含義】在解題時(shí),先求出一份是多少(即單一量),然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn),求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問(wèn)題?!緮?shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)=1份數(shù)量1份數(shù)量×所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量另一總量÷(總量÷份數(shù))=所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量,以單一量為標(biāo)準(zhǔn),求出所要求的數(shù)量。例1買5支鉛筆要0.6元錢,買同樣的鉛筆16支,需要多少錢?解(1)買1支鉛筆多少錢?0.6÷5=0.12(元)(2)買16支鉛筆需要多少錢?0.12×16=1.92(元)列成綜合算式0.6÷5×16=0.12×16=1.92(元)答:需要1.92元。例23臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃,照這樣計(jì)算,5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多公少頃?解(1)1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃?90÷3÷3=10(公頃)(2)5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃?10×5×6=300(公頃)列成綜合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300(公頃)答:5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地300公頃。1例35輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材,如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材,需要運(yùn)幾次?解(1)1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材?100÷5÷4=5(噸)(2)7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材?(3)105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次?105÷35=3(次)列成綜合算式105÷(100÷5÷4×7)=答:需要運(yùn)3次。2歸總問(wèn)題【含義】解題時(shí),然后再根據(jù)其它條件算出所求的問(wèn)題,叫歸總問(wèn)題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)(幾5×7=35(噸)3(次)常常先找出“總數(shù)量”,天)的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。【數(shù)量關(guān)系】1份數(shù)量×份數(shù)=總量總量÷1份數(shù)量=份數(shù)總量÷另一份數(shù)=另一每份數(shù)量【解題思路和方法】先求出總數(shù)量,例1服裝廠原來(lái)做一套衣服用布3.2米,改進(jìn)裁剪方法后,解(1)這批布總共有多少米?2531.2(米)(2)現(xiàn)在可以做多少套?904(套)列成綜合算式3.2×791÷904(套)答:現(xiàn)在可以做904套。例2小華每天讀24頁(yè)書,12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁(yè)書,幾解(1)《紅巖》這本書總共多少頁(yè)?24×12=288(頁(yè))再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。每套衣服用布2.8米。原來(lái)做791套衣服的布,現(xiàn)在可以做多少套?3.2×791=2531.2÷2.8=2.8=天可以讀完《紅巖》?(2)小明幾天可以讀完《紅巖》?288÷36=8(天)列成綜合算式24×12÷36=8(天)答:小明8天可以讀完《紅巖》。例3食堂運(yùn)來(lái)一批蔬菜,原計(jì)劃每天吃50千克,30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來(lái)根據(jù)大家的意見,每天比原計(jì)劃多吃10千克,這批蔬菜可以吃多少天?解(1)這批蔬菜共有多少1500(千克)(2)這批蔬菜可以吃多少天?列成綜合算式50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天)答:這批蔬菜可以吃25天3和差問(wèn)題【含義】已知兩個(gè)千克?50×30=1500÷(50+10)=25(天)數(shù)量的和與差,求這兩個(gè)數(shù)量各是多少,這類應(yīng)用題叫和差問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】大數(shù)=(和+差)÷2小數(shù)=(和-差)÷2【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式;復(fù)雜的題目變通后再用公式。2

例1甲乙兩班共有學(xué)生98人,甲班比乙班多6人,求兩班各有多少人?解甲班人數(shù)=(98+6)÷2=52(人)乙班人數(shù)=(98-6)÷2=46(人)答:甲班有52人,乙班有46人。例2長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為18厘米,長(zhǎng)比寬多2厘米,求長(zhǎng)方形的面積。解長(zhǎng)=(18+2)÷2=10(厘米)寬=(18-2)÷2=8(厘米)長(zhǎng)方形的面積=10×8=80(平方厘米)答:長(zhǎng)方形的面積為80平方厘米。例3有甲乙丙三袋化肥,甲乙兩袋共重32千克,乙丙兩袋共重30千克,甲丙兩袋共重22千克,求袋、乙丙兩袋都含有乙,丙多(32-30)=2千克,且甲是大數(shù),丙是小數(shù)。由此可知三袋化肥各重多少千克。解甲乙兩從中可以看出甲比甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克)丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克)乙袋化肥重量=32-12=20(千克)答:甲袋化肥重12千克,乙袋化肥重20千克,丙袋化肥重10千克。例4甲乙兩車原來(lái)共裝蘋果97筐,從甲車取下14筐放到乙車上,結(jié)果甲車比乙車還多3筐,兩車原來(lái)各裝蘋果多少筐?解“從甲車取下14筐放到乙車還多3筐”,是97,因此車上,結(jié)果甲車比乙這說(shuō)明甲車是大數(shù),乙車是小數(shù),甲與乙的差是(14×2+3),甲與乙的和甲車筐數(shù)=(97+14×2+3)÷2=64(筐)乙車筐數(shù)=97-64=33(筐)答:甲車原來(lái)裝蘋果64筐,乙車原來(lái)裝蘋果33筐。4和倍問(wèn)題【含義】已知兩【數(shù)量關(guān)系】總和÷(個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍(或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾),要求這兩個(gè)數(shù)各是多少,這類應(yīng)用題叫做和倍問(wèn)題。幾倍+1)=較小的數(shù)總和-較小的數(shù)=較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的例1果園里有杏樹和桃樹共248棵,桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍,求杏樹、桃樹各多少解(1)杏樹有多少棵?248÷(3+1)=62(棵)(2)桃樹有多少棵?62×3=棵)答:杏樹有62棵,桃樹有186棵。例2東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸,東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4倍,求兩解(1)西庫(kù)存糧數(shù)=480÷(噸)(2)東庫(kù)存糧數(shù)=480-噸)題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式????186(庫(kù)各存糧多少噸?1.4+1)=200(200=280(3

答:東庫(kù)存糧280噸,西庫(kù)存糧200噸。例3甲站原有車52輛,乙站原有車32輛,若每天從甲站開往乙站28輛,從乙站開往甲站24輛,幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的28輛,從乙站開往甲站24輛,相當(dāng)于每天從甲站開往乙站(24)輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量,這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量,兩站的車輛總數(shù)(52+32)就相當(dāng)于(2+2倍?解每天從甲站開往乙站28-1)倍,那么,幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為(52+32)÷(2+1)=28(輛)所求天數(shù)為(52-28)÷(28-24)=6(天)答:6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的例4甲乙丙三數(shù)之和是2倍少4,丙比甲的3倍多6,求三數(shù)各是多少?解乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系,因此把甲數(shù)作為1倍量。因?yàn)橐冶燃椎?倍少4,所以給乙加上4,乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍;3倍多6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍;170+4-6)就相當(dāng)于(1+2+3)倍。那么,170+4-6)÷(1+2+3)=2828×2-4=5228×3+6=9052,丙數(shù)是90。2倍。170,乙比甲的又因?yàn)楸燃椎?,所以丙數(shù)減去這時(shí)(甲數(shù)=(乙數(shù)=丙數(shù)=答:甲數(shù)是28,乙數(shù)是5差倍問(wèn)題【含義】已知兩【數(shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍(或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾),要求這兩個(gè)數(shù)各是多少,這類應(yīng)用題叫做差倍問(wèn)題。差÷(幾倍-1)=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的例1果園里桃樹的杏樹的3倍,而且桃樹比解(1)杏樹有多少棵?124÷(3-1)=62(棵)(2)桃樹有多少棵?186(棵)答:果園里杏樹是62棵,桃樹是186棵。例2爸爸比兒子大27歲,今年,爸爸的年齡是兒子年齡的4倍,求父子二人今年各是多少解(1)兒子年齡=27÷(4-1)=9(歲)(2)爸爸年齡=9×4=36(歲)答:父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例3商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后,本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬(wàn)元,又知本月盈利比上月盈利多30萬(wàn)元,求這兩個(gè)月盈利各是多少元?如果把上月盈利作為1倍量,上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(萬(wàn)元)題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。棵數(shù)是杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵?62×3=歲?萬(wàn)解則(30-12)萬(wàn)元就相當(dāng)于上月盈利的(2-1)倍,因此4

