24.2 第2課時(shí) 垂徑分弦

24.2圓的基本性質(zhì)第2課時(shí)垂徑分弦1．理解并掌握垂徑定理及其推論，并能應(yīng)用其解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明問題(重點(diǎn)，難點(diǎn))；2．認(rèn)識(shí)垂徑定理及其推論在實(shí)際問題中的應(yīng)用，會(huì)用添加輔助線的方法解決實(shí)際問題(難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入你知道趙州橋嗎？它又名“安濟(jì)橋”，位于河北省趙縣，是我國(guó)現(xiàn)存的著名的古代石拱橋，距今已有1400多年了，是隋代大業(yè)年間(公元605～618年)由著名匠師李春建造的，是我國(guó)古代人民勤勞和智慧的結(jié)晶．它的主橋拱是圓弧形，全長(zhǎng)50.82米，橋?qū)捈s10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是當(dāng)今世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩石拱橋．你知道主橋拱的圓弧所在圓的半徑是多少嗎？二、合作探究探究點(diǎn)一：垂徑定理及應(yīng)用【類型一】利用垂徑定理求線段長(zhǎng)如圖所示，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P是半徑OB的中點(diǎn)，CD＝6cm，則直徑AB的長(zhǎng)是()A．2eq\r(3)cmB．3eq\r(2)cmC．4eq\r(2)cmD．4eq\r(3)cm解析：∵直徑AB⊥DC，CD＝6cm，∴DP＝3cm.連接OD，∵P是OB的中點(diǎn)，設(shè)OP為x，則OD為2x，在Rt△DOP中，根據(jù)勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq\r(3).∴OD＝2eq\r(3)cm，∴AB＝4eq\r(3)cm.故選D.方法總結(jié)：我們常常連接半徑，利用半徑、弦、垂直于弦的直徑構(gòu)造出直角三角形，然后應(yīng)用勾股定理解決問題．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第2題【類型二】垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(圖中的eq\o(AB,\s\up8(︵)))，點(diǎn)O是這段弧的圓心，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為D，AB＝300m，CD＝50m，則這段彎路的半徑是________m.解析：本題考查垂徑定理的應(yīng)用，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.設(shè)半徑為R，在Rt△ADO中，根據(jù)勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案為250.方法總結(jié)：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用我們學(xué)過的垂徑定理、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行解答．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題【類型三】動(dòng)點(diǎn)問題如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求OP的長(zhǎng)度范圍．解析：當(dāng)點(diǎn)P處于弦AB的端點(diǎn)時(shí)，OP最長(zhǎng)，此時(shí)OP為半徑的長(zhǎng)；當(dāng)OP⊥AB時(shí)，OP最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時(shí)OP的長(zhǎng)．解：作直徑MN⊥弦AB，交AB于點(diǎn)D，由垂徑定理，得AD＝DB＝eq\f(1,2)AB＝4cm.又∵⊙O的直徑為10cm，連接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3cm.∵垂線段最短，半徑最長(zhǎng)，∴OP的長(zhǎng)度范圍是3cm≤OP≤5cm．方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是明確OP最長(zhǎng)、最短時(shí)的情況，靈活利用垂徑定理求解．容易出錯(cuò)的地方是不能確定最值時(shí)的情況．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第5題探究點(diǎn)二：垂徑定理的推論的應(yīng)用【類型一】利用垂徑定理的推論求角如圖所示，⊙O的弦AB、AC的夾角為50°，M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，則∠MON的度數(shù)是()A．100°B．110°C．120°D．130°解析：已知M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，由“平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四邊形內(nèi)角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故選D.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第4題【類型二】利用垂徑定理的推論求邊如圖，⊙O的直徑CD過弦AB的中點(diǎn)E，且CE＝2，DE＝8，則AB的長(zhǎng)為()A．9B．8C．6D．4解析：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3.∵直徑CD過弦AB的中點(diǎn)E，∴CD⊥AB，∴AE＝BE.在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，∴BE＝eq\r(OB2－OE2)＝4，∴AB＝2BE＝8.故選B.方法總結(jié)：垂徑定理的推論雖是圓的知識(shí)，但也不是孤立的，它常和三角形等知識(shí)綜合來解決問題，我們一定要把知識(shí)融會(huì)貫通，在解決問題時(shí)才能得心應(yīng)手．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題三、板書設(shè)計(jì)1．垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條?。?．垂徑定理的推論平分弦(