2025年人教版七年級數(shù)學寒假預習 第06講 立方根

第06講立方根模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(1)理解立方根的定義并且會求一個數(shù)的立方根;(2)會表示一個數(shù)的立方根和理解立方根的性質(zhì);(3)會用估值法比較兩個數(shù)的大小和掌握被開方數(shù)和立方根近似值的小數(shù)點的移動規(guī)律,并能利用規(guī)律解題.1.立方根定義：如果一個數(shù)x的立方等于a，即，那么這個數(shù)x叫做a的立方根或三次方根.數(shù)a的立方根記作“QUOTE3??3a”，讀作“三次根號a”.【補充】1）立方根等于本身的有0和±1.2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù).性質(zhì)：正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)只有一個負的立方根．立方根的小數(shù)點移動規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點每向左或右移動三位，那么立方根的小數(shù)點相應的向左或右移動一位.例如：已知＝0.1738，＝1.738，則a的值為0.00528.1.一個正數(shù)a的算術(shù)平方根用符號表示為QUOTE??a，一個非負數(shù)a的平方根用符號表示為±QUOTE??a；一個數(shù)a的立方根用符號表示為QUOTE3??3a，即正數(shù)的平方根有兩個且互為相反數(shù).算術(shù)平方根有一個，立方根有一個.2.0的算術(shù)平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1.3.【?？?易錯】有時候題目會故意沒有把去根號，這時候就要注意千萬不要把QUOTE??a的平方根當作a的平方根，要先把QUOTE??a去根號，再求平方根．2.開立方定義：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方.【注意】1）求帶分數(shù)的立方根時，要先將帶分數(shù)化成假分數(shù)，再求它的立方根.2)開立方與立方互為逆運算，可以利用開立方求一個數(shù)的立方根，也可以利用立方來檢驗一個數(shù)是不是某個數(shù)的立方根.3）開立方時，先把根號下的數(shù)化簡，看是不是一個數(shù)的立方，再求值；另外，開立方時，要先根據(jù)被開方數(shù)的符號確定其立方根的符號.考點一：立方根的概念理解1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）若n為自然數(shù)，對QUOTE?????n?a下面判斷正確的是（

）A．QUOTE?????n?a一定無意義 B．QUOTE?????n?a一定有意義C．若n為奇數(shù)，則QUOTE?????n?a必有意義 D．QUOTE?????=???n?a=?a一定成立2．（24-25七年級上·重慶萬州·階段練習）若一個數(shù)的立方根與它的算術(shù)平方根相同，則這個數(shù)是（

）A．1 B．1或0 C．0 D．QUOTE鹵1鹵1或03．（20-21七年級下·全國·課后作業(yè)）在實數(shù)范圍內(nèi)，下列判斷正確的是（

）A．若QUOTE??=??a=b，則QUOTE??=??a=b B．若QUOTE??2>??2a2>b2，則QUOTE??>??a>bC．若QUOTE??2=??a2=b，則QUOTE??=??a=b D．若QUOTE3??=3??3a=3b，則QUOTE??=??4．（21-22九年級下·黑龍江哈爾濱·期中）QUOTE31???=?231?a=?2，則QUOTE??a的值是（

）A．8 B．2 C．9 D．QUOTE?8?85．（23-24七年級下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）一個數(shù)的平方根和立方根都等于它本身，這個數(shù)是考點二：求一個數(shù)的立方根6．（24-25七年級上·山東威海·階段練習）已知QUOTE55是QUOTE??x的算術(shù)平方根，則QUOTE??2?17x2?17的立方根是．7．（24-25七年級上·山東泰安·階段練習）QUOTE31643164的立方根是QUOTE?136?136的算術(shù)平方根QUOTE?92?9QUOTE8．（24-25八年級上·山東青島·階段練習）QUOTE?827?827的立方根是；QUOTE44的算術(shù)平方根是；QUOTE2?52?5的絕對值是．9．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習）若QUOTE???4+??+5=0a?4+b+5=0，則QUOTE3??+??=310．（2024七年級上·全國·專題練習）QUOTE1916=1916QUOTE；QUOTE3125=3125=QUOTE3?3438=3?343考點三：已知一個數(shù)的立方根求這個數(shù)11．（24-25八年級上·山西臨汾·階段練習）若一個數(shù)的立方根是4，那么這個數(shù)的平方根是（

）A．4 B．QUOTE鹵4鹵4 C．8 D．QUOTE鹵8鹵812．（24-25八年級上·江西景德鎮(zhèn)·階段練習）若QUOTE30.00375=0.155430.00375=0.1554，QUOTE3??=15.543a=15.54，則QUOTE??=a=．13．（23-24七年級下·河南信陽·期末）若QUOTE3??=?23a=?2，則QUOTE??=a=．14．（23-24七年級下·吉林松原·期中）已知QUOTE4???374x?37的立方根為3．(1)求QUOTE??x的平方根；(2)填空：QUOTE2??+42x+4的算術(shù)平方根是________．15．（23-24七年級下·廣西河池·期中）已知QUOTE???2x?2的立方根是QUOTE?2?2，則QUOTE??+31x+31的算術(shù)平方根是（

