第五章點的坐標計算

第五章點的坐標計算導讀控制測量就是確定控制點位置的工作。根據(jù)范圍大小建立的控制網(wǎng)分為國家控制網(wǎng)、城市及工程控制網(wǎng)和小地區(qū)控制網(wǎng)三種。在測量的計算工作中，根據(jù)某直線的方位角、水平距離和一個端點的坐標，計算直線另一端點的坐標的工作稱為坐標正算。而根據(jù)直線兩個端點的坐標要求計算直線的方位角和水平距離的工作稱為坐標反算。在建筑工程測量計算中，還常用到建筑坐標系與測量坐標系之間的坐標換算工作。5.1控制測量概述為了限制測量誤差的累積，確保區(qū)域測量成果的精度分布均勻，并加快測量工作進度，測量工作應按照“從整體到局部，先控制后碎部”這樣的程序開展。即在一個大范圍內(nèi)從事測量工作，首先應從整體出發(fā)，在區(qū)域內(nèi)選擇少數(shù)有控制意義的點，組成、精密的測量方法，求這項工作稱為控制測量?？刂泣c的位置確定以后，其周圍各碎部這項工作稱為整體控制網(wǎng)，用高精度的儀器出各控制點的位置，再以各控制點為基準，確定點的位置，碎部測量?？刂凭W(wǎng)分為平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)。測定控制點平面位置的工作，稱為平面控制測量。測定控制點高程的工作，稱為高程控制測量。根據(jù)其范圍大小和功能不同，測量控制網(wǎng)分為國家控制網(wǎng)、城市控制網(wǎng)和小地區(qū)控制網(wǎng)。國家控制網(wǎng)是在全國范圍內(nèi)建立的控制網(wǎng)，它為統(tǒng)一全國范圍內(nèi)的坐標系統(tǒng)和高程系統(tǒng)，并為各種工程測量控制依據(jù)。國家控制網(wǎng)按精度到低分為一、二、三、四共四個等級。它的低級點受高級點控制。一等精度，是國家控制網(wǎng)的骨干，二等次之，它礎(chǔ)。三、下的進一提供由高最高精度是國家控制網(wǎng)的全面基四等是在二等控制網(wǎng)步加密。國家平面控制網(wǎng)如圖5.1所示，主要布相鄰的控制點組成互相連接的三角形。這些組成三角點稱為三角點。通過在三角點上設(shè)置測量標志，精密測量起始邊的方位角，精密丈量三角網(wǎng)中一條或幾條邊的邊長，并測出所有三角形的水平角，經(jīng)過計算，求出各三角形的邊長，最后根據(jù)其中一點的已知坐標和一邊的已知方位角，進而推算出各設(shè)成三角網(wǎng)。即將形的控制三角點的坐標。國家高程控制網(wǎng)如圖5.2所示，主要采用水準測量的方法來建立。各等水準測量經(jīng)過的路線稱為水準路線。國家高程控1制網(wǎng)除布設(shè)成水準網(wǎng)，還包括閉合環(huán)線和附合水準路線。城市控制網(wǎng)是為城市規(guī)劃、建筑設(shè)計及施工放樣等目的而建立的測量控制網(wǎng)。根據(jù)城市的大小，它可以在國家基本控制網(wǎng)的基礎(chǔ)上進行加密。若國家控制網(wǎng)不能滿足其要求，也可以建立單獨的控制網(wǎng)，具體做法見《城市測量規(guī)范》相關(guān)部分內(nèi)容。小地區(qū)控制網(wǎng)主要指面積在15平方公里以內(nèi)的小范圍，為大比例尺測圖和工程建設(shè)而建立的控制網(wǎng)。小地區(qū)控制網(wǎng)應盡可能與國家控制網(wǎng)中的高級控制點進行連測，將國家控制點的坐標和高程作為小地區(qū)控制網(wǎng)的起算和校核數(shù)據(jù)。若與國家控制網(wǎng)進行連測有困難，也可以在測區(qū)內(nèi)建立獨立的控制網(wǎng)。小地區(qū)平面控制網(wǎng)可以采用三角測量的方法建立，也可以采用導線測量的方法建立。