電磁場數(shù)學(xué)方法-數(shù)學(xué)物理方程

電磁場數(shù)學(xué)方法任課教師：陳其科聯(lián)系方式：E_mail：qkchen@

電話：61830311總學(xué)時(shí):

80課時(shí)教材：梁昆淼，《數(shù)學(xué)物理方程》（第四版）成績構(gòu)成：平時(shí)20%+半期考試20%+期末考試60%第二篇數(shù)學(xué)物理方程要想探索自然界的奧秘，就得解微分方程---牛頓課程內(nèi)容三種方程四種求解方法二個(gè)特殊函數(shù)行波法√分離變量法積分變換法格林函數(shù)法波動(dòng)方程√熱傳導(dǎo)拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)勒讓德函數(shù)第四章分離變量法第二篇數(shù)學(xué)物理方程4.2非齊次振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程4.3非齊次邊界條件的處理§4.1齊次方程的分離變數(shù)法一維弦振動(dòng)方程（一維波動(dòng)方程）一維傳導(dǎo)方程二維拉普拉斯方程亥姆霍茲方程基本思路：首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合得到通解，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動(dòng)問題、熱傳導(dǎo)問題、穩(wěn)定場問題等特點(diǎn)：

a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學(xué)上由解的唯一性作保證；

b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化。第四章分離變量法知識(shí)復(fù)習(xí)一、常見齊次微分方程的解：

歐拉型方程

知識(shí)復(fù)習(xí)二、三角函數(shù)的正交性

知識(shí)復(fù)習(xí)三、函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開

5.1.95.1.11§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）無界/半無界波動(dòng)方程可由達(dá)朗貝爾公式求解。齊次泛定方程邊界條件初始條件