本月盈利=18+30=48(萬(wàn)元)答:上月盈利是18萬(wàn)元,本月盈利是48萬(wàn)元。例4糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米,如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸,問(wèn)幾天后剩下的玉米是小麥的3倍?解由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等,所以剩下的數(shù)量差等于原來(lái)的數(shù)量差(138-94)。把幾天后剩下的小麥看作1倍量,則幾天后剩下的玉米就是3倍量,那么,(138-94)就相當(dāng)于(3-1)倍,因此94)÷(3-94-22=運(yùn)糧的天數(shù)=72÷剩下的小麥數(shù)量=(138-1)=22(噸)運(yùn)出的小麥數(shù)量=72(噸)9=8(天)答:8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。6倍比問(wèn)題【含義】有兩個(gè)已知的同類量,其中一個(gè)量是另一個(gè)量的若干倍,解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù),再用倍比的方法算出要求的數(shù),這類應(yīng)用題叫做倍比問(wèn)題?!緮?shù)量關(guān)系】總量÷一個(gè)數(shù)量=倍數(shù)另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)=另一總量【解題思路和方法】先求出倍數(shù),再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1100千克油菜籽可以榨油40千克,解(1)3700千克是100千克的(2)可以榨油多少千克?式40×(答:可以榨油1480千克。例2今年植樹節(jié)這天,某小學(xué)300名師生共植樹400棵,照這樣計(jì)算,全縣48000名師生共植樹多少棵?1)48000名是300名的(2)共植樹多少棵?列成綜合算式400×(答:全縣48000名師生共植樹64000棵?,F(xiàn)在有油菜籽3700千克,可以榨油多少?多少倍?3700÷100=37(倍)40×37=1480(千克)列成綜合算3700÷100)=1480(千克)解(多少倍?48000÷300=160(倍)400×160=64000(棵)48000÷300)=64000(棵)例3鳳翔縣今年蘋果大豐收,田家莊一戶人家4畝果園收入11111元,照這樣計(jì)算,全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元?全縣16000畝果園共收入多少元?解(1)800畝是4畝的幾倍?800÷4=200(倍)(2)800畝收入多少元?(3)16000畝是800畝的幾倍?(4)16000畝收入多少元?11111×200=2222200(元)16000÷800=20(倍)2222200×20=44444000(元)答:全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元,全縣16000畝果園共收入44444000元。7相遇問(wèn)題【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行,在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問(wèn)題。5

【數(shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間=總路程÷(甲速+乙速)總路程=(甲速+乙速)×相遇時(shí)間【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1南京到上海的水路長(zhǎng)392千米,同時(shí)兩船相遇?從兩港各開出一艘輪船相對(duì)而行,從南京開出的船每小時(shí)行28千米,從上海開出的船每小時(shí)行21千米,經(jīng)過(guò)幾小時(shí)解392÷(28+21)=8(小時(shí))答:經(jīng)過(guò)8小時(shí)兩船相遇。例2小李和小劉在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步,小李每秒鐘跑5米,小劉每秒鐘跑3米,他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā),反向而跑,那么,二人從出發(fā)到第二次相遇需多長(zhǎng)時(shí)間?解“第二次相遇因此總路程為400×2400×2)÷(5+3)=答:二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間?!笨梢岳斫鉃槎伺芰藘扇?。相遇時(shí)間=(100(秒)例3甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行,甲每小時(shí)行15千米,乙每小時(shí)行13千米,兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇,求兩地的距離。解“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可甲知騎得快,乙騎得慢,甲過(guò)了中點(diǎn)3千米,乙距中點(diǎn)3千米,就是說(shuō)甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此,相遇時(shí)間=(3×2)÷(15-13)=3(小時(shí))兩地距離=(15+13)×3=84(千米)答:兩地距離是84千米。8追及問(wèn)題【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)(或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā),或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā))作同向運(yùn)動(dòng),在后面的,行進(jìn)速度要快些,在前面的,行進(jìn)速度較慢些,在一定時(shí)間之內(nèi),后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問(wèn)題。追及時(shí)間=追及路程÷(快速-慢速)路程=(快速-慢速)×追及時(shí)間【數(shù)量關(guān)系】追及【解題思路例1好馬每天走120千米,劣馬每天走75千米,劣馬先走12天,好馬幾天能追上劣馬?解(1)劣馬先走12天能走多少千米?75×12=(2)好馬幾天追上劣馬?900÷(120-75)=20(天)列成綜合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)答:好馬20天能追上劣馬。例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步,小明跑一圈用40秒,他們從同一地點(diǎn)同時(shí)和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。900(千米)出發(fā),同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米,求小亮的速度是每秒多少米。解小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈,即200米,此時(shí)小亮跑了(500-200)米,要知小亮的速度,須知追及時(shí)間,即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒,則跑500米用[40×(500÷200)]秒,所以小亮的速度是6

(500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3(米)答:小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人,敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑,解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令,以每小時(shí)30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米,問(wèn)解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人?解敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是(22-16)小時(shí),這段時(shí)間敵人逃跑的路程是[10×(22-16)]千米,甲乙兩地相距60千米。由此推知追及時(shí)間=[10×(22-16)+60]÷(30-10)=120÷20=6(小時(shí))答:解放軍在6小時(shí)后可以追上敵人。例4一輛客車從甲站開往乙站,每小時(shí)行48千米;一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站,每小時(shí)行40千米,兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇,求甲乙兩站的距離。解這道題可以由相遇問(wèn)題轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題來(lái)解決。從題中可知客車落后于貨車(16×2)千米,客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說(shuō)的相遇時(shí)間,這個(gè)時(shí)間為16×2÷(48-40)=4(所以兩站間的距離為(48+40)列成綜合算式(48+40)×[16×2÷(48-40)]=88×4=352(答:甲乙兩站的距離是352千米。小時(shí))×4=352(千米)千米)例5兄妹二人同時(shí)由家上學(xué),哥哥每分鐘走90米,妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本,立即沿原路回家去取,行至離校180米處和妹妹相遇。問(wèn)他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn)?解要求距離,速度已知,所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知,在相同時(shí)間(從出發(fā)到相遇)內(nèi)哥哥比妹妹多走(180×2)米,這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧撸?0-60)米,那么,二人從家出走到相遇所用時(shí)間為180×2÷(90-60)=12(分鐘)家離學(xué)校的距離為90×12-180=900(米)答:家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。例6孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校,他以每小時(shí)4千米的速度從家步行去學(xué)校,當(dāng)他走了1千米時(shí),發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘,因此立即跑步前進(jìn),到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來(lái)算了一下,如果孫解手表慢了10分鐘,就等于晚出發(fā)10分鐘,如果按原速走下去,就要遲到(10-5)分鐘,后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校,說(shuō)明后段路程跑比走少用了(10-5)分鐘。如果從家一開始就跑步,可比步行少9分鐘,由此可知,行1千米,跑步比步行少用[9-(10-5)]分鐘。所以步行1千米所用時(shí)間為1÷[9-(10-5)]=0.25(跑步1千米所用時(shí)間為15-[9-(10-5)]=11(跑步速度為每小時(shí)1÷11/60=5.5(亮從家一開始就跑步,可比原來(lái)步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。小時(shí))=15(分鐘)分鐘)千米)答:孫亮跑步速度為每小時(shí)5.5千米。9植樹問(wèn)題【含義】按相等的距離植樹,在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間,已知其中的兩個(gè)量,要求第三個(gè)量,這類應(yīng)用題叫做植樹問(wèn)題。7