所謂導線，就是將相鄰控制點用直線連接而構(gòu)成的折線圖形。構(gòu)成導線的控制點稱為導線點。相鄰導線點的邊長稱為導線邊。相鄰導線邊之間的水平角稱為轉(zhuǎn)折角。導線測量就是通過測定導線邊的邊長和各轉(zhuǎn)折角，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，推算出各導線邊的坐標方位角，從而求出各導線點的坐標。小地區(qū)平面控制網(wǎng)應根據(jù)測區(qū)面積的大小按精度要求分級建立。在測區(qū)范圍內(nèi)建立統(tǒng)一的精度最高的控制網(wǎng)，稱為首級控制網(wǎng)。直接為測圖建立的控制網(wǎng)，稱為圖根控制網(wǎng)。圖根控制網(wǎng)中的控制點稱為圖根控制點，簡稱圖根點。。小地區(qū)高程控制網(wǎng)可以采用水準測量的方法建立，也可以采用三角高程測量的方法建立。水準測量適用于地勢平坦的城市建筑區(qū)，三角高程測量主要使用于地面高差起伏較大的山區(qū)和丘陵地區(qū)。各種等級的高程控制點和和平面控制點都埋設(shè)有固定的標石，它們的點名、坐標、高程可向各有關(guān)城建或測繪部門查得。5.2坐標正算坐標正算，就是根據(jù)直線的邊長、坐標方位角和一個端點的坐標，計算直線另一個端點的坐標的工作。如圖5.3所示，設(shè)直線AB的邊長DAB和一個端點A的坐標X、Y為已知，則直線另一AA個端點B的坐標為：X=X+ΔX（5.1）（5.2）BAABY=Y+ΔYBAAB式中，ΔX、ΔY稱為坐標增量，也就是直線兩ABAB端點A、B的坐標值之差。由圖5.3中，根據(jù)三角函數(shù)，可寫出坐標增量的計算公式為：αABα·ABΔX=Dcos（5.3）（5.4）·ABABΔY=DsinABAB式中ΔX、ΔY的符號取決于方位角α所在的象限。例5.1已知直線B1的邊長為125.36m，坐標方位角為211°07′53″，其中一個端點B的坐標為（1536.86，837.54），求直線另一個端點1的坐標X，Y。112解:先代入公式（5.3）、（5.4），求出直線B1的坐標增量：ΔX=D·Cosα=125.36×cos211°07′53″=－107.31mB1B1B1ΔY=D·sinα=125.36×sin211°07′53″″=－64.81m5.2），求出直線另一端點1的坐標：X=X+ΔX=1536.86－107.31=1429.55mB1B1B1然后代入公式（5.1）、（1BB1Y=Y+ΔY=837.54－64.81=772.73m1BB1坐標增量計算也常使用小型計算器計算，而且非常簡單。如使用f140等類型的計算x器，可使用功能轉(zhuǎn)換鍵INV和極坐標與直角坐標換算鍵P→R以及x←→y鍵。按鍵順序為：DINVP→Rα＝顯示ΔXX←→y顯示ΔY。如上例，按125.36INVP→R211°07′53″＝顯示－107．31（ΔX）；B1按x←→y顯示－64.81（ΔY）B15.3坐標反算坐標反算，就是根據(jù)直線兩個端點的已知坐標，計算直線的邊長和坐標方位角的工作。如圖5.3所示，若A、B為兩已知點，其坐標分別為(X，Y和(X，Y),根據(jù)三角函數(shù)，可以AA)BB得出直線的邊長和坐標方位角計算公式：ΔYΔXY?Yαtg=ABABBA=X?XBAΔYY?YBAαAB=tg?1ΔX=tg?1X?X則(5.5)ABABBAΔYsinαXD=AB=ABABαcosABAB=ΔX2+ΔY2或D(5.6)AB應當注意，按公式（5.5）用計算器計算時顯示的反正切函數(shù)值在－90°～＋90°之間，而坐標方位角范圍是0°～360°，的正負符號確定直線AB所在的可使用功能轉(zhuǎn)換鍵INV和極坐標算求得方位角。