）.A．QUOTE88 B．QUOTE66 C．QUOTE77 D．QUOTE55考點四：利用立方根解方程16．（24-25八年級上·寧夏銀川·階段練習）求下列各式中QUOTE??x的值：(1)QUOTE(??+1)2?9=0(x+1)2?9=0(2)QUOTE4(??+1)3=324(x+1)17．（23-24七年級下·云南曲靖·階段練習）求下列各式中的x值：(1)QUOTE3??2?12=03(2)QUOTE???13=?64x?1318．（23-24七年級下·全國·單元測試）已知QUOTE，求QUOTE???2?????34??+??x?2xy?3考點五：平方根與立方根綜合19．（24-25八年級上·江西吉安·階段練習）已知QUOTE2??+12x+1是49的算術(shù)平方根，QUOTE??+4???10x+4y?10的立方根是QUOTE?3?3．(1)求QUOTE??,??x,y的值；(2)求QUOTE2?????2x?y的立方根．20．（23-24八年級上·陜西漢中·期末）一個正數(shù)QUOTE??x的平方根是QUOTE2???32a?3與QUOTE5???5?a，QUOTE??y的立方根是QUOTE?3?3，求QUOTE??+??+3x+y+3的算術(shù)平方根．21．（23-24七年級下·湖北黃石·期中）已知QUOTE2???12a?1的平方根是QUOTE鹵3鹵3，QUOTE???9b?9的立方根是2，QUOTE2???6=02c?6=0．(1)求a、b、c的值；(2)求QUOTE??+??+??a+b+c的算術(shù)平方根．22．（23-24七年級下·湖北咸寧·階段練習）已知QUOTE??=???22??+??A=a?22a+b表示9的算術(shù)平方根，QUOTE4?????4b?c的立方根是2，d是QUOTE1414的小數(shù)部分．(1)求a、b、c、d的值；(2)求QUOTE3??+??+??3a+b+c的平方根．QUOTE23．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）已知正數(shù)a的兩個平方根分別是QUOTE2???32x?3和QUOTE1???1?x，且QUOTE31+2??31+2b與QUOTE33???533b?5相等，求QUOTE??+2??a+2b的算術(shù)平方根．考點六：立方根的實際應用24．（24-25八年級上·陜西咸陽·期中）如圖是一塊體積為216立方厘米的正方體鐵塊．(1)求該正方體鐵塊的棱長；(2)現(xiàn)在工廠要將這塊鐵塊融化，重新鍛造成兩個棱長為2厘米的小正方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為8厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長．25．（2024七年級上·浙江·專題練習）老師布置每名同學做一個正方體盒子，做好后，小明對小強說：“我做的盒子表面積是QUOTE96cm296cm2，你的呢？”小強低頭想了一下說：“先不告訴你，我做的盒子比你的盒子體積大QUOTE665cm3665cm26．（23-24七年級下·廣東珠?！て谀┤鐖D1所示的正方形鐵板是由兩張大小相同的長方形鐵板拼接而成的，已知一個長方形鐵板的面積為72平方厘米．(1)求正方形鐵板的邊長；(2)若將該正方形鐵板進行裁剪，然后拼成一個體積為64立方厘米的無蓋正方體容器，求剩余的鐵板面積；(3)若工人把這個正方形鐵板加工成如圖2的零件，QUOTE，QUOTE，測得QUOTE????=5.4cmFG=5.4cm，請直接寫出這個零件的周長．考點七：與立方根有關(guān)的規(guī)律探究問題27．（23-24七年級下·廣西柳州·期中）閱讀理解，觀察下列式子：①Q(mào)UOTE38+3?8=2+?2②QUOTE31+3?1=1+?1③QUOTE31000+3?1000=10+?10QUOTE3127+3?1…根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問題：(1)根據(jù)以上式子的規(guī)律，寫出一個類似的等式：______．(2)由等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個這樣的真命題：對于任意兩個有理數(shù)QUOTE??a，QUOTE??b，若______，則QUOTE3??+3??=03a+3b=0(3)根據(jù)上述的真命題，解答問題：若QUOTE33?2??33?2x與QUOTE3??+53x+5的值互為相反數(shù)，求QUOTE??x的值．28．（23-24八年級·全國·假期作業(yè)）觀察下列規(guī)律回答問題：QUOTE3?0.001=?0.13?0.001=?0.1，QUOTE3?1=?13?1=?1，QUOTE3?1000=?103?1000=?10，QUOTE30.001=0.130.001=0.1，QUOTE31=131=1，QUOTE(1)則QUOTE30.000001=30.000001=；QUOTE3106=3106=；按上述規(guī)律，已知數(shù)QUOTE??a小數(shù)點的移動與它的立方根QUOTE3??3a的小數(shù)點移動間有何規(guī)律？(2)已知QUOTE3??=1.5873x=1.587，若QUOTE3??=?0.15873y=?0.1587，用含QUOTE??x的代數(shù)式表示QUOTE??y，則QUOTE??=y=；(3)根據(jù)規(guī)律寫出QUOTE3??3a與a的大小情況．29．（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）觀察下表，并解決問題．a(chǎn)0.00010.01110010000a0.010.1110100(1)①隨著被開方數(shù)的小數(shù)點的移動，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點是怎樣移動的？請歸納總結(jié)這一規(guī)律；②已知QUOTE則QUOTE．(2)①猜想被開方數(shù)的小數(shù)點移動和它的立方根的小數(shù)點移動有怎樣的關(guān)系？寫出你的猜想；②已知QUOTE請用含m的式子表示n．考點八：與立方根有關(guān)的材料閱讀問題30．（23-24七年級下·河南信陽·期中）我國數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口說出答案，眾人十分驚奇，忙問計算的奧妙，你知道他是怎樣迅速準確地計算出結(jié)果的嗎？下面是小明的探究過程，請補充完整：(1)求QUOTE359319359319．①由QUOTE103=1000103=1000，QUOTE1003=10000001003=1000000，可以確定QUOTE359319359319是②由59319的個位上的數(shù)是9，可以確定QUOTE359319359319的個位上的數(shù)是；③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而QUOTE33=27,43=6433=27,43=64，可以確定QUOTE359319359319的十位上的數(shù)是，由此求得QUOTE359319(2)請你根據(jù)（1）中小明的方法，完成如下填空：①Q(mào)UOTE3?117649=3?117649=，②QUOTE30.531441=30.531441=31．（23-24七年級下·湖北十堰·期中）王老師在《給數(shù)學學習插上想象的翅膀》的數(shù)學興趣課上引導同學們展開了豐富的想象（如圖）：然后引導同學們解決以下兩個問題：(1)求QUOTE1616的平方根；解：由QUOTE16=416=4知，求QUOTE1616的平方根也就是求4的平方根；QUOTE1616的平方根是________；（填空）(2)一個正數(shù)的平方根分別是QUOTE??+5a+5和QUOTE2??+12a+1，QUOTE???60b?60的立方根是QUOTE?4?4，求QUOTE?????a?b的值．32．（23-24七年級下·江西南昌·期中）請認真閱讀下面的材料，再解答問題．依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定義，可給出四次方根、五次方根的定義．比如：若QUOTE??2=??????x2=aa??，則QUOTE??x叫QUOTE??a的二次方根；若QUOTE??3=??x3=a，則QUOTE??x叫QUOTE??a的三次方根；若QUOTE??4=??????x4=aa??，則QUOTE??x叫QUOTE??a的四次方根．(1)依照上面的材料，請你給出五次方根的定義：______；(2)625的四次方根為______；QUOTE?243?243的五次方根為______；(3)求下列QUOTE??x的值：①Q(mào)UOTE14???34?4=01②QUOTE32??5+243=032x33．