有界弦自由振動(dòng)定界問題為：接下來討論利用分離變量法求解：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）常微分方程令代入泛定方程：令第一步：分離變量：無關(guān)§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）由原問題定解條件得到常微分方程定解條件：第二步：解常微分方程1、求X(x)特征(固有)值問題：含有待定常數(shù)常微分方程在一定條件下的求解問題特征(固有)值：使方程有非零解的常數(shù)值特征(固有)函數(shù)：和特征值相對(duì)應(yīng)的非零解c）令，為非零實(shí)數(shù)§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）分情況討論：a）b）舍去舍去§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）本征值)考慮到與n取值有關(guān)，故令§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）2、求T(t)>03、得到分離變量形式的通解——本征振動(dòng)本征振動(dòng)的角頻率為：n=1，稱為基波；n>1，稱為n階諧波。由疊加原理：本征振動(dòng)的線性疊加仍滿足泛定方程和邊界條件。§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）第三步：由定解條件確定待定系數(shù)將所有基波與諧波線性疊加，得到方程通解：=?§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）由傅里葉展開：分離變量法流程圖1）分離變量2）根據(jù)邊界條件求特征值和特征函數(shù)3）求另一個(gè)函數(shù)4）求通解5）確定常數(shù)分離變量法求解步驟：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）例：設(shè)有一根長為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移。解：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法§4.1齊次方程的分離變數(shù)法零解，無意義！無意義！§4.1齊次方程的分離變數(shù)法§4.1齊次方程的分離變數(shù)法§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）例：一端自由的均勻桿振動(dòng)問題：泛定方程:邊界條件:初始條件：弦一端自由一端固定解：由分離變量法代入泛定方程，整理得§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）（續(xù)上例）由邊界條件1）<0時(shí)，無意義！§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）2）=0時(shí)，（續(xù)上例）無意義！3）時(shí)，§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）（續(xù)上例）§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）（續(xù)上例）由初始條件：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）例：兩端自由振動(dòng)的自由桿定解問題：泛定方程:邊界條件:初始條件：弦兩端自由解：由分離變量法代入泛定方程，整理得如：磁致伸縮換能器，魚群探測換能器等器件的核心是兩端自由的均勻桿，它作縱振動(dòng)，研究兩端自由桿的自由振動(dòng)?！?.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）（續(xù)上例）由邊界條件1）<0時(shí)，僅得無意義的解§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）2）=0時(shí)，由（續(xù)上例）§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）3）>0時(shí)，（續(xù)上例）§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）（續(xù)上例）線性疊加，得到通解§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（一）有界弦的自由振動(dòng)的定解問題（一維波動(dòng)方程）（續(xù)上例）由傅里葉展開時(shí)時(shí)同理：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）細(xì)桿熱傳導(dǎo)問題，初始一端溫度為0，另一端為u0,零的一端溫度保持不變，另一端與外界絕熱。求細(xì)桿溫度分布。泛定方程邊界條件初始條件接下來討論利用分離變量法求解：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）常微分方程令代入泛定方程：令第一步：分離變量：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法由原問題定解條件得到常微分方程定解條件：第二步：解常微分方程1、求X(x)分情況討論：a）無意義?。ǘ┯邢揲L桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）c）令，為非零實(shí)數(shù)§4.1齊次方程的分離變數(shù)法b）（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）無意義！§4.1齊次方程的分離變數(shù)法本征值2、求T(t)3、得到分離變量形式的通解通解：（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）§4.1齊次方程的分離變數(shù)法第三步：由定解條件確定待定系數(shù)（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）分離變量流程圖§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）令代入方程：解：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）例：求定解問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）(續(xù)上例)先求X(x)：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）(續(xù)上例)§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）(續(xù)上例)再求T(t)：寫出通解：確定系數(shù)：(令)§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（二）有限長桿上的熱傳導(dǎo)定解問題（一維傳導(dǎo)方程）(續(xù)上例)由三角函數(shù)正交性：令代入方程：令例：求下定解問題解：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法先求解X：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法求解T：寫出通解：§4.1齊次方程的分離變數(shù)法§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）1、直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題解：代入方程：令由邊界條件：（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）1、直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法先求X:（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）1、直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法再求Y:（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）1、直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法寫出通解：（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）1、直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法由邊界條件定解：（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）1、直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法解方程組，得（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）1、直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法例：求解問題解：令,則原問題變?yōu)椋毫睿ㄈ┓€(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）1、直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法代入方程：解X得：解Y得：寫出通解：由邊界條件定解：（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）1、直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）1、直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法將直角坐標(biāo)系下拉普拉斯變換到柱坐標(biāo)系下為：（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法例1、均勻電場空間中，存在接地導(dǎo)體圓柱體，求圓柱體外電位分布u。在極坐標(biāo)系下：（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題令由三角函數(shù)周期性，知為周期為的周期函數(shù)，即第二步：解方程第一步：分離變量§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題不滿足周期性要求，排除當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，a.先求§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題b.再求（歐拉方程）

c.寫出通解§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題c.寫出通解第三步：定解§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法歐拉方程例求下列定解問題解：隱含條件（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法令：（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法通解為：思考：解又為如何？（三）穩(wěn)定場問題（二維拉普拉斯方程）2、圓域內(nèi)的拉普拉斯問題§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（四）補(bǔ)充：亥姆霍茲方程（高維混合問題）§4.1齊次方程的分離變數(shù)法高維混合問題求解基本步驟：1、時(shí)空變量的分離：2、空間變量的分離：3、求解固有值問題：4、求解關(guān)于T(t)的常微分方程5、構(gòu)造疊加解并求出定解。例1求定解問題：（四）補(bǔ)充：亥姆霍茲方程（高維混合問題）§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（四）補(bǔ)充：亥姆霍茲方程（高維混合問題）§4.1齊次方程的分離變數(shù)法解：1、時(shí)空變量的分離：代入方程整理后得：得關(guān)于時(shí)空的微分方程：亥姆霍茲方程（四）補(bǔ)充：亥姆霍茲方程（高維混合問題）§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（續(xù)上例）2、對(duì)方程(2)做空間變量分離代入方程(2)整理后得：3.求解固有值問題（四）補(bǔ)充：亥姆霍茲方程（高維混合問題）§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（續(xù)上例）分別求解兩個(gè)本征值問題，得（四）補(bǔ)充：亥姆霍茲方程（高維混合問題）§4.1齊次方程的分離變數(shù)法（續(xù)上例）4、求T(t)