按鍵順序為：ΔXINVR→PΔY＝顯示DX←→y顯示α例5.2已知B點坐標為（1536.86，837.54），A點坐標為（1429.55，離D和坐標方位角α。所以按（5.5）式反算方位角時，要根據(jù)ΔX、ΔY象限，從而得出正確的坐標方位角。如使用f140等類型的x計算器，與直角坐標換算鍵P→R以及x←→y鍵直接計。772.73），求距BABA解:先計算出坐標增量：3ΔX＝1429.55-1536.86=-107.31BAΔY＝772.73-837.54=-64.81BA直接用計算器計算：按－107.31INVP→R－64.81＝顯示125.36（距離D）；BA按x←→y顯示211°07′53″（坐標方位角α）。BA5.4建筑坐標與測量坐標的換算為了工作上的方便，在建筑工程設(shè)計總平面圖上，通常采用施工坐標系（即假定坐標系）來求算建筑方格網(wǎng)的坐標，以便使所有建（構(gòu)）筑物的設(shè)計坐標均為正值，且坐標縱軸和橫軸與主要建筑物或主要管線的軸線平行或垂直。為了在建筑場地測設(shè)出建筑方格網(wǎng)點的位置及所有設(shè)計的建（構(gòu)）筑物，在測設(shè)之前，還必須將建筑方格網(wǎng)點和設(shè)計建（構(gòu)）筑物的施工坐標系坐標換算成測量坐標系坐標。α，坐標換算的要素、、一xy0如圖5.4所示0般由設(shè)計單位給出。設(shè)、y為P點在測量坐標系xoy中的坐標，xPPxP'、y為P點在施工坐標系xy'中的坐標，則o'''P將施工坐標換算成測量坐標的計算公式為：ααx=x+x'.cos?y'.sinP0PPααy=y+x'.sin+y'cos（5.7）（5.8）P0PP反之，將測量坐標換算成施工坐標的計算公式如下：ααx'=(x?x)?cos+(y?y)?sinPPoP0ααy'=?(x?x)?sin+(y?y)?cosPPoP0閱讀小地區(qū)控制點加密的基本方法在工程建設(shè)中，常常遇到在小范圍內(nèi)加密控制點的問題。小范圍內(nèi)加密平面控制點常采用導線和測角交會定點的形式，加密高程控制點多采用水準測量和三角高程測量的方法。直接為測繪地形圖提供的控制點，稱為圖根控制點。測定圖根控制點位置的工作，稱4為圖根控制測量。一、平面控制測量（一）導線的外業(yè)測量工作山區(qū)、丘陵地區(qū)的圖根控制網(wǎng)多采用三角鎖或測角交會點的形式，而對于城市建筑區(qū)多采用導線的形式。1、導線的概念將測區(qū)內(nèi)相鄰控制點先連成直線，再連成的折線圖形，被稱為導線。導線上的各控制點稱為導線點。相鄰控制點之間的邊稱為導線邊。相鄰導線邊之間的水平角稱為轉(zhuǎn)折角。導線測量就是通過測定導線的邊長和轉(zhuǎn)折角，根據(jù)已知數(shù)據(jù)計算出各導線點的坐標。2、導線的布設(shè)形式為了檢核導線的外業(yè)測量成果，導線通常布設(shè)成閉合、附合和支線三種形式。如圖5.5（a）所示，導線從已知控制點A和已知方向BA出發(fā)，經(jīng)過1、2、3、4點，最后仍回到起點A，形成一閉合多邊形，這樣的導線稱為閉合導線。如圖5.5（b）所示，導線從已知控制點A和已知方向BA出發(fā)，經(jīng)過1、2、3點，最后附合到另一已知控制點C和已知方向CD，這樣的導線稱為附合導線。如圖5.5（c）所示，若導線由一已知點A出發(fā)，觀測至點1，既不附合到另一已知點，又不回到原起始點，這樣的導線稱為支導線。3、導線測量的等級與技術(shù)要求由《工程測量規(guī)范》可知，導線測量按精度劃分為一個個等級，各等級有自己的技術(shù)要，求如表5.1所示。