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·期中）閱讀與探究本學期我們在《實數(shù)》中，學習了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容．平方根立方根定義一般地，如果一個數(shù)的平方等于QUOTE??a，那么這個數(shù)叫做QUOTE??a的平方根或二次方根．這就是說，如果QUOTE??2=??x2=a，那么x叫做QUOTE??a的平方根．一般地，如果一個數(shù)的立方等于QUOTE??a，那么這個數(shù)叫做QUOTE??a的立方根或三次方根這就是說，如果QUOTE??3=??x3=a，那么QUOTE??x叫做QUOTE??a的立方根．運算求一個數(shù)QUOTE??a的平方根的運算，叫做開平方．開平方與平方互為逆運算．求一個數(shù)QUOTE??a的立方根的運算，叫做開立方．開立方與立方互為逆運算．性質(zhì)正數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；QUOTE00的平方根是QUOTE00；負數(shù)沒有平方根．正數(shù)的立方根是正數(shù)；QUOTE00的立方根是QUOTE00；負數(shù)的立方根是負數(shù)．表示方法正數(shù)QUOTE??a的平方根可以用“QUOTE”表示，讀作“正負根號QUOTE??a”一個數(shù)QUOTE??a的立方根可以用“QUOTE3??3a”表示，讀作“三次根號QUOTE??a”．今天我們類比平方根和立方根的學習方法學習四次方根．(1)探究定義：類比平方根和立方根的定義，給四次方根下定義：．(2)探究性質(zhì)：①Q(mào)UOTE8181的四次方根是；QUOTE00的四次方根是；QUOTE?4?4（填“有”或“沒有”）四次方根．②類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：．34．（21-22七年級下·湖北武漢·期中）閱讀下列材料：已知59319的立方根是正整數(shù)，要得到QUOTE359319359319的結(jié)果，可以按如下步驟思考：第一步：確定QUOTE359319359319的位數(shù)，因為QUOTE103=1000103=1000，QUOTE1003=10000001003=1000000，而QUOTE1000<59319<10000001000<59319<1000000，所以QUOTE10<359319<10010<359319<100，由此得QUOTE359319359319是兩位數(shù)；第二步：確定個位數(shù)字，因為59319的個位上的數(shù)是9，而只有9的立方的個位上的數(shù)是9，所以QUOTE359319359319的個位上的數(shù)是9；第三步：確定十位數(shù)字，劃去59319后面的三位319得到59，因為QUOTE33=2733=27，QUOTE43=6443=64，而QUOTE27<59<6427<59<64，所以QUOTE359319359319的十位上的數(shù)字是3；綜合以上可得，QUOTE359319=39359319=39請你根據(jù)上述內(nèi)容，完成以下問題：(1)若QUOTE3??3x為正整數(shù)，它的個位上的數(shù)是m，x的個位上的數(shù)是n．請將下表填寫完整：m123456789n187539(2)已知262144，474552都是整數(shù)的立方，則QUOTE3262144=3262144=______，QUOTE3474.552=3474.552(3)已知71289是某正整數(shù)a的平方，則QUOTE??=a=______．考點九：與平方根/立方根有關(guān)的新定義問題35．（24-25七年級上·全國·期末）喜歡探索數(shù)學知識的小明遇到一個新的定義：對于三個互不相等的正整數(shù)，若其中任意兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“老根數(shù)”，其結(jié)果中最小的整數(shù)稱為“最小算術(shù)平方根”，最大的整數(shù)稱為“最大算術(shù)平方根”．例如：QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99這三個數(shù)，QUOTE，QUOTE，QUOTE，其結(jié)果分別為QUOTE22，QUOTE33，QUOTE66，都是整數(shù)，所以QUOTE11，QUOTE44，QUOTE99這三個數(shù)稱為“老根數(shù)”，其中“最小算術(shù)平方根”是QUOTE22，“最大算術(shù)平方根”是QUOTE66．(1)試說明：QUOTE22，QUOTE88，QUOTE5050這三個數(shù)是“老根數(shù)”，并求出它們的最小算術(shù)平方根與最大算術(shù)平方根；(2)已知QUOTE1616，QUOTE??a，QUOTE3636，這三個數(shù)是“老根數(shù)”，且它們的最大算術(shù)平方根是最小算術(shù)平方根的QUOTE22倍，求QUOTE??a的值．36．（22-23七年級下·安徽合肥·期中）定義：對于三個互不相等的負整數(shù)，若兩兩乘積的算術(shù)平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“組合平方數(shù)”．例如：QUOTE?1?1，QUOTE?4?4，QUOTE?9?9這三個數(shù)，QUOTE?1??4=2?1??4=2，QUOTE?1??9=3?1??9=3，QUOTE?4??9=6?4??9=6，其結(jié)果2，3，6都是整數(shù)，所以QUOTE?1?1，QUOTE?4?4，QUOTE?9?9這三個數(shù)稱為“組合平方數(shù)”．(1)QUOTE?4?4，QUOTE?16?16，QUOTE?25?25這三個數(shù)是“組合平方數(shù)”嗎？請說明理由；(2)若三個數(shù)QUOTE?3?3，m，QUOTE?12?12是“組合平方數(shù)”，其中有兩個數(shù)乘積的算術(shù)平方根為12，求m的值；(3)寫出一組含有QUOTE?2?2的“組合平方數(shù)”．37．（23-24七年級下·廣西南寧·階段練習）【閱讀與應用】【問題提出】對于任意實數(shù)QUOTE??,??a,b，定義一種新運算QUOTE，例如：QUOTE．【初步感知】（1）求QUOTE的值；【拓展運用】（2）若實數(shù)QUOTE??a滿足QUOTE，求QUOTE??a的值．38．（23-24七年級下·云南玉溪·期中）閱讀下面材料：材料一：對任意的實數(shù)QUOTE??a，QUOTE??b，定義QUOTE????,??Ha,b的含義為：①當QUOTE時，QUOTE????,??=??+??Ha,b=a+b；②當QUOTE??>??a>b時，QUOTE????,??=?????Ha,b=a?b．例如：QUOTE??2,5=2+5=7H2,5=2+5=7，QUOTE??10,4=10?4=6H10,4=10?4=6；材料二：200多年前，數(shù)學王子高斯的老師布特納在課堂上布置了這樣一道題：“求QUOTE的和．”當其他同學忙于把100個數(shù)逐項相加時，八歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案：QUOTE．我們通過高斯的計算思路得到這樣一個結(jié)論：我們把QUOTE??=1+2+3+鈰?99+100S=1+2+3+鈰?99+100中的第一個加數(shù)1稱為首項，最后一個加數(shù)100稱為末項，這100個加數(shù)稱為項數(shù)，QUOTE??S稱為這些加數(shù)的和．對于滿足這種規(guī)律加數(shù)的求和，得出一般性地結(jié)論：QUOTE．解決問題：(1)QUOTE??3,7=H3,7=______，QUOTE??98,58=H98,58(2)直接利用上述求和結(jié)論求QUOTE的值；(3)對于正數(shù)QUOTE??x，滿足關(guān)系式QUOTE????2+2,2=1Hx2+2,2=1時，求QUOTE??x的值；(4)在（3）的條件下，求QUOTE的值．考點十：利用計算器算平方根/立方根39．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）用計算器求下列各式的值：(1)QUOTE34.91334.913(2)QUOTE3?9.2613?9.261(3)QUOTE328.36328.36（精確到QUOTE0.010.01）．40．（20-21七年級下·全國·課后作業(yè)）用計算器計算下列各式的值（精確到0.01）：（1）QUOTE867867；（2）QUOTE0.462540.46254；（3）QUOTE?825?825；（4）QUOTE．QUOTE?825=?0.32??0.57QUOTE1．（23-24八年級上·江蘇淮安·期中）下列各式中，正確的是（