【數(shù)量關(guān)系】線形植樹棵數(shù)=距離÷棵距+1圓形植樹棵樹=圓形周長(zhǎng)÷棵距閉合環(huán)形植樹棵數(shù)=距離÷棵距方形植樹棵數(shù)=方形周長(zhǎng)÷棵距三角形棵樹=三角形周長(zhǎng)÷棵距面積植樹棵數(shù)=面積÷(棵距×行距)【解題思路和方法】先弄清楚植樹問(wèn)題的類型,然后可以利用公式。例1一條河堤136米,每隔2米栽一棵解136÷2+1=68+1=69(棵)答:一共要栽69棵垂柳。垂柳,頭尾都栽,一共要栽多少棵垂柳?例2一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米,在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹,一共能栽多少棵白楊樹?解400÷4=100(棵)答:一共能栽100棵白楊樹。例3一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng),每邊長(zhǎng)220米,每隔8米安裝一個(gè)照明燈,一共可以安裝多少個(gè)照明燈?解220×4÷8=106(個(gè))答:一共可以安裝106個(gè)照明燈。例4給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚,所用地板磚的長(zhǎng)和寬分別是60厘米和40厘米,問(wèn)至少需要多少塊地板磚?解96÷(0.6×0.4)=96÷0.24=400(塊)答:至少需要400塊地板磚。例5一座大橋長(zhǎng)500米,給橋兩邊的電桿上安裝路燈,若每隔50米有一個(gè)電桿,每個(gè)電桿上安裝2盞路燈,一共可以安裝多少盞路燈?解(1)橋的一邊有多少個(gè)電桿?500÷50+1=11(個(gè))(2)橋的兩邊有多少個(gè)電桿?11×2=22(個(gè))(3)大橋兩邊可安裝多少盞路燈?22×2=44(盞)答:大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。10年齡問(wèn)題【含義】這類問(wèn)題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名,它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變,但是,兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化?!緮?shù)量關(guān)系】年齡問(wèn)題往往與和差、和倍、差倍問(wèn)題有著密切聯(lián)系,尤其與差倍問(wèn)題的解題思路是一致的,要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)?!窘忸}思路和方法】可以利用“差倍問(wèn)題”的解題思路和方法。兩個(gè)數(shù)的差÷(幾倍-1)=較小的數(shù)例1爸爸今年35歲,亮亮今年5歲,今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍?明年呢?解35÷5=7(倍)(35+1)÷(5+1)=6(倍)答:今年爸爸的年齡是亮亮的7倍,8明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2母親今年37歲,女兒今年7歲,幾年后母親的年齡是女兒的4倍?解(1)母親比女兒的年齡大多少歲?37-7=30(歲)(2)幾年后母親的年齡是女兒的4倍?30÷(4-1)-7=3(年)列成綜合算式(37-7)÷(4-1)-7=3(年)答:3年后母親的年齡是女兒的4倍。例33年前父子的年齡和是49歲,今年父親的年齡是兒子年齡的4倍,父子今年各多少歲?解今年父子的年齡和應(yīng)該比3年前增加(今年二人的年齡和為49+3×2=把今年兒子年齡作為1倍量,則今年父子年齡和4+1)倍,因此,今年兒子年齡為55÷(4+1)=11(歲)今年父親年齡為11×4=答:今年父親年齡是44歲,兒子年齡是11歲。例4甲對(duì)乙說(shuō):數(shù)時(shí),你才4歲”。乙對(duì)甲說(shuō):的歲數(shù)各是多少?(解這里涉及到三個(gè)年份:過(guò)去某一年3×2)歲,55(歲)相當(dāng)于(44(歲)“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲“當(dāng)我的歲數(shù)將來(lái)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí),你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在可用方程解)、今年、將來(lái)某一年。列表分析:今年△歲過(guò)去某一年□歲將來(lái)某一年61歲甲乙4歲□歲△歲表中兩個(gè)“□”表示同一個(gè)數(shù),兩個(gè)“△”表示同一個(gè)數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等:□-4=△-□=61-△,也就是4,□,△,61成等差數(shù)列,所以,61應(yīng)該比4大3個(gè)年齡差,因此二人年齡差為(61-4)÷3=19(歲)甲今年的歲數(shù)為△=61-19=42(歲)乙今年的歲數(shù)為□=42-19=23(歲)答:甲今年的歲數(shù)是42歲,乙今年的歲數(shù)是23歲。11行船問(wèn)題【含義】行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類問(wèn)題要弄清船速水速與,船速是船只本身航行的速度,也就是船只在靜水中航行的速度;水速是水流的速度,船只順?biāo)叫械乃俣仁谴c速水速之和;船只逆水航行的速度是船與速水速之差。【數(shù)量關(guān)系】(順?biāo)俣龋嫠俣龋?=船速(順?biāo)俣龋嫠俣龋?=水速順?biāo)伲酱?水速=逆水速+水速×22逆水速=船速-水速=順?biāo)伲佟痢窘忸}思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí),水流速度為每小時(shí)15千米,這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)?9解由條件知,順?biāo)伲酱伲伲?20÷8,而水速為每小時(shí)15千米,所以,船速為每小時(shí)320÷8-15=25(千米)船的逆水速為25-15=10(千米)船逆水行這段路程的時(shí)間為320÷10=32(小時(shí))答:這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。例2甲船逆水行360千米需18小時(shí),返回原地需10小時(shí);乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí),返回原地需多少時(shí)間?解由題意得甲船速+水速=360÷10=36甲船速-水速=360÷18=20可見(36-20)相當(dāng)于水速的2倍,所以,水速為每小時(shí)(36-20)÷2=8(千米)360÷15,360÷15+8=32(千米)32+8=所以,乙船順?biāo)叫?60千米需要360÷40=9(小時(shí))9小時(shí)。又因?yàn)?,乙船速-水速=所以,乙船速為乙船順?biāo)贋?0(千米)答:乙船返回原地需要例3一架飛機(jī)飛行在兩個(gè)城市之間,飛機(jī)的速度是每小時(shí)576千米,風(fēng)速為每小時(shí)24千米,飛機(jī)逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達(dá),順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)?解這道題可以按照流水問(wèn)題來(lái)解答。(1)兩城相距多少千米?(576-24)×3=1656(千米)(2)順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)?1656÷([(576-24)×3]÷(576+24)=2.76(小時(shí))列成綜合算式576+24)=2.76(小時(shí))答:飛機(jī)順風(fēng)飛回需要2.76小時(shí)。12列車問(wèn)題【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問(wèn)題,解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度。【數(shù)量關(guān)系】火車過(guò)橋:過(guò)橋時(shí)間=(車長(zhǎng)+橋長(zhǎng))÷車速火車追及:追及時(shí)間=(甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離)÷(甲車速-乙車速)火車相遇:相遇時(shí)間=(甲車長(zhǎng)+乙車長(zhǎng)+距離)÷(甲車速+乙車速)【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的例1一座大橋長(zhǎng)2400米,一列火車以每分鐘900米的速度通過(guò)大橋,解火車3分鐘所行的路程,就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。(1)火車3分鐘行多少米?(2)這列成綜合算式900×3-答:這列火車長(zhǎng)300米。例2一列長(zhǎng)200米的火車以每秒8米的速度座大橋,用了2分5秒鐘時(shí)間,求大橋的長(zhǎng)度是多少米?公式。從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長(zhǎng)多少米?900×3=2700(米)列火車長(zhǎng)多少米?2700-2400=300(米)2400=300(米)通過(guò)一10