表5.1導線測量的技術(shù)要求測回數(shù)導線長度測角中誤差等級平均邊長（km）方位角閉合差（″）相對閉合差（km）4（″）DJDJ426±10n±16n一級0.552≤1／15000二級2.41.20.250.181132≤1／10000≤1／5000±24n三級12±60n(一般)±40n(首級)≤1.5測圖30（一般）圖根≤0。001M—1≤1／2000最大視距20（首級）注：M為測圖比例尺的分母，n為測站數(shù)。4、導線選點與埋石在確定導線的布設(shè)形式和點位之前，應收集測區(qū)已有的地形圖和高一級控制點的成5果資料，然后到現(xiàn)場踏勘，了解測區(qū)現(xiàn)狀和已知控制點。根據(jù)已知控制點的分布、測區(qū)地形條件和測圖要求等具體情況，在測區(qū)原有地形圖上擬定導線的布設(shè)方案，最后到實地去核對、落實點位和埋設(shè)標志。選點時，應注意使相鄰控制點之間通視良好，地勢平坦，便于測角和量邊；視野開闊，便于施測碎部；土質(zhì)堅實，便于安放儀器和保存標志；各邊長度大致相等，點位分布均勻，且密度足夠。導線選定后，可根據(jù)保存期的長短，埋設(shè)臨時標志或永久標志。5、測角與量邊導線的轉(zhuǎn)折角使用經(jīng)緯儀按測回法觀測。若為閉合導線，則觀測其內(nèi)角。若為附合導線，應明確規(guī)定觀測其左角或觀測其右角，以防止差錯。對于支導線，應分別觀測左角和右角，以資檢核。當導線需要與高級控制點聯(lián)測時，必須測出連接角，以便將高級控制網(wǎng)的坐標方位角傳遞給低級控制網(wǎng)。若附近無高級控制網(wǎng)時，可假定起始點的坐標和起始邊的方位角作為起始數(shù)據(jù)。導線的邊長可以用鑒定過的鋼尺進行往返丈量，也可以用測距儀測量。（二）閉合導線的內(nèi)業(yè)計算導線的內(nèi)業(yè)計算，就是根據(jù)起始點的坐標和起始邊的坐標方位角，以及所觀測的導線邊長和轉(zhuǎn)折角，計算各導線點的坐標。計算的目的除了求得各導線點的坐標外，還有就是檢核導線外業(yè)測量成果的精度。計算之前，應全面檢查導線測量的外業(yè)記錄確認各項數(shù)據(jù)準確無誤，再以此進行計算。計算的步驟如下：1、填表如表5.2所示，由于導線計算數(shù)據(jù)繁多，為了清晰醒目，方便檢查。一般規(guī)定，其計算都在專用的表格上進行。計算之前，首先將示意圖中各觀測數(shù)據(jù)和已知數(shù)據(jù)填入相應表格之中。2、角度閉合差的計算與調(diào)整由幾何原理得知，多邊形內(nèi)角和的理論值應為∑β=(n－2).180°理ββ理因為測角有誤差，所以測得的內(nèi)角和∑不等于理論上的內(nèi)角和∑，其差值稱測為角度閉合差，用f表示，即βββf＝∑β－∑＝∑―（n―2）.180°(5.11)β測理測角度閉合差f的大小，表明測角精度的高低，對于不同等級的導線，有不同的限差（fβ）要求，圖根導線角度閉合差的允許值為：β允f＝±60″nβ允式中n為多邊形內(nèi)角的個數(shù)。當圖根導線作為測區(qū)的首級控制網(wǎng)時，f＝±40″n。這β允一步計算見輔助計算欄，f＝－80″，f＝±120″ββ允若f≤f，說明測角精度符合要求，可將閉合差按相反符號平均分配給各觀測角，ββ允而得出改正角：β＝β－f/n(5.12)測β按（－f/n）式計算的改正數(shù)，取位至秒，填入表格第3列。β當f＞f時，則說明測角誤差超限，應停止計算，重新檢測角度。ββ允63、坐標方位角計算如第四章所述，根據(jù)起始邊的坐標方位角及改正角，用（標方位角，填入第5列。為了檢核，最后應重新推算起始邊的坐標方位角，它應與已知數(shù)值相等。否則，應重新推算。