2022年全國(guó)高三數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（預(yù)賽）加試B卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2022年全國(guó)高三數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（預(yù)賽）加試B卷一、解答題（本大題共4小題，共180.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）1.(本小題40.0分)如圖，設(shè)A，B，C，D四點(diǎn)在圓ω上順次排列，其中AC經(jīng)過(guò)ω的圓心O.線段BD上一點(diǎn)P滿足∠APC=∠BPC，線段AP上兩點(diǎn)X，Y滿足A，O，X，B四點(diǎn)共圓，

2.(本小題40.0分)

給定正實(shí)數(shù)a，b，a<b.設(shè)x1，x2，?，x3.(本小題50.0分)

設(shè)正整數(shù)a，b都恰有m(m≥3)個(gè)正約數(shù)，其中a1，a2a3，?，am是a的所有正約數(shù)的一個(gè)排列問(wèn)a1，a1+4.(本小題50.0分)

圓周上依次有100個(gè)點(diǎn)P1，P2，?，P100(其中P100與P1相鄰).現(xiàn)有5種顏色，要求P1，P2，?，P100中每個(gè)點(diǎn)染5種顏色之一，每種顏色至少染一個(gè)點(diǎn).若對(duì)任意這樣的染色方式，P1，P2，?答案和解析1.【答案】解：證明：根據(jù)條件，可知∠O∠O所以△OXY設(shè)OM⊥AP于點(diǎn)M，CK⊥AP于點(diǎn)K(由O為AC的中點(diǎn)，得CK=2O考慮到OM，CL是相似三角形△OXY，△XY即有BD

【解析】略2.【答案】解：首先證明：當(dāng)x，y∈|x?不妨設(shè)a≤x≤|x故?①于是|≤=2故|x當(dāng)x1=x因此，所求的最大值為2(

【解析】略3.【答案】解：答案是否定的．用反證法.假設(shè)題述情形發(fā)生，記A={顯然ai+ai+1≥3(所以a1+a2為奇數(shù)，得a2易知A中最大的兩個(gè)元素為a，a2．

顯然B中每個(gè)元素都不超過(guò)a+設(shè)ai=a，aj=a2，其中i，j≥2(因?yàn)閍有m(m≥3)個(gè)正約數(shù)，而a1=1)因此題述情形不可能發(fā)生．

【解析】略4.【答案】解：解法1:首先，讓P25，P50，P75，P100分別染顏色1，2，3，4，其余點(diǎn)染顏色5.此時(shí)P1，P2，?，P100以下假設(shè)有一種染色方式，使得任意26個(gè)連續(xù)的點(diǎn)含有至多兩種顏色.對(duì)該染色方式，在P1，P2，?，P100中選取盡可能多的連續(xù)的點(diǎn)，使這些點(diǎn)中不含全部5種顏色，從而恰好含有4種顏色(否則可再添入這些連續(xù)的點(diǎn)的一個(gè)相鄰點(diǎn)，仍不含全部5種顏色).不妨設(shè)選出的點(diǎn)是Pk+1，Pk+2，?，P100對(duì)i=1，2，3，4，5，用xi表示染有顏色i由對(duì)稱性，可不妨設(shè)x2<x3<對(duì)每個(gè)i=2，3，4，5，我們證明事實(shí)上，假如xi?xi?1≤24，考慮26個(gè)連續(xù)的點(diǎn)Pxi?1，Pxi?1+1?，Pxi?1+25′(下標(biāo)模100理解，下同)，其中Px1?1染有顏色i從而有x5=x以上表明，對(duì)任意符合要求的染色方式，P1，P2，?，P100中總存在26綜上，所求t的最小值為26．解法2:首先，讓P25，P50，P75，P100分別染顏色1，2，3，4，其余點(diǎn)染顏色5.此時(shí)P1，P2?，P以下證明t=考慮任何一種染色方式，對(duì)i=1，2，3，4，5，用ni表示P1，P2，?，P100中染顏色i的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中n1+n2+?+n5=100．

事實(shí)上，假如xi?xi?1≤24，考慮26個(gè)連續(xù)的點(diǎn)Pxi?1，Pxi?1+1?，Pxi?從而有x5=x以上表明，對(duì)任意符合要求的染色方式，P1，P2，?，P100中總存在26綜上，所求t的最小值為26．解法2:首先，讓P25，P50，P75，P100分別染顏色1，2，3，4，其余點(diǎn)染顏色5.此時(shí)P1，P2?，P以下證明t=考慮任何一種染色方式，對(duì)i=1，2，3，4，5，用ni表示P1，P2，?，P100中染顏色i的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中n1+n2+若任意26個(gè)連續(xù)的點(diǎn)都含有顏色1，則s1若存在26個(gè)連續(xù)的點(diǎn)不含顏色1，不妨設(shè)染為顏色1的所有n1個(gè)點(diǎn)分別為P1，Pi，?，Pin1(27≤i1<i2<?<i1≤100這表明s1同理，對(duì)于i=2，3，4，5，含有