解火車過(guò)橋所用的時(shí)間是2分5秒=125秒,所走的路程是(8×125)米,這段路程就是(200米+橋長(zhǎng)),所以,橋長(zhǎng)為800(米)長(zhǎng)度是800米。例3一列長(zhǎng)225米的慢車以每秒17米的速度行駛,一列長(zhǎng)140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕,時(shí)間?解從追上到追過(guò),快車比慢車(225+140)÷(73(秒)答:需要73秒。例4一列長(zhǎng)150米的列車以每秒22米的速度行駛,解如果把人看作一列長(zhǎng)度為零的火車,原題就相當(dāng)于火車相遇問(wèn)題。6(秒)從工人身旁駛過(guò)需要6秒鐘。例5一列火車穿越一條長(zhǎng)2000米的隧道用了88秒,以同樣的8×125-200=答:大橋的求快車從追上到追過(guò)慢車需要多長(zhǎng)要多行(225+140)米,而快車比慢車每秒多行(22-17)米,因此,所求的時(shí)間為22-17)=有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來(lái),那么,火車從工人身旁駛過(guò)需要多少時(shí)間?150÷(22+3)=答:火車速度通過(guò)一條長(zhǎng)1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長(zhǎng)度各是多少?解車速和車長(zhǎng)都沒有變,但通過(guò)隧道和大橋所用的時(shí)間不同,是因?yàn)樗淼辣却髽蜷L(zhǎng)。可知火車在(88-58)秒的時(shí)間內(nèi)行駛了(2000-1250)米的路程,因此,火車的車速為每秒(2000-1250)÷(88-58)=25(米)進(jìn)而可知,車長(zhǎng)和橋長(zhǎng)的和為(25×58)米,因此,車長(zhǎng)為25×58-1250=200(米)答:這列火車的車速是每秒25米,車身長(zhǎng)200米。13時(shí)鐘問(wèn)題【含義】就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題,如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問(wèn)題可與追及問(wèn)題相類比?!緮?shù)量關(guān)系】分針的速度是時(shí)針的12倍,二者的速度差為11/12。通常按追及問(wèn)題來(lái)對(duì)待,也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計(jì)算?!窘忸}思路和方法】變通為“追及問(wèn)題”后可以直接利用公式。例1從時(shí)針指向4點(diǎn)開始,再經(jīng)過(guò)多少分鐘時(shí)針正好與分針重合?解鐘面的一周分為60格,分針每分鐘走一格,每小時(shí)走60格;時(shí)針每小時(shí)走5格,每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)=11/12格。4點(diǎn)整,時(shí)針在前,分針在后,兩針相距20格。所以分針追上時(shí)答:再經(jīng)過(guò)22分鐘時(shí)針正好與分針重合。例2四點(diǎn)和五點(diǎn)之間,時(shí)針和分針在什么時(shí)解鐘面上有60格,它的1/4是15格,因而兩針成直角的時(shí)針的時(shí)間為20÷(1-1/12)≈22(分)候成直角?候相差15格(包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況)。四點(diǎn)整的時(shí)候,分針11

在時(shí)針后(5×4)格,如果分針在時(shí)針后與它成直角,那么分針就要比時(shí)針多走(5×4-15)格,如果分針在時(shí)針前與它成直角,那么分針就要比時(shí)針多走(5×4+15)格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)格就可以求出二針(5×4-15)÷(1-1/12)≈6(分)(5×4+15)÷(1-1/12)≈38(分)答:4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。例3六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)與分針重合?解六點(diǎn)整的時(shí)(5×6)÷(1-1/12)≈33(分)成直角的時(shí)間。候時(shí)針候,分針在時(shí)針后(5×6)格,分針要與時(shí)針重合,就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問(wèn)題。答:6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。14盈虧問(wèn)題【含義】根據(jù)一定的人數(shù),分配一定的物品,在兩次分配中,一次有余(盈),一次不足(虧),或兩次都有余,或兩次都不足,求人數(shù)或物品數(shù),這類應(yīng)用題叫做盈虧問(wèn)題?!緮?shù)量關(guān)系】一般地說(shuō),在兩次分配中,如果一次盈,一次虧,則有:參加分配總?cè)藬?shù)=(盈+虧)÷分配差如果兩次都盈或都虧,則有:參加分配總?cè)藬?shù)=(大盈-小盈)÷分配差參加分配總?cè)藬?shù)=(大虧-小虧)÷分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1給幼兒園小朋友分蘋果,若每人分3個(gè)就余11個(gè);若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問(wèn)有多少小朋友?有多少個(gè)蘋果?解按照“盈+虧)÷分配差”的數(shù)量關(guān)系:(1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人)參加分配的總?cè)藬?shù)=((2)有多少個(gè)蘋果?3×12+11=47(個(gè))答:有小朋友12人,有47個(gè)蘋果。例2修一條公路,如果每天修260米,修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng)8天;如果每天修300米,修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng)4天。這條路全長(zhǎng)多少米?解題中原定完成任務(wù)的天數(shù),就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”,按照“參加分配的總?cè)藬?shù)=(大虧-小虧)÷分配差”的數(shù)量關(guān)系,可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為(260×8-300×4)÷(這條路全長(zhǎng)為22+4)=7800(米)答:這條路全長(zhǎng)7800米。例3學(xué)校組織春游,如果每輛車坐40人,就余下30人;如果每輛車坐45人,就剛好坐完。問(wèn)有多少車?多少人?解本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”,于是就有(1)有多少車?(30-0)÷(45-40)=6(輛)(2)有多人少?40×6+30=270(人)300-260)=22(天)300×(12

答:有6輛車,有270人。15工程問(wèn)題【含義】工程問(wèn)題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問(wèn)題在已知條件中,常常不給出工作量的具體數(shù)量,只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等,在解題時(shí),常常用單位“1”表示工作總量。【數(shù)量關(guān)系】解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”,這樣,工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)(它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾),進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量=工作效率×工作時(shí)間工作時(shí)間=工作量÷工作效率工作時(shí)間=總工作量÷(甲工作效率變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1一項(xiàng)工程,10天完成,+乙工作效率)【解題思路和方法】甲隊(duì)單獨(dú)做需要乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成,現(xiàn)在兩隊(duì)合作,需要幾天完成?解題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量,由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量,因此,把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成,那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10;乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成,每天完成這項(xiàng)工程的1/15;兩隊(duì)合做,每天可以完成這項(xiàng)工程的(1/10+1/15)。由此可以列出算式:1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)答:兩隊(duì)合做需要例2一批零件,甲獨(dú)做6小時(shí)完成,乙獨(dú)做8小時(shí)完成?,F(xiàn)在兩人合做,完成設(shè)總工作量為1,則甲每小時(shí)完成1/6,乙每小時(shí)完成1/8,甲比乙每小時(shí)多完成(1/6-1/8),二人合做時(shí)每小時(shí)完成(二人合做需要[1÷(]小時(shí),這個(gè)時(shí)間內(nèi),甲比乙多做24個(gè)零件,所以(1)每小時(shí)甲比乙多做多少零件?24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(個(gè))(2)這批零件共有多少個(gè)?6天完成。任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè),求這批零件共有多少個(gè)?1/6+1/8)。因?yàn)榻?/6+1/8)7÷(1/6-1/8)=168(個(gè))答:這批零件共有168個(gè)。解二上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算:兩人合做,完成由此可知,甲比乙多完成總工作量的4-3/4+3=1/7所以,這批零件共有24÷1/7=168(個(gè))例3一件工作,甲獨(dú)做12小時(shí)完成,乙獨(dú)做10小時(shí)完成,丙獨(dú)做15小時(shí)完成。現(xiàn)在甲先做2小時(shí),能完成?必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。整數(shù)表示,就會(huì)給計(jì)算帶來(lái)方便,因此,我們?cè)O(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù),例如最小公倍數(shù)60,則甲乙丙三人的工作效率分別是560÷10=660÷15=任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為1/6∶1/8=4∶3余下的由乙丙二人合做,還需幾小時(shí)才解如果能把效率用60÷12=4因此余下的工作量由乙丙合做還需要(60-5×2)÷(6+4)=5(小時(shí))13