）A．QUOTE B．QUOTE?16=4?16=4 C．QUOTE3?27=?33?27=?3 D．QUOTE?42=?4?42=?42．（24-25七年級上·山東威?！るA段練習）下列說法正確的有（

）①正數(shù)的兩個平方根的和等于0；②實數(shù)都有一個立方根；③平方根與立方根相等的數(shù)有0和1；④QUOTE99的算術(shù)平方根是3；⑤如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的立方根也一定是互為相反數(shù)．A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤QUOTE9=3QUOTE33．（24-25七年級上·山東淄博·階段練習）已知QUOTE，QUOTE35鈮?.710035鈮?.7100，那么下列各式正確的是（

）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE4．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）9的平方根是x，QUOTE?27?27的立方根是y，則QUOTE??+??x+y的值為（

）A．0 B．6 C．0或6 D．0或QUOTE?6?65．（24-25七年級上·浙江金華·期中）如圖為洪濤同學的小測卷，他的得分應是（

）姓名：洪濤

得分：______填空題（每小題25分，共100分）①2的相反數(shù)是QUOTE?2?2；②倒數(shù)等于本身的數(shù)是1；③8的立方根是2；④16的平方根是4．A．25分 B．50分 C．75分 D．100分6．（24-25七年級上·山東淄博·期中）下列說法正確的是（

