24.2 第2課時 垂徑分弦

24.2圓的基本性質第2課時垂徑分弦1．理解并掌握垂徑定理及其推論，并能應用其解決一些簡單的計算和證明問題(重點，難點)；2．認識垂徑定理及其推論在實際問題中的應用，會用添加輔助線的方法解決實際問題(難點)．一、情境導入你知道趙州橋嗎？它又名“安濟橋”，位于河北省趙縣，是我國現(xiàn)存的著名的古代石拱橋，距今已有1400多年了，是隋代大業(yè)年間(公元605～618年)由著名匠師李春建造的，是我國古代人民勤勞和智慧的結晶．它的主橋拱是圓弧形，全長50.82米，橋寬約10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是當今世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩石拱橋．你知道主橋拱的圓弧所在圓的半徑是多少嗎？二、合作探究探究點一：垂徑定理及應用【類型一】利用垂徑定理求線段長如圖所示，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點P，且P是半徑OB的中點，CD＝6cm，則直徑AB的長是()A．2eq\r(3)cmB．3eq\r(2)cmC．4eq\r(2)cmD．4eq\r(3)cm解析：∵直徑AB⊥DC，CD＝6cm，∴DP＝3cm.連接OD，∵P是OB的中點，設OP為x，則OD為2x，在Rt△DOP中，根據(jù)勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq\r(3).∴OD＝2eq\r(3)cm，∴AB＝4eq\r(3)cm.故選D.方法總結：我們常常連接半徑，利用半徑、弦、垂直于弦的直徑構造出直角三角形，然后應用勾股定理解決問題．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第2題【類型二】垂徑定理的實際應用如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(圖中的eq\o(AB,\s\up8(︵)))，點O是這段弧的圓心，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點，OC⊥AB，垂足為D，AB＝300m，CD＝50m，則這段彎路的半徑是________m.解析：本題考查垂徑定理的應用，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.設半徑為R，在Rt△ADO中，根據(jù)勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案為250.方法總結：將實際問題轉化為數(shù)學問題，再利用我們學過的垂徑定理、勾股定理等知識進行解答．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題【類型三】動點問題如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個動點，求OP的長度范圍．解析：當點P處于弦AB的端點時，OP最長，此時OP為半徑的長；當OP⊥AB時，OP最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時OP的長．解：作直徑MN⊥弦AB，交AB于點D，由垂徑定理，得AD＝DB＝eq\f(1,2)AB＝4cm.又∵⊙O的直徑為10cm，連接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3cm.∵垂線段最短，半徑最長，∴OP的長度范圍是3cm≤OP≤5cm．方法總結：解題的關鍵是明確OP最長、最短時的情況，靈活利用垂徑定理求解．容易出錯的地方是不能確定最值時的情況．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第5題探究點二：垂徑定理的推論的應用【類型一】利用垂徑定理的推論求角如圖所示，⊙O的弦AB、AC的夾角為50°，M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，則∠MON的度數(shù)是()A．100°B．110°C．120°D．130°解析：已知M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，由“平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四邊形內角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故選D.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第4題【類型二】利用垂徑定理的推論求邊如圖，⊙O的直徑CD過弦AB的中點E，且CE＝2，DE＝8，則AB的長為()A．9B．8C．6D．4解析：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3.∵直徑CD過弦AB的中點E，∴CD⊥AB，∴AE＝BE.在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，∴BE＝eq\r(OB2－OE2)＝4，∴AB＝2BE＝8.故選B.方法總結：垂徑定理的推論雖是圓的知識，但也不是孤立的，它常和三角形等知識綜合來解決問題，我們一定要把知識融會貫通，在解決問題時才能得心應手．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題三、板書設計1．垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條?。?．垂徑定理的推論平分弦(