答:還需要5小時(shí)才能完成。也可以用(1-1/12*2)/(1/10+1/15)例4一個(gè)水池,底部裝有一個(gè)常開的排水管,上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí),需要5小時(shí)才能注滿水池;當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí),需要15小時(shí)才能注滿水池;現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿,至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管?解注(排)水問(wèn)題是一類特殊的工程問(wèn)題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程,水的流量就是工作量,單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿,即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量(一池水)。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1,其余兩個(gè)量便可由條件推出。我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1,則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為(1×4×5),2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為(1×2×15),從而可知每小時(shí)的排水量為(1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為1×4×5-1×5=15又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi),每個(gè)進(jìn)水管的注水量為2小時(shí)內(nèi)注滿一池水15+1×2)÷(1×2)答:至少需要9個(gè)進(jìn)水管。16正反比例問(wèn)題【含義】?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也叫做成正比例的量,它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定,這兩種量就反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用?!緮?shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以思路和方法】解決這類問(wèn)題的重要方法是:把分率(倍數(shù))轉(zhuǎn)化為比,應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問(wèn)題與前面講過(guò)的倍比問(wèn)題基本類似。例1修一條公路,已修的是未修的1/3,再修300米后,已修的變成未修的1/2,1×2,所以,至少需要多少個(gè)進(jìn)水管?(=8.5≈9(個(gè))隨著變化,如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定(即商一定),正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。叫做成反比例的量,它們的關(guān)那么這兩種量就系叫做轉(zhuǎn)化為正反比例問(wèn)題去解決,而且比較簡(jiǎn)捷?!窘忸}求這條公路總長(zhǎng)是多少米?解由條件知,公路總長(zhǎng)不變。原已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12現(xiàn)已修長(zhǎng)度∶總長(zhǎng)度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12比較以上兩從而知公路總長(zhǎng)為300÷(這條公路總長(zhǎng)3600米。例2張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘,照這樣計(jì)算,91分鐘可以做幾道應(yīng)用題?做題效率一定,做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系式可知,把總長(zhǎng)度當(dāng)作12份,則300米相當(dāng)于(4-3)份,4-3)×12=3600(米)答:解設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題則有28∶4=91∶X28X=91×4X=91×4÷28X=1314

答:91分鐘可以做13道應(yīng)用題。例3孫亮看《十萬(wàn)個(gè)為什么》這本書,每天看24頁(yè),15天看完,如果每天看36頁(yè),幾天就可以看完?解書的頁(yè)數(shù)一定,每天看的頁(yè)數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完,就有24∶36=X∶1536X=24×15X=10答:10天就可以看完。例4一個(gè)大矩形被分成六個(gè)小矩形,其中四個(gè)小矩形的面積如圖所示,求大矩形的面積。A25B203616解由面積÷寬=長(zhǎng)可知,當(dāng)長(zhǎng)一定時(shí),面積與寬成正比,所以每一上下兩個(gè)小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因?yàn)榈谝恍腥齻€(gè)小矩形的寬相等,第二行三個(gè)小矩形的寬也相等。因此,A∶36=20∶1625∶B=20∶16解這兩個(gè)比例,得A=45B=20所以,大矩形面積為45+36+25+20+20+16=162答:大矩形的面積是162.17按比例分【含義】所謂按比例分是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式:一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù),另一種是直接給出份數(shù)?!緮?shù)量關(guān)系】從條件看,已知總量和幾個(gè)部分量的比前后項(xiàng)之和思路和方法】先把各部分轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分?jǐn)?shù)作分母,比的前后項(xiàng)分別作分子),再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法,分別求出各部分量的值。例1學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班,已知一班有47人,二班有48人,三班有45人,三個(gè)班各植樹多少解總份數(shù)為47+48+45=140一班植樹560×47/140=188(棵)二班植樹560×48/140=192(棵)三班植樹560×45/140=180(棵)配問(wèn)題配,就;從問(wèn)題看,求幾個(gè)部分量各是多少??偡輸?shù)=比的【解題量的比之幾,把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù),再求各部分占總量的幾分之幾(以總份棵?答:一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2用60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)三角形,三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米?解3+4+5=1260×3/12=15(厘米)60×4/12=20(厘米)60×5/12=25(厘米)答:三角形三條邊的長(zhǎng)分別是15厘米、20厘米、25厘米。15例3從前有個(gè)牧民,臨死前留下遺言,要把17只羊分給三個(gè)兒子,大兒子分總數(shù)的1/2,二兒子分總數(shù)的1/3,三兒子分總數(shù)的1/9,并規(guī)定不許把羊宰割分,求三個(gè)兒子各分多少只羊。解如果用總數(shù)乘以分率的方法解答,顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解,則很容易得到1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶21717×9/17=617×2/17=答:大兒子分得9只羊,二兒子分得例4某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶人數(shù)80人對(duì)應(yīng)的份數(shù)12-89+6+2=917×6/17=26只羊,三兒子分得12∶21,一共多少人?8+12+2只羊。第一車間比第二車間少80人,三個(gè)車間共多少人?21解80÷(12-8)×(8+12+21)=820(人)答:三個(gè)車間一共820人。18百分?jǐn)?shù)【含義】百分?jǐn)?shù)可以表示“率”,也可以問(wèn)題是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分,而百分?jǐn)?shù)則無(wú)需;分?jǐn)?shù)既表示“量”,而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”;分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù),而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù);百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%”。在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念,一個(gè)百分點(diǎn)就是1%,兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%?!緮?shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系:百分?jǐn)?shù)=比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量=比較量÷百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】一般有三種基本類型:(1)求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾;(2)已知一個(gè)數(shù),求它的百分之幾是多少;(3)已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少,求這個(gè)數(shù)。例1倉(cāng)庫(kù)里有一批化肥,用去720千克,剩下6480千克,用去的與剩下的各占原重量的百分之幾?解(1)用去的占720÷(720+6480)=10%(2)剩下的占6480÷(720+6480)=90%答:用去了10%,剩下90%。例2紅旗化工廠有男職工420人,女職工525人,男職工人數(shù)比女職工少百分之幾?解人數(shù)是比較量所以(525-420)÷525=0.2=20%0.2=20%答:男職工人數(shù)比女職工少20%。本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量,男職工比女職工少的或者1-420÷525=16例3紅旗化工廠有男職工420人,女職工525人,女職工比男職工人數(shù)多百分之幾?解本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量,女職工比男職工多的人數(shù)為比較量,因此(525-420)÷420=0.25=25%或者525÷420-1=0.25=25%答:女職工人數(shù)比男職工多25%。例4紅旗化工廠有男職工420人,有女職工525人,男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾?0.444=44.4%0.556=55.6%解(1)男職工占420÷(420+525)=(2)女職工占525÷(420+525)=答:男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%,女職工占55.6%。例5百分?jǐn)?shù)又叫百分率,百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛,常見的百分率有:增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)數(shù)÷原來(lái)基數(shù)×100%合格率=合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%出勤人數(shù)×100%出勤天數(shù)×100%實(shí)有總?cè)藬?shù)×100%試驗(yàn)種子總數(shù)×100%出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤率=實(shí)際出勤天數(shù)÷應(yīng)缺席率=缺席人數(shù)÷發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)÷成活率=成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%出粉率=面粉重量÷小麥重量×100%出油率=油的重量÷廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%命中率=命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%烘前重量×100%參加考試人數(shù)×100%19“牛吃草”問(wèn)題【含義】“牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題,也叫“牛頓問(wèn)題”。這類問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。關(guān)系】草總量=原有思路和方法】解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。例1一塊草地,10頭牛20天可以把草吃完,15頭牛10天可以把草吃完。問(wèn)多解草是均勻生長(zhǎng)的,所以,草總量=原有草量+草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)。求“多牛5天可以把草吃完”,就是說(shuō)完的話,得有多少頭牛?設(shè)每頭牛每天吃草量為1,按以下步驟解答:(1)求草每天的生長(zhǎng)量一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草,長(zhǎng)量,所以油料重量×100%廢品率=烘干率=烘干后重量÷及格率=及格人數(shù)÷【數(shù)量草量+草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)【解題少頭牛5天可以把草吃完?少頭5天內(nèi)的草總量要5天吃因?yàn)?,即?×10×20);另一方面,20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生1×10×20=原有草量+20天內(nèi)生長(zhǎng)量17