）A．4的算術(shù)平方根是QUOTE鹵2鹵2 B．3的平方根是QUOTE鹵3鹵3C．27的立方根是QUOTE鹵3鹵3 D．QUOTE1616的平方根是QUOTE鹵2鹵27．（24-25七年級上·山東濱州·階段練習）若QUOTE??2=36a2=36，QUOTE3???=33?b=3，則QUOTE??+??a+b的值是（

）A．QUOTE?33?33 B．QUOTE?33?33或QUOTE?21?21 C．33或21 D．QUOTE?21?21或338．（23-24七年級下·河北保定·期末）化簡QUOTE3?1??32+43A．4 B．6 C．QUOTE?2?2 D．0QUOTE3?1??32+4=?1?3+2=?29．（24-25八年級上·河南鄭州·階段練習）利用教材中的計算器計算QUOTE3333時，進行如下按鍵，顯示QUOTE1.442249571.44224957，則若按鍵：，顯示（

）A．QUOTE88 B．QUOTE鹵8鹵8 C．QUOTE44 D．QUOTE鹵4鹵4QUOTE364=410.下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（

）A．QUOTE?2?2與QUOTE(?2)2(?2)2 B．QUOTE?2?2與QUOTE3?83?8C．2與QUOTE(?2)2(?2)2 D．QUOTE|?2||?2|與QUOTE211．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）若m，n為實數(shù)，且QUOTE??+1+(???9)2=0m+1+(n?9)2=0，則QUOTE3??+??312．（24-25七年級上·浙江杭州·期中）邊長為a的正方形面積為256，棱長為b的正方體體積為QUOTE1256412564，則QUOTE????ab的值為．13．（23-24七年級下·廣東東莞·期中）81的平方根是；QUOTE1616的算術(shù)平方根是；QUOTE?27?27的立方根是14．（24-25七年級上·重慶萬州·階段練習）已知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：QUOTE??2?3??3?????????15．（24-25七年級上·全國·單元測試）若QUOTE?3?3是m的一個平方根，則QUOTE??+13m+13的算術(shù)平方根是；若QUOTE則x與y的關(guān)系是．16．（24-25七年級上·山東泰安·階段練習）求下列式子中的QUOTE??x值(1)QUOTE9??+12=259(2)QUOTE?2+??3=?216?2+x3(3)QUOTE13??2?3=0(4)QUOTE27??+13+64=027x+1QUOTE?7317．（24-25七年級上·浙江紹興·期中）已知a的立方等于QUOTE?64?64，b的算術(shù)平方根為5．求：(1)a，b的值；(2)QUOTE??+??b+a的平方根．18．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）已知QUOTE??+14m+14的平方根是QUOTE?13?13，QUOTE?2??+???6?2m+n?6的立方根是2，求QUOTE7??+3??7n+3m的算術(shù)平方根．19．（24-25八年級上·江西九江·階段練習）已知一個正方體的體積為QUOTE125cm3125cm3(1)求正方體的棱長．(2)若將正方體的體積變?yōu)樵瓉淼?倍，則它的棱長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦叮?0．（23-24七年級下·全國·期中）如圖，實數(shù)QUOTE??a，QUOTE??b，QUOTE??c是數(shù)軸上三點QUOTE??A，QUOTE??B，QUOTE??C所對應的數(shù)．(1)QUOTE?????a?bQUOTE00，QUOTE??+??a+b_______QUOTE00，QUOTE?????b?c________QUOTE0(0(用“QUOTE<<”，“QUOTE>>”或“QUOTE==”號填空QUOTE))；(2)化簡：QUOTE??2+|?????|?3(??+??)3?|?????|a2+|a?b|?3(a+b模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測(1)理解立方根的定義并且會求一個數(shù)的立方根;(2)會表示一個數(shù)的立方根和理解立方根的性質(zhì);(3)會用估值法比較兩個數(shù)的大小和掌握被開方數(shù)和立方根近似值的小數(shù)點的移動規(guī)律,并能利用規(guī)律解題.1.立方根定義：如果一個數(shù)x的立方等于a，即，那么這個數(shù)x叫做a的立方根或三次方根.數(shù)a的立方根記作“QUOTE3a3a”，讀作“三次根號a”.【補充】1）立方根等于本身的有0和±1.2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們的立方根也互為相反數(shù).性質(zhì)：正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)只有一個負的立方根．立方根的小數(shù)點移動規(guī)律：被開方數(shù)的小數(shù)點每向左或右移動三位，那么立方根的小數(shù)點相應的向左或右移動一位.例如：已知＝0.1738，＝1.738，則a的值為0.00528.1.一個正數(shù)a的算術(shù)平方根用符號表示為QUOTEaa，一個非負數(shù)a的平方根用符號表示為±QUOTEaa；一個數(shù)a的立方根用符號表示為QUOTE3a3a，即正數(shù)的平方根有兩個且互為相反數(shù).算術(shù)平方根有一個，立方根有一個.2.0的算術(shù)平方根、平方根和立方根都是0；平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1.3.【?？?易錯】有時候題目會故意沒有把去根號，這時候就要注意千萬不要把QUOTEaa的平方根當作a的平方根，要先把QUOTEaa去根號，再求平方根．2.開立方定義：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方.【注意】1）求帶分數(shù)的立方根時，要先將帶分數(shù)化成假分數(shù)，再求它的立方根.2)開立方與立方互為逆運算，可以利用開立方求一個數(shù)的立方根，也可以利用立方來檢驗一個數(shù)是不是某個數(shù)的立方根.3）開立方時，先把根號下的數(shù)化簡，看是不是一個數(shù)的立方，再求值；另外，開立方時，要先根據(jù)被開方數(shù)的符號確定其立方根的符號.考點一：立方根的概念理解1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·期末）若n為自然數(shù)，對QUOTEn?an?a下面判斷正確的是（

）A．QUOTEn?an?a一定無意義 B．QUOTEn?an?a一定有意義C．若n為奇數(shù)，則QUOTEn?an?a必有意義 D．QUOTEn?a=?an?a=?a一定成立【答案】C【分析】本題主要考查了立方根，平方根定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定義．根據(jù)立方根、平方根定義進行判斷即可．【詳解】解：當QUOTEnn為偶數(shù)，QUOTE?a鈮??a鈮?時，QUOTEn?an?a有意義，當QUOTEnn為偶數(shù)時，QUOTEn?an?a必有意義，QUOTEn?a=?an?a=?a不一定成立，故C正確，ABD錯誤．故選：C．2．（24-25七年級上·重慶萬州·階段練習）若一個數(shù)的立方根與它的算術(shù)平方根相同，則這個數(shù)是（

）A．1 B．1或0 C．0 D．QUOTE鹵1鹵1或0【答案】B【分析】此題主要考查了立方根和算術(shù)平方根的概念，根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：若一個數(shù)的立方根與它的算術(shù)平方根相同，則這個數(shù)是1或0．故選：B．3．（20-21七年級下·全國·課后作業(yè)）在實數(shù)范圍內(nèi)，下列判斷正確的是（

）A．若QUOTEa=ba=b，則QUOTEa=ba=b B．若QUOTEa2>b2a2>b2，則QUOTEa>ba>bC．若QUOTEa2=ba2=b，則QUOTEa=ba=b D．若QUOTE3a=3b3a=3b，則QUOTEa=b【答案】D【分析】本題考查了絕對值、平方根和立方根的性質(zhì)，根據(jù)絕對值、平方根和立方根的性質(zhì)逐項判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、若QUOTEa=ba=b，則QUOTE，故該選項不符合題意；B、若QUOTEa2>b2a2>b2，則QUOTEa>ba>b或QUOTEa<ba<b，故該選項不符合題意；C、若QUOTEa2=ba2=b，則QUOTEbb可以為任意數(shù)，QUOTEaa為非負數(shù)，故該選項不符合題意；D、若QUOTE3a=3b3a=3b，則QUOTEa=b故選：D．4．（21-22九年級下·黑龍江哈爾濱·期中）QUOTE31?a=?231?a=?2，則QUOTEaa的值是（

）A．8 B．2 C．9 D．QUOTE?8?8【答案】C【分析】本題考查了立方根，先根據(jù)立方根的定義得出關(guān)于a的方程，然后解方程即可．【詳解】解∶∵QUOTE31?a=?231?a=?2，QUOTE3?8=?23?8∴QUOTE1?a=?81?a=?8，∴QUOTEa=9a=9，故選∶C．5．（23-24七年級下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）一個數(shù)的平方根和立方根都等于它本身，這個數(shù)是【答案】QUOTE00【分析】此題主要考查了平方根和立方根的定義和性質(zhì)，任意一個數(shù)都有立方根，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，QUOTE00的立方根是QUOTE00．根據(jù)平方根和立方根的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵QUOTE00的平方根是它本身QUOTE00，QUOTE00的立方根是它本身QUOTE00，∴一個數(shù)的平方根和立方根都等于它本身，這個數(shù)是QUOTE00．故答案為：QUOTE00．考點二：求一個數(shù)的立方根6．（24-25七年級上·山東威海·階段練習）已知QUOTE55是QUOTExx的算術(shù)平方根，則QUOTEx2?17x2?17的立方根是．【答案】2【分析】本題主要考查算術(shù)平方根及立方根，熟練掌握算術(shù)平方根及立方根是解題的關(guān)鍵；由題意易得QUOTEx=5x=5，則有QUOTEx2?17=25?17=8x2?17=25?17=8，然后問題可求解．【詳解】解：由QUOTE55是QUOTExx的算術(shù)平方根，可知：QUOTEx=5x=5，∴QUOTEx2?17=25?17=8x2?17=25?17=8∵8的立方根是2，∴QUOTEx2?17x2?17故答案為2．7．（24-25七年級上·山東泰安·階段練習）QUOTE31643164的立方根是QUOTE?136?136的算術(shù)平方根QUOTE?92?9【答案】QUOTE322322QUOTE1616QUOTE【分析】本題考查立方根、算術(shù)平方根及平方根，解題的關(guān)鍵是理解和掌握立方根、算術(shù)平方根及平方根的定義．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵QUOTE3164=14∴QUOTE31643164的立方根是：QUOTE314=32∵QUOTE?136=136∴QUOTE?136?136的算術(shù)平方根是：QUOTE136=16∵QUOTE?92=?32=9∴QUOTE?92?92的平方根是：QUOTE．故答案為：QUOTE322322；QUOTE1616；QUOTE．8．（24-25八年級上·山東青島·階段練習）QUOTE?827?827的立方根是；QUOTE44的算術(shù)平方根是；QUOTE2?52?5的絕對值是．【答案】QUOTE?23?23QUOTE22QUOTE5?25?2/QUOTE?2+5?2+5【分析】此題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)．直接利用立方根以及算術(shù)平方根、絕對值的性質(zhì)分別分析得出答案．【詳解】解：∵QUOTE?233=?827∴QUOTE?827?827的立方根是QUOTE?23?2∵QUOTE4=24=2，∴QUOTE4=24=2，2的算術(shù)平方根是QUOTE22；∵QUOTE2?5=5?22?∴QUOTE2?52?5的絕對值是QUOTE5?25?2．故答案為：QUOTE?23?23；2；QUOTE5?25?2．9．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習）若QUOTEa?4+b+5=0a?4+b+5=0，則QUOTE3a+b=3【答案】QUOTE?1?1【分析】本題考查了算術(shù)平方根的非負性、立方根，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負性可求出QUOTEa,ba,b的值，再代入計算立方根即可得．【詳解】解：∵QUOTEa?4+b+5=0a?4+b+5=0，QUOTE，∴QUOTEa?4=0,b+5=0a?4=0,b+5=0，∴QUOTEa=4,b=?5a=4,b=?5，∴QUOTE3a+b=34+?5=故答案為：QUOTE?1?1．10．（2024七年級上·全國·專題練習）QUOTE1916=1916QUOTE；QUOTE3125=3125=QUOTE3?3438=3?343【答案】QUOTE5454QUOTE?117?117/QUOTE5QUOTE?72?72【分析】本題考查平方根、立方根，根據(jù)平方根及立方根的定義解答即可．【詳解】解：QUOTE1916=2516=QUOTE；QUOTE3125=353=53故答案為：QUOTE5454，QUOTE，5，QUOTE?72?72．考點三：已知一個數(shù)的立方根求這個數(shù)11．（24-25八年級上·山西臨汾·階段練習）若一個數(shù)的立方根是4，那么這個數(shù)的平方根是（

）A．4 B．QUOTE鹵4鹵4 C．8 D．QUOTE鹵8鹵8【答案】D【分析】本題考查了平方根和立方根的計算，能夠通過立方根求出原數(shù)是解題關(guān)鍵．先通過立方根求出原數(shù)為QUOTE43=6443=64【詳解】解：∵這個數(shù)的立方根是QUOTE44∴這個數(shù)為QUOTE43=6443∴QUOTE6464的平方根為QUOTE故選：D．12．（24-25八年級上·江西景德鎮(zhèn)·階段練習）若QUOTE30.00375=0.155430.00375=0.1554，QUOTE3a=15.543a=15.54，則QUOTEa=a=．【答案】3750【分析】本題考查被開方數(shù)和立方根之間的小數(shù)點位數(shù)的移動關(guān)系．根據(jù)被開方數(shù)和立方根之間的小數(shù)點位數(shù)的移動關(guān)系，進行計算即可．【詳解】解：∵QUOTE30.00375=30.00375=0.1554，QUOTE3a=3a∴QUOTEa=3750a=3750．故答案為：3750．13．（23-24七年級下·河南信陽·期末）若QUOTE3a=?23a=?2，則QUOTEa=a=．【答案】QUOTE?8?8【分析】本題主要考查了立方根的定義，根據(jù)立方根定義進行求解即可．【詳解】解：∵QUOTE3a=?23a=?2∴QUOTEa=?23=?8a=?2故答案為：QUOTE?8?8．14．（23-24七年級下·吉林松原·期中）已知QUOTE4x?374x?37的立方根為3．(1)求QUOTExx的平方根；(2)填空：QUOTE2x+42x+4的算術(shù)平方根是________．【答案】(1)QUOTExx的平方根為QUOTE；(2)6【分析】本題考查的是立方根，平方根，算術(shù)平方根．（1）先根據(jù)QUOTE4x?374x?37的立方根是3求出x的值，利用平方根的定義求解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求出QUOTE2x+42x+4的值，根據(jù)算術(shù)平方根的定義解答即可．【詳解】（1）解：由題意知QUOTE34x?37=334x?37=3所以QUOTE4x?37=33=274x?37=33=27，解得QUOTEx=16x=16，因為QUOTE，所以QUOTExx的平方根為QUOTE；（2）解：所以QUOTE，因為QUOTE，所以36的平方根是QUOTE，所以QUOTE2x+42x+4的算術(shù)平方根是6．故答案為：6．15．（23-24七年級下·廣西河池·期中）已知QUOTEx?2x?2的立方根是QUOTE?2?2，則QUOTEx+31x+31的算術(shù)平方根是（