同理1×15×10=原有草量+10天內(nèi)生長(zhǎng)量由此可知(20-10)天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為1×10×20-1×15×10=50因此,草每天的生長(zhǎng)量為50÷(20-10)=5(2)求原有草量原有草量=10天內(nèi)總草量-10內(nèi)生長(zhǎng)量=1×15×10-5×10=100(3)求5天內(nèi)草總量5天內(nèi)草總量=原有草量+5天內(nèi)生長(zhǎng)量=100+5×5=125(4)求多少頭牛5天吃完草因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1,所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷5=25(頭)答:需要5頭牛5天可以把草吃完。例2一只船有一個(gè)漏洞,水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi),發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水,3小時(shí)可以淘完;如果只有5人淘水,要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完?解這是一道變相的“牛吃草”問(wèn)題。與上題不同的是,最后一問(wèn)給出了人數(shù)(相當(dāng)于“牛數(shù)”),求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1,按以下步驟計(jì)算:(1)求每小時(shí)進(jìn)水量因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量=1×12×3=原有水量+3小時(shí)進(jìn)水量10小時(shí)內(nèi)的總水量=1×5×10=原有水量+10小時(shí)進(jìn)水量所以,(10-3)小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為1×5×10-1×12×3=14因此,每小時(shí)的進(jìn)水量為14÷(10-3)=2(2)求淘水前原有水量原有水量=1×12×3-3小時(shí)進(jìn)水量=36-2×3=30(3)求17人幾小時(shí)淘完17人每小時(shí)淘水量為17,因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2,所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為(17-2),所以17人淘完水的時(shí)間是30÷(17-2)=2(小時(shí))答:17人2小時(shí)可以淘完水。20雞兔同籠問(wèn)題【含義】這是古典的算術(shù)問(wèn)題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳,求雞、兔各有多少只的問(wèn)題,叫做第一雞兔同的總數(shù)和雞腳與兔腳的差,求雞、兔各是多少的問(wèn)題叫做第二雞兔同籠問(wèn)題。【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題:籠問(wèn)題。已知雞兔假設(shè)全都是雞,則有兔數(shù)=(實(shí)際腳數(shù)-2×雞兔總數(shù))÷(4-2)假設(shè)全都是兔,則有18

雞數(shù)=(4×雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù))÷(4-2)第二雞兔同籠問(wèn)題:假設(shè)全都是雞,則有兔數(shù)=(2×雞兔總數(shù)-雞與兔腳之差)÷(4+2)假設(shè)全都是兔,則有雞數(shù)=(4×雞兔總數(shù)+雞與兔腳之差)÷(4+2)【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設(shè)法,可以先假設(shè)都是雞,也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞,然后以兔換雞;如果先假設(shè)都是兔,然后以雞換兔。這類問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè),再置換,使問(wèn)題得到解決。例1長(zhǎng)毛兔子蘆花雞,雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五,腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算,多少兔子多少雞?解假設(shè)35只全為兔,則雞數(shù)=(4×35-94)÷(4-2)=23(只)兔數(shù)=35-23=12(只)也可以先假設(shè)35只全為雞,則兔數(shù)=(94-2×35)÷(4-2)=12(只)雞數(shù)=35-12=23(只)23只,有兔12只。例22畝菠菜要施肥1千克,5畝白菜要施肥3千克,兩種菜共16畝,施肥9千克,求白菜有多少畝?解此題實(shí)際上是改頭換面的“雞1÷2)千克”與“每只雞有兩個(gè)腳”相對(duì)應(yīng),“每畝白菜施肥(3÷5)千克”與“每只兔有4只腳”相對(duì)應(yīng),“16畝”與“雞3÷5-1÷2)=10(畝)答:有雞兔同籠”問(wèn)題?!懊慨€菠菜施肥(兔總數(shù)”相對(duì)應(yīng),“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對(duì)應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜,則有白菜畝數(shù)=(9-1÷2×16)÷(答:白菜地有10畝。例3李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本日記本和共45,本作業(yè)每本本解此題可以變通為“雞兔同籠”問(wèn)題。假設(shè)45全本都是日記本,則有本數(shù)=(69-0.70×45)÷(3.20-0.70)=15()本3.20元,日記本每本0.70元。問(wèn)作業(yè)本日記本和各買了多少本?日記本數(shù)=45-15=30()本答:作業(yè)有本15,本日記本有30本。例4(第二雞兔同籠問(wèn)題)雞兔共有100只,雞的腳比兔的腳多80只,問(wèn)雞與兔各多少只?解假設(shè)100只全都是雞,則有兔數(shù)=(2×100-80)÷(4+2)=20(只)100-20=80(只)答:有雞80只,有兔20只。雞數(shù)=例5有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃,大和尚一人吃3個(gè)饃,小和尚3人吃1個(gè)饃,問(wèn)大小和尚各多少人?解假設(shè)全為大和尚,則共吃饃(3×100)個(gè),比實(shí)際多吃(3×100-100)個(gè),這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕校虼宋覀冊(cè)诒WC和尚總數(shù)100不變的情況下,以“小”換“大”,一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可減少饃(3-1/3)個(gè)。因此,共有小和尚19

(3×100-100)÷(3-1/3)=75(人)共有大和尚100-75=25(人)答:共有大和尚25人,有小和尚75人。21方陣問(wèn)題【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形(簡(jiǎn)稱方陣),根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù),這類問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題?!緮?shù)量關(guān)系】(1)方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系:四周人數(shù)=(每邊人數(shù)-1)×4每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1(2)方陣總?cè)藬?shù)的求法:實(shí)心方陣:總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)空心方陣:總?cè)藬?shù)=(外邊人數(shù))-(內(nèi)邊人數(shù))內(nèi)邊人數(shù)=外邊人數(shù)-層數(shù)×2(3)若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算,則:總?cè)藬?shù)=(每邊人數(shù)-層數(shù))×層數(shù)×4【解題思路和方法】方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘;空心方陣的變化較多,其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。例1在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上,進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣,每行22人,參加體操表演的同學(xué)一共有多少人?解22×22=484(人)答:參加體操表演的同學(xué)一共有484人。例2有一個(gè)3層中空方陣,最外邊一層有10人,求全方陣的人數(shù)。解10*10-(10-3×2)*(10-3×2)=84(人)答:全方陣84人。例3有一隊(duì)學(xué)生,排成一個(gè)中空方陣,最外層人數(shù)是52人,最內(nèi)層人數(shù)是28人,這隊(duì)學(xué)生共多少人?解(1)中空方陣外層每邊人數(shù)=52÷4+1=14(人)(2)中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)=28÷4-1=6(人)(3)中空方陣的總?cè)藬?shù)=14×14-6×6=160(人)答:這隊(duì)學(xué)生共160人。例4一堆棋子,排列成正方形,多余4棋子,若正方形縱橫兩個(gè)方向各增加一層,則缺少9只棋子,問(wèn)有棋子多少個(gè)?解(1)縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)=4+9=13(只)(2)縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)=(13+1)÷2=7(只)(3)原有棋子數(shù)=7×7-9=40(只)答:棋子有40只。例5有一個(gè)三角形樹林,頂點(diǎn)上有1棵樹,以下每排的樹都比前一排多1棵,最下面一排有5棵樹。這個(gè)樹林一共有多少棵樹?解第一種方法:1+2+3+4+5=15(棵)20