）.A．QUOTE88 B．QUOTE66 C．QUOTE77 D．QUOTE55【答案】D【分析】本題考查了立方根、算術(shù)平方根，根據(jù)立方根的定義可得QUOTEx?2=?8x?2=?8，得到QUOTEx=?6x=?6，進而得到QUOTEx+31=25x+31=25，再根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求解，掌握立方根和算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵QUOTEx?2x?2的立方根是QUOTE?2?2，∴QUOTEx?2=?8x?2=?8，∴QUOTEx=?6x=?6，∴QUOTEx+31=?6+31=25x+31=?6+31=25，∴QUOTEx+31x+31的算術(shù)平方根是QUOTE55，故選：QUOTEDD．考點四：利用立方根解方程16．（24-25八年級上·寧夏銀川·階段練習）求下列各式中QUOTExx的值：(1)QUOTE(x+1)2?9=0(x+1)2?9=0(2)QUOTE4(x+1)3=324(x+1)【答案】(1)QUOTEx=2x=2或QUOTEx=?4x=?4(2)QUOTEx=1x=1【分析】本題考查了平方根和立方根的概念，正確理解平方根和立方根的概念是解題的關(guān)鍵．（QUOTE11）把方程化為QUOTEx+12=9x+12=9，再根據(jù)平方根的概念解方程即可；（QUOTE22）把方程化為QUOTEx+13=8x+13=8，再根據(jù)立方根的概念解方程即可；【詳解】（1）解：QUOTE(x+1)2?9=0(x+1)2?9=0∴QUOTEx+12=9x+12=9∴QUOTEx+1=鹵3x+1=鹵3，∴QUOTEx+1=3x+1=3或QUOTEx+1=?3x+1=?3，解得：QUOTEx=2x=2或QUOTEx=?4x=?4；（2）解：QUOTE4(x+1)3=324∴QUOTEx+13=8x+13=8∴QUOTEx+1=2x+1=2，解得：QUOTEx=1x=1．17．（23-24七年級下·云南曲靖·階段練習）求下列各式中的x值：(1)QUOTE3x2?12=03(2)QUOTEx?13=?64x?13【答案】(1)QUOTE(2)QUOTEx=?3x=?3【分析】本題考查了利用立方根、平方根解方程，熟練掌握立方根和平方根的定義是解此題的關(guān)鍵．（1）整理后，再利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【詳解】（1）解：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭磝=鹵2鈭磝=鹵2；（2）解：QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭磝=?3鈭磝=?3．18．（23-24七年級下·全國·單元測試）已知QUOTE，求QUOTEx?2xy?34y+xx?2xy?3【答案】QUOTE?3?3【分析】此題考查了平方根的定義，立方根的定義，立方根的化簡及混合計算．根據(jù)平方根及立方根的定義求出QUOTEx=25x=25或QUOTE?1?1，QUOTEy=0.5y=0.5，再代入計算即可．【詳解】解：∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTEx=25x=25或QUOTE?1?1，QUOTEy=0.5y=0.5，當QUOTEx=25x=25時，QUOTEQUOTE=5?5?3=?3=5?5?3=?3；當QUOTEx=?1x=?1時，原式?jīng)]有意義，舍去．考點五：平方根與立方根綜合19．（24-25八年級上·江西吉安·階段練習）已知QUOTE2x+12x+1是49的算術(shù)平方根，QUOTEx+4y?10x+4y?10的立方根是QUOTE?3?3．(1)求QUOTEx,yx,y的值；(2)求QUOTE2x?y2x?y的立方根．【答案】(1)QUOTEx=3x=3，QUOTEy=?5y=?5(2)QUOTE311311【分析】本題主要考查了根據(jù)算術(shù)平方根和立方根求原數(shù)，求一個數(shù)的立方根：（1）對于兩個實數(shù)a、b若滿足QUOTEa2=ba2=b，那么a就叫做b的平方根，若a為非負數(shù)，那么a就叫做b的算術(shù)平方根，若滿足QUOTEa3=ba3=b，那么a就叫做b的立方根，可得QUOTE2x+1=49=72x+1=49=7，QUOTE3+4y?10=?33（2）根據(jù)（1）所求求出QUOTE2x?y2x?y的值，再根據(jù)立方根的定義求解即可．【詳解】（1）解；∵QUOTE2x+12x+1是49的算術(shù)平方根，∴QUOTE2x+1=49=72x+1=49=7∴QUOTEx=3x=3，∵QUOTEx+4y?10x+4y?10的立方根是QUOTE?3?3，∴QUOTE3+4y?10=?333+4y?10=?33∴QUOTEy=?5y=?5；（2）解：由（1）得QUOTEx=3x=3，QUOTEy=?5y=?5，∴QUOTE，∴QUOTE2x?y2x?y的立方根是QUOTE311311．20．（23-24八年級上·陜西漢中·期末）一個正數(shù)QUOTExx的平方根是QUOTE2a?32a?3與QUOTE5?a5?a，QUOTEyy的立方根是QUOTE?3?3，求QUOTEx+y+3x+y+3的算術(shù)平方根．【答案】QUOTE55【分析】本題考查了平方根，立方根，算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握平方根，立方根，算術(shù)平方根的定義．根據(jù)平方根的定義求出QUOTEaa，進而求出QUOTExx，再根據(jù)立方根的定義求出QUOTEyy，然后求出QUOTEx+y+3x+y+3的值，最后根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求解．【詳解】解：QUOTE一個正數(shù)QUOTExx的平方根是QUOTE2a?32a?3與QUOTE5?a5?a，QUOTEQUOTE2a?3+5?a=02a?3+5?a=0，解得QUOTEa=?2a=?2，QUOTEQUOTE2a?3=?72a?3=?7，QUOTE5?a=75?a=7，QUOTEQUOTEx=49x=49，∵QUOTEyy的立方根是QUOTE?3?3，，QUOTEQUOTEy=?27y=?27，QUOTEQUOTEx+y+3=49?27+3=25x+y+3=49?27+3=25，QUOTEQUOTEx+y+3x+y+3的算術(shù)平方根QUOTE25=525=5．21．（23-24七年級下·湖北黃石·期中）已知QUOTE2a?12a?1的平方根是QUOTE鹵3鹵3，QUOTEb?9b?9的立方根是2，QUOTE2c?6=02c?6=0．(1)求a、b、c的值；(2)求QUOTEa+b+ca+b+c的算術(shù)平方根．【答案】(1)QUOTEa=5a=5，QUOTEb=17b=17，QUOTEc=3c=3(2)QUOTE55【分析】本題考查了平方根、立方根，算術(shù)平方根及其非負性，代數(shù)式求值，正確求出a、b、c的值是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方根、立方根，以及算術(shù)平方根的非負性求解即可；（2）根據(jù)（1）所得結(jié)果，求出QUOTEa+b+c=25a+b+c=25，進而得出算術(shù)平方根即可．【詳解】（1）解：QUOTE鈭?a?1鈭?a?1的平方根是QUOTE，QUOTEb?9b?9的立方根是2，QUOTE2c?6=02c?6=0，QUOTE，QUOTEb?9=8b?9=8，QUOTE2c?6=02c?6=0，QUOTE鈭碼=5鈭碼=5，QUOTEb=17b=17，QUOTEc=3c=3；（2）解：由（1）可知，QUOTEa=5a=5，QUOTEb=17b=17，QUOTEc=3c=3，QUOTE，QUOTE鈭碼+b+c鈭碼+b+c的算術(shù)平方根是5．22．（23-24七年級下·湖北咸寧·階段練習）已知QUOTEA=a?22a+bA=a?22a+b表示9的算術(shù)平方根，QUOTE4b?c4b?c的立方根是2，d是QUOTE1414的小數(shù)部分．(1)求a、b、c、d的值；(2)求QUOTE3a+b+c3a+b+c的平方根．【答案】(1)QUOTEa=4,b=1a=4,b=1，QUOTEc=?4c=?4，QUOTEd=3d=3；(2)QUOTE．【分析】本題考查平方根，立方根，無理數(shù)的估算．熟練掌握平方根，立方根的定義，以及無理數(shù)的估算方法，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方根，立方根的定義，求出QUOTEa,ba,b的值，無理數(shù)的估算求出c的值；（2）將QUOTEa,b,ca,b,c的值代入代數(shù)式，進行計算即可．【詳解】（1）解：∵QUOTEA=a?22a+bA=a?22a+b∴QUOTEa?2=2,2a+b=9a?2=2,2a+b=9，∴QUOTEa=4,b=1a=4,b=1，∵QUOTE4b?c4b?c的立方根是2，∴QUOTE4b?c=84b?c=8，∴QUOTEc=?4c=?4，∵QUOTE9<14<169<14<16，∴QUOTE3<14<43<14∴QUOTE1414的整數(shù)部分為3，∴QUOTEd=3d=3；（2）解：由（1）∴QUOTE，∴QUOTE3a+b+c3a+b+c的平方根是QUOTE．23．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）已知正數(shù)a的兩個平方根分別是QUOTE2x?32x?3和QUOTE1?x1?x，且QUOTE31+2b31+2b與QUOTE33b?533b?5相等，求QUOTEa+2ba+2b的算術(shù)平方根．【答案】QUOTE1313【分析】本題主要考查了平方根和立方根，算術(shù)平方根，相反數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根的定義和性質(zhì)．根據(jù)平方根的性質(zhì)可得x的值，代入QUOTE1?x1?x可得a的值；根據(jù)立方根的性質(zhì)和相反數(shù)的性質(zhì)即可求得b，然后代入QUOTEa+2ba+2b求解即可．【詳解】解：因為正數(shù)a的兩個平方根分別是QUOTE2x?32x?3和QUOTE1?x1?x，所以QUOTE2x?3+1?x=02x?3+1?x=0所以QUOTEx=2x=2所以QUOTEa=1?x2=1?22因為QUOTE31+2b31+2b與QUOTE33b?533b?5相等所以QUOTE1+2b=3b?51+2b=3b?5所以QUOTEb=6b=6所以QUOTE．所以QUOTEa+2ba+2b的算術(shù)平方根是QUOTE1313．考點六：立方根的實際應用24．（24-25八年級上·陜西咸陽·期中）如圖是一塊體積為216立方厘米的正方體鐵塊．(1)求該正方體鐵塊的棱長；(2)現(xiàn)在工廠要將這塊鐵塊融化，重新鍛造成兩個棱長為2厘米的小正方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為8厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長．