第二種方法:(5+1)×5÷2=15(棵)這個(gè)三角形樹林一共有15棵樹。22商品利潤(rùn)問(wèn)題【含義】這是一種【數(shù)量關(guān)系】利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)貨價(jià)答:在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題,包括成本、利潤(rùn)、利潤(rùn)率和虧損、虧損率等方面的問(wèn)題。利潤(rùn)率=(售價(jià)-進(jìn)貨價(jià))÷進(jìn)貨價(jià)×100%售價(jià)=進(jìn)貨價(jià)×(1+利潤(rùn)率)虧損=進(jìn)貨價(jià)-售價(jià)虧損率=(進(jìn)貨價(jià)-售價(jià))÷進(jìn)貨價(jià)×100%【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可以直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1某商品的平均價(jià)格在一月份上調(diào)了10%,到二月份又下調(diào)了10%,這種商品從原價(jià)到二月份的價(jià)格變動(dòng)情況如何?解設(shè)這種商品的原價(jià)為1,則一月份售價(jià)為(1+10%),二月份的售價(jià)為(1+10%)×(1-10%),所以二月份售價(jià)比原價(jià)下降了1-(1+10%)×(1-10%)=1%答:二月份比原價(jià)下降了1%。例2某服裝店因搬遷,店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元,已衣知服原來(lái)按期望盈利30%定價(jià),那么該店是虧本還是盈利?虧(盈)率是多少?解要知虧還是盈,得知實(shí)際售價(jià)52元比成本少多少或多多少元,進(jìn)而需知成本。因?yàn)?2元是原價(jià)的80%,所以原價(jià)為(52÷80%)元;又因?yàn)樵瓋r(jià)是按期望盈利30%定的,所以成本為52÷80%÷(1+30%)=50(元)可以看出該店是盈利的,盈利率為(52-50)÷50=4%答:該店是盈利的,盈利率是4%。例3成本0.25元的作業(yè)本1200冊(cè),按期望獲得40%的利潤(rùn)定價(jià)出售,當(dāng)銷售出80%后,剩下的作業(yè)本打折扣,結(jié)果獲得的利潤(rùn)是預(yù)定的86%。問(wèn)剩下的作業(yè)本出售時(shí)按定價(jià)打了多少折扣?解問(wèn)題是要計(jì)算剩下的作業(yè)本每?jī)?cè)實(shí)際售價(jià)是原定價(jià)的百分之幾。從題意可知,每?jī)?cè)的原定價(jià)是0.25×(1+40%),所以關(guān)鍵是求出剩下的每?jī)?cè)的實(shí)際售價(jià),為此要知道剩下的每?jī)?cè)盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實(shí)際0.25×1200×40%×86%-0.25×1200×40%×80%=7.20(元)剩下的作業(yè)本每?jī)?cè)盈利7.20÷[1200×(]=0.03(元)又可知(0.25+0.03)÷[0.25×(1+40%)]=80%答:剩下的作業(yè)本是按原定價(jià)的八折出售的??傆c先售出的80%的盈利額之差,即1-80%)例4某種商品,甲店的進(jìn)貨價(jià)比乙店的進(jìn)貨價(jià)便宜10%,甲店按30%的利潤(rùn)定價(jià),乙店按20%的利潤(rùn)定價(jià),結(jié)果乙店的定價(jià)比甲店的定價(jià)貴6元,求乙店的定價(jià)。解設(shè)乙店的進(jìn)貨價(jià)為1,則甲店的進(jìn)貨價(jià)為1-10%=0.9甲店定價(jià)為0.9×(1+30%)=1.17乙店定價(jià)為1×(1+20%)=1.2021

由此可得乙店進(jìn)貨價(jià)為6÷(1.20-1.17)=200(元)乙店定價(jià)為200×1.2=240(元)答:乙店的定價(jià)是240元。23存款利率問(wèn)題【含義】把錢存入銀行是有一定利息的,利息的多少,與本金、利率、存期這三個(gè)因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù);月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)?!緮?shù)量關(guān)系】年(月)利率=本金×存款年(月)數(shù)×年(月)利率本利和=本金+利息=本金×[1+年(月)利率×存款年(月)數(shù)]利息÷本金÷存款年(月)數(shù)×100%利息=【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1李大強(qiáng)存入銀行1200元,月利率0.8%,到期后連本帶利共取出1488元,求存款期多長(zhǎng)。解因?yàn)榇婵钇趦?nèi)的總利息是(1200)÷1200又因?yàn)?.8%=30(月)1488-1200)元,所以總利率為(1488-已知月利率,所以存款月數(shù)為(1488-1200)÷1200÷答:李大強(qiáng)的存款期是30月即兩年半。例2銀行定期整存整取的年利率是:二年期7.92%,三年期8.28%,五年期9%。如果甲乙直存五年期。五年后二人同時(shí)取出,那么,誰(shuí)收益的多?多多少元?解甲的總利息[10000×7.92%×2+[10000×(=1584+11584×8.28%×3=乙的總利息10000×9%×5=二人同時(shí)各存入1萬(wàn)元,甲先存二年期,到期后連本帶利改存三年期;乙1+7.92%×2)]×8.28%×34461.47(元)4500(元)4500-4461.47=38.53(元)答:乙的收益較多,乙比甲多38.53元。24溶液濃度問(wèn)題【含義】在生產(chǎn)和生活中,我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問(wèn)題。這類問(wèn)題研究的主要是溶劑(水或其它液體)、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。例如,水是一種溶劑,被溶解的東西叫溶質(zhì),溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度,也叫百分比濃度?!緮?shù)量關(guān)系】溶液=溶劑+溶質(zhì)濃度=溶質(zhì)÷溶液×100%【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可例1爺爺有16%的糖水50克,(1)要把它稀釋成10%的糖水,需加水多少克?(2)解(1)加水多少克?10%-50=30(克)(2)需要加糖多少克?50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(答:(1)加水30克,(2)需要加糖10克。直接利用公式,復(fù)雜的題目變通后再利用公式。若要把它變成30%的糖水,需加糖多少克?需要50×16%÷克)需要22