【答案】(1)正方體鐵塊的棱長為QUOTE66厘米(2)長方體鐵塊的底面正方形的邊長為5厘米【分析】本題考查立方根和算式平方根的實際應用：（1）根據(jù)正方體的體積公式進行求解即可；（2）根據(jù)總體積不變，求出長方體的體積，再根據(jù)長方體的體積公式求出底面正方形的邊長即可．【詳解】（1）解：由題意，該正方體鐵塊的棱長為QUOTE3216=63216=6答：正方體鐵塊的棱長為QUOTE66厘米；（2）由題意，長方體的體積為：QUOTE立方厘米，∴長方體的底面面積為：QUOTE平分厘米，∴長方體鐵塊的底面正方形的邊長為QUOTE25=525=5厘米．答：長方體鐵塊的底面正方形的邊長為5厘米．25．（2024七年級上·浙江·專題練習）老師布置每名同學做一個正方體盒子，做好后，小明對小強說：“我做的盒子表面積是QUOTE96cm296cm2，你的呢？”小強低頭想了一下說：“先不告訴你，我做的盒子比你的盒子體積大QUOTE665cm3665cm【答案】它的表面積是QUOTE486cm2486cm【分析】本題考查了算術(shù)平方根，立方根，用到的知識點是算術(shù)平方根的求法，關(guān)鍵是根據(jù)正方體的面積和體積公式解答．根據(jù)正方體的表面積，列出算式可求正方體的棱長，進一步得到小強的盒子體積，根據(jù)正方體的體積公式得到棱長，再根據(jù)長方體的表面積公式即求解．【詳解】解：QUOTE96?6=16cm296?6=16cm2QUOTE16=4cm16=4cmQUOTE44，QUOTE4?4?4=64cm34?4?4=64cm3QUOTE64+665=729cm364+665=729cm3QUOTE3729=9cm3729QUOTE9?9?6=486cm29?9?6=486cm2答：它的表面積是QUOTE486cm2486cm226．（23-24七年級下·廣東珠海·期末）如圖1所示的正方形鐵板是由兩張大小相同的長方形鐵板拼接而成的，已知一個長方形鐵板的面積為72平方厘米．(1)求正方形鐵板的邊長；(2)若將該正方形鐵板進行裁剪，然后拼成一個體積為64立方厘米的無蓋正方體容器，求剩余的鐵板面積；(3)若工人把這個正方形鐵板加工成如圖2的零件，QUOTE，QUOTE，測得QUOTEFG=5.4cmFG=5.4cm，請直接寫出這個零件的周長．【答案】(1)12厘米(2)64平方厘米(3)58.8厘米【分析】（1）根據(jù)正方形的面積公式進行解答；（2）由正方體的體積公式求得正方體的棱長，然后由正方形的面積公式進行解答；（3）利用平行線的性質(zhì)及平移的性質(zhì)，找到QUOTEHG+FE+DC=AB,AH+FG+ED=BC+2FGHG+FE+DC=AB,AH+FG+ED=BC+2FG即可求解．【詳解】（1）解：依題意得：QUOTE厘米，答：正方形紙板的邊長為12厘米；（2）解：依題意得：QUOTE364=4364=4則剪切紙板的面積QUOTE平方厘米，剩余紙板的面積QUOTE=2脳72?80=64=2脳72?80=64平方厘米，即剩余的正方形紙板的面積為64平方厘米．（3）解：由圖及條件可知：QUOTEHG+FE+DC=AB,AH+FG+ED=BC+2FGHG+FE+DC=AB,AH+FG+ED=BC+2FG，故零件的周長為：QUOTE考點七：與立方根有關(guān)的規(guī)律探究問題1．（23-24七年級下·廣西柳州·期中）閱讀理解，觀察下列式子：①Q(mào)UOTE38+3?8=2+?2②QUOTE31+3?1=1+?1③QUOTE31000+3?1000=10+?10QUOTE3127+3?1…根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問題：(1)根據(jù)以上式子的規(guī)律，寫出一個類似的等式：______．(2)由等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個這樣的真命題：對于任意兩個有理數(shù)QUOTEaa，QUOTEbb，若______，則QUOTE3a+3b=03a+3b=0(3)根據(jù)上述的真命題，解答問題：若QUOTE33?2x33?2x與QUOTE3x+53x+5的值互為相反數(shù)，求QUOTExx的值．【答案】(1)QUOTE364+3?64=4+?4(2)QUOTEa+b=0a+b=0(3)QUOTE88【分析】本題考查了立方根的應用，解一元一次方程，觀察并總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）觀察規(guī)律，寫出一個類似的等式即可；（2）用含QUOTEaa、QUOTEbb的式子表達規(guī)律即可得答案；（3）根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程求出QUOTExx的值即可．【詳解】（1）解：觀察規(guī)律可寫出類似的等式，如QUOTE364+3?64=4+?4故答案為：QUOTE364+3?64=4+?4（2）解：由規(guī)律可得：對于任意兩個有理數(shù)QUOTEaa、QUOTEbb，若QUOTEa+b=0a+b=0，則QUOTE3a+3b=03a+3b=0，故答案為：QUOTEa+b=0a+b=0．（3）解：若QUOTE33?2x33?2x與QUOTE3x+53x+5的值互為相反數(shù)，則QUOTE3?2x+x+5=03?2x+x+5=0解得：QUOTEx=8x=8．2．（23-24八年級·全國·假期作業(yè)）觀察下列規(guī)律回答問題：QUOTE3?0.001=?0.13?0.001=?0.1，QUOTE3?1=?13?1=?1，QUOTE3?1000=?103?1000=?10，QUOTE30.001=0.130.001=0.1，QUOTE31=131=1，QUOTE(1)則QUOTE30.000001=30.000001=；QUOTE3106=3106=；按上述規(guī)律，已知數(shù)QUOTEaa小數(shù)點的移動與它的立方根QUOTE3a3a的小數(shù)點移動間有何規(guī)律？(2)已知QUOTE3x=1.5873x=1.587，若QUOTE3y=?0.15873y=?0.1587，用含QUOTExx的代數(shù)式表示QUOTEyy，則QUOTEy=y=；(3)根據(jù)規(guī)律寫出QUOTE3a3a與a的大小情況．【答案】(1)QUOTE(2)﹣QUOTEx1000x1000(3)當QUOTEa<?1a<?1或QUOTE0<a<10<a<1時，QUOTE3a>a3a>a；當QUOTEa=?1a=?1或QUOTEa=1a=1時，QUOTE3a=a3a=a；當QUOTE?1<a<0?1<a<0或QUOTEa>1a>1時，QUOTE3a<a3a<a．【分析】（1）根據(jù)立方根的概念進行求解、歸納；（2）運用（1）題規(guī)律進行求解；（3）根據(jù)題目中求立方根的結(jié)果進行規(guī)律歸納．【詳解】（1）解：QUOTE30.000001=0.0130.000001=0.01；QUOTE3106=1003按上述規(guī)律，被開方數(shù)小數(shù)點向右（或左）移三位，則所得數(shù)的小數(shù)點向右（或左）移一位，故答案為：QUOTE；（2）解：由（1）中規(guī)律可得，已知QUOTE3x=1.5873x=1.587，若QUOTE3y=?0.15873y則QUOTEyy的絕對值是QUOTExx的QUOTE1100011000且符號相反；用含QUOTExx的代數(shù)式表示QUOTEyy，則QUOTEy=?x1000y=?x1000，故答案為：QUOTE?x1000?x1000（3）解：QUOTEQUOTE3?0.001=?0.13?0.001=?0.1，QUOTE3?1=?13?1=?1，QUOTE3?1000=?103?1000=?10，QUOTE30.001=0.130.001=0.1，QUOTE31=131=1，QUOTEQUOTEQUOTE3a3a與QUOTEaa的大小情況為：當QUOTEa<?1a<?1或QUOTE0<a<10<a<1時，QUOTE3a>a3a>a；當QUOTEa=?1a=?1或QUOTEa=1a=1時，QUOTE3a=a3a=a；當QUOTE?1<a<0?1<a<0或QUOTEa>1a>1時，QUOTE3a<a3a<a．【點睛】此題考查了立方根的求解與規(guī)律歸納能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用該知識進行正確地計算、歸納．3．（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）觀察下表，并解決問題．a(chǎn)0.00010.01110010000a0.010.1110100(1)①隨著被開方數(shù)的小數(shù)點的移動，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點是怎樣移動的？請歸納總結(jié)這一規(guī)律；②已知QUOTE則QUOTE．(2)①猜想被開方數(shù)的小數(shù)點移動和它的立方根的小數(shù)點移動有怎樣的關(guān)系？寫出你的猜想；②已知QUOTE請用含m的式子表示n．【答案】(1)①被開方數(shù)a的小數(shù)點每向右移兩位，它的算術(shù)平方根QUOTEaa的小數(shù)點相應向右移一位；②0.447；(2)①被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移3位，它的立方根的小數(shù)點相應向右移一位；②QUOTEn=106mn=【分析】本題考查算術(shù)平方根、立方根的變化規(guī)律，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．（1）①從被開方數(shù)的小數(shù)點，以及相應的算術(shù)平方根的小數(shù)點的移動來找規(guī)律；②根據(jù)（1）的規(guī)律即可得出答案；（2）①仿照算術(shù)平方根的規(guī)律探討被開方數(shù)與其立方根小數(shù)點移動規(guī)律；②根據(jù)①所求規(guī)律解決此題即可．【詳解】（1）解：①觀察表格可知，被開方數(shù)a的小數(shù)點每向右移兩位，它的算術(shù)平方根QUOTEaa的小數(shù)點相應向右移一位；②∵QUOTE，∴QUOTE，故答案為：QUOTE0.4470.447；（2）解：①∵QUOTE，∴規(guī)律是：被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移3位，它的立方根的小數(shù)點相應向右移一位；②∵QUOTE，∴QUOTEn=1000000m=106mn=1000000m=10考點八：與立方根有關(guān)的材料閱讀問題30．（23-24七年級下·河南信陽·期中）我國數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口說出答案，眾人十分驚奇，忙問計算的奧妙，你知道他是怎樣迅速準確地計算出結(jié)果的嗎？下面是小明的探究過程，請補充完整：(1)求QUOTE359319359319．①由QUOTE103=1000103=1000，QUOTE1003=10000001003=1000000，可以確定QUOTE359319359319是②由59319的個位上的數(shù)是9，可以確定QUOTE359319359319的個位上的數(shù)是；③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而QUOTE33=27,43=6433=27,43=64，可以確定QUOTE359319359319的十位