例2要把30%的糖水與15%的糖水混合,配成25%的糖水600克,需要600×(30%-25%)=30(克)想在保證總重量600克不變的來(lái)“換掉”一部分30%的溶液100×(30%-15%)=15(克)所以需要“換掉”30%的溶液(即“換上”15%的溶液)100×(30÷15)=200(克)由此可知,需要15%的溶液200克。需要30%的溶液600-200=400(克)15%的糖水溶液200克,需要30%的糖水400克。例3甲容器有濃度為12%的鹽水500克,乙容器有500克水。把甲中鹽水的使甲乙兩容器中的鹽水同樣多甲乙兩容器中溶液重量相等,各為500克,因此,只要算出乙容器中最后的含30%和15%的糖水各多少克?解假設(shè)全用30%的糖水溶液,那么含糖量就會(huì)多出這是因?yàn)?0%的糖水多用了。于是,我們?cè)O(shè)情況下,用15%的溶液。這樣,每“換掉”100克,就會(huì)減少糖答:需要一半倒入乙中,混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中,混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中,。求最后乙中鹽水的百分比濃度。解由條件知,倒了三次后,鹽量,便會(huì)知所求的濃度。下面列表推算:甲容器乙容器鹽水500原有水500鹽500×12%=60鹽水500÷2=250鹽60÷2=30鹽水500+250=750鹽30第一次把甲中一半倒入乙中后鹽水250+375=625鹽水750÷2=375第而次把乙中一半倒入甲中后鹽30+15=45鹽水500鹽30÷2=15鹽水500第三次使甲乙中鹽水同樣多鹽45-9=36鹽45-36+15=24由以上推算可知,乙容器中最后鹽水的百分比濃度為24÷500=4.8%答:乙容器中最后的百分比濃度是4.8%。25構(gòu)圖布數(shù)問(wèn)題【含義】這是一種數(shù)學(xué)游戲,也是現(xiàn)實(shí)生活中常用的數(shù)學(xué)問(wèn)題。所謂“構(gòu)圖”,就是設(shè)計(jì)出一種圖形;所謂“布數(shù)”,就是把一定的數(shù)字填入關(guān)鍵是要符合所給的條件。關(guān)系】根據(jù)不同題目的要求而定。【解題思路和方法】通常多從三角形例1十棵樹苗子,要栽五行子,每行四棵子,請(qǐng)你想法子。符合題目要求的圖形應(yīng)是一個(gè)五角星。圖中?!皹?gòu)圖布數(shù)”問(wèn)題的【數(shù)量、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來(lái)構(gòu)圖布數(shù),符合題目所給的條件。解4×5÷2=10因?yàn)槲褰切堑?條邊交叉重復(fù),應(yīng)減去一半。例2九棵樹苗子,要栽十行子,每行三棵子,請(qǐng)你想法子。23解符合題目要求的圖形是兩個(gè)倒立交叉的等腰三角形,一個(gè)三角形的頂點(diǎn)在另一個(gè)三角形底邊的中線上。例3九棵樹苗子,要栽三行子,每行四棵子,請(qǐng)你想法子。解符合題目要求的圖形是一個(gè)三角形,每邊栽4棵樹,三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)應(yīng)減去,正好9棵。4×3-3=9例4把12拆成1到7這七個(gè)數(shù)中三個(gè)不同數(shù)的和,有幾種寫法?請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種圖形,填入這七個(gè)數(shù),每個(gè)數(shù)只填一處,且每條線上三個(gè)數(shù)的和都等于12。解共有五種寫法,即12=1+4+712=1+5+612=2+3+712=2+4+612=3+4+5在這五個(gè)算式中,4出現(xiàn)三次,其余的1、2、3、5、6、7各出現(xiàn)兩次,因此,4應(yīng)位于三條線的交點(diǎn)處,其余數(shù)都位于兩條線的交點(diǎn)處。26幻方問(wèn)題【含義】把n×n個(gè)自然數(shù)排在正方形的格子中,使各行、各列以及對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等,這樣的圖叫做幻方。最簡(jiǎn)單的幻方是三級(jí)幻方?!緮?shù)量關(guān)系】每行、每列、每條對(duì)角線上各數(shù)的和都相等,這個(gè)“和”叫做“幻和”。三級(jí)幻方的幻和=45÷3=15五級(jí)幻方的幻和=325÷5=65【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每例1把1,3,4,5,6,9這九個(gè)3倍正好等于這九個(gè)數(shù)的和,所以幻和為(1+2+3+4+5+6+7+8+9)÷3=45÷3=15九個(gè)數(shù)在這八條線上反復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成幻和時(shí),每個(gè)數(shù)用到的次數(shù)不全相同,最中心的那個(gè)數(shù)要用到四次(即出現(xiàn)在中行、中列、和兩這四條線上),四角的四個(gè)數(shù)各用到三次,其余的四個(gè)數(shù)各用到兩次。看來(lái),用到四次的“中心數(shù)”地位重要,宜優(yōu)先考慮。設(shè)“中心數(shù)”為Χ,因?yàn)棣抖織l線上三個(gè)于15,所以(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(4-1)Χ=15×4即45+3Χ=60所以Χ=5接著用奇偶分析法尋找其余四個(gè)偶數(shù)的位置,它們分別在四個(gè)角,奇數(shù)的位置,它們分別在中行、中列,進(jìn)一步嘗試,容易得到正確的結(jié)果。例2把2,3,4,5,6,7,8,9,10這九個(gè)使每行、每列、以及對(duì)角線上的解只有三行,三行用完了所給的9個(gè)數(shù),所以每行三數(shù)之和為(2+3+4+5+6+7+8+9+10)÷3=18條對(duì)角線上各數(shù)的和(即幻和),其次是確定正中間方格的數(shù),然后再確定其它方格中的數(shù)。2,7,8,數(shù)填入九個(gè)方格中,使每行、每列、每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相等。解幻和的條對(duì)角線出現(xiàn)在四條線上,數(shù)之和等再確定其余四個(gè)294753618數(shù)填到九個(gè)方格中,各數(shù)之和都相等。92724假設(shè)符合要求的數(shù)都已經(jīng)填好,那么三行、三列、兩條對(duì)角線共8行上的三個(gè)數(shù)之和都等于18,我們看184683能寫成哪三個(gè)數(shù)之和:510最大數(shù)是10:18=10+6+2=10+5+3最大數(shù)是9:18=9+7+2=9+6+3=9+5+4最大數(shù)是8:18=8+7+3=8+6+4最大數(shù)是7:18=7+6+5剛好寫成8個(gè)算式。首先確定正中間方格的數(shù)。第二橫行、第二豎行、兩個(gè)斜行都用到正中間方格的數(shù),共用了四次。觀察上述8個(gè)算式,只有6被用了4次,所以正中間方格中應(yīng)填6。然后確定四個(gè)角的數(shù)。四個(gè)角的數(shù)都用了三次,而上述8個(gè)算式中只有9、7、5、3被用了三次,所以9、7、5、3應(yīng)填在四個(gè)角上。但還應(yīng)兼顧兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都為18。最后確定其它方格中的數(shù)。如圖。27抽屜原則問(wèn)題【含義】把3只蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜中,會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果呢?要么把2只蘋果放進(jìn)一個(gè)抽屜,剩下的一個(gè)放進(jìn)另一個(gè)抽屜;要么把3只蘋果都放進(jìn)同一個(gè)抽屜中。這兩種情況可用一句話表示:一定有一個(gè)抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這是就數(shù)學(xué)中的抽屜原則問(wèn)題?!緮?shù)量關(guān)系】基本的抽屜原則是:如果把n+1個(gè)物體(也叫元素)放到n個(gè)抽屜中,那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體(元素)。抽屜原則可以推廣為:如果有m個(gè)抽屜,有k×m+r(0<r≤m)個(gè)元素那么至少有一個(gè)抽屜中要放(k+1)個(gè)或更多的元素。通俗地說(shuō),如果元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的k倍多一些,那么至少有一個(gè)抽屜要放(k+1)個(gè)或更多的元素?!窘忸}思路和方法】(1)改造抽屜,指出元素;(2)把元素放入(或取出)抽屜;(3)說(shuō)明理由,得出結(jié)論。例1育才小學(xué)由于2000年是潤(rùn)年,全年共有366天,可以看作366個(gè)“抽屜”,把367個(gè)1999年出生的學(xué)生看作367個(gè)“元素366個(gè)“抽屜”中,至少有一個(gè)“抽屜”中放有2個(gè)或更多的“元素”。這說(shuō)明至少有2個(gè)學(xué)生的生日是同一天的。例2據(jù)說(shuō)人的頭發(fā)不超過(guò)20萬(wàn)跟,如果陜西省有3645萬(wàn)人,根據(jù)這些數(shù)據(jù),你知道陜西省至少有多少人頭發(fā)根數(shù)一樣多嗎?人的頭發(fā)不超過(guò)20萬(wàn)根,可看作20萬(wàn)個(gè)“抽屜”,3645萬(wàn)人可看作3645萬(wàn)個(gè)“元素”,把3645萬(wàn)個(gè)“元素”放到20萬(wàn)個(gè)“抽屜”中,有367個(gè)2000年出生的學(xué)生,那么其中至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天的?解”。367個(gè)“元素”放進(jìn)解得到3645÷20=182……5根據(jù)抽屜原則的推廣規(guī)律,可知k+1=183答:陜西省至少有183人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。例3一個(gè)袋子里有一些球,這些球僅只有顏色不同。其中紅球10個(gè),白球9個(gè),黃球8個(gè),藍(lán)球2個(gè)。某人閉著眼睛從中取出若干個(gè),試問(wèn)他至少要取多少個(gè)球,才能保證至少有4個(gè)球顏色相同?解把四種顏色的球的總數(shù)(3+3+3+2)=11看作11個(gè)“抽屜”,那么,至少要?。?1+1)個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。答;他至少要取12個(gè)球才能保證至少有4個(gè)球的顏色相同。2528公約公倍問(wèn)題【含義】需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來(lái)解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問(wèn)題?!緮?shù)量關(guān)系】絕大多數(shù)要用最大

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