例如4.14）式依次計算各邊的坐ααβ2＝＋180°＋＝125°30′00″＋180°＋107°48′43″＝53°18′43″2312表5.2閉合導線坐標計算表觀測角改正數(shù)改正后角度坐標方位角距離坐標增量(m)△x′△y′改正后增量(m)坐標值(m)點號1點號°′″″°′″°′″(m)△x△yxy535.00-1-1535.00190000043.53351461048.12273431037.49179052050.009000000.00+43.53-0.01+43.522814550+2081461031015640+2010157004852150+208522101905420+20905440-2-1534.99578.522582.59571.623+47.62-6.89+47.60-6.90-10+2.43-37.41+2.42-37.41-2-1585.01534.214535.00535.001-49.99+0.80-50.01+0.7922總和3595840+803600000179.14+0.06+0.030.000.004∑β=359°58′40″測f=±60×=±120″f=∑Δx=+0.06f=∑Δy=+0.03β允x測y測-Σβ＝360°00′00″理f＜fβ允合格輔助f=f2+f2=±0.07mβxy計算1K＜K合格f=-80″β0.071=fK允=∑==允K2000DD179.1425004、坐標增量的計算及閉合差調(diào)整坐標增量計算，經(jīng)推算出的導線各邊的坐標方位角（5.3）、（導線邊12的坐標增量為：Δx＝D·COS＝105.22×COS125°30′00″＝－61.10m就是根據(jù)已和相應邊的邊長，按式5.4）計算各邊的坐標增量。例如，α121212αΔy＝D·SIN＝105.22×SIN125°30′00″＝＋85.66m121212同法可算得其它各導線邊的坐標增量，填入表中第7、8兩列。7由圖5.6可以看出，閉合導線縱、橫坐標增量的代數(shù)和的理論值應為零，即∑Δx＝0里∑Δy＝0理（5.13）（5.14）實際上，由于量邊的誤差和角度閉合差調(diào)整后的殘余誤差，往往使∑Δx、∑Δy理不等于零，而產(chǎn)生縱坐標增量閉合差f和橫坐標增量閉合差f,即理xyf＝∑Δx（5.15）（5.16）x測f＝∑Δyy測表中，f＝∑Δx＝＋0.06mf＝∑Δy＝+0.03my測x測由圖5.7中明顯看出，由于f、f的存在，使導線不能閉合，1—1′之長度f稱為xy導線全長閉合差，可通過下式計算f=f+f22(5.17)xy僅以f值的大小還不能顯示導線測量的精度，應當以f與導線全長∑D相比較，即以分子為1的分數(shù)來表示導線全長的相對閉合差K，即f1∑=∑DD(5.18)K=f表中，K＝0.11/392.90＝1/3500以相對閉合差K來衡量導線測量的精度，K的分母越大，精度越高。不同等級的導線，其允許相對閉合差K不一樣，圖根導線的K為1/2000。若K超過K，則說明成果不合允允允格，應首先檢查內(nèi)業(yè)計算有無錯誤，然后檢查外業(yè)觀測成果，必要時進行重測。若K不超過K，則說明符合精度要求，可以進調(diào)行整。即將f、f反符號，按邊長允xy成正比分配到相應邊的縱、橫坐標增量中去，從而得到改正后的縱、橫坐標增量。5、計算各導線點的坐標根據(jù)后一點的坐標及改正后的坐標增量，按下式即可推算出前一點的坐標。X＝x＋Δx前后Y＝y(tǒng)＋Δy前后（5.19）（5.20）改改最后，還應推算出起始點1的坐標，其值應與原有值相等，以作檢核。在導線的全部計算過程中，應堅持步步有檢核的原則，后一步未檢核合格，不能進行前一步計算工作。（三）附合導線的內(nèi)業(yè)計算附合導線的內(nèi)業(yè)計算步驟與閉合導線相同，但是，由于兩者形式不同，致使角度閉合差的計算與調(diào)整和坐標增量閉合差的計算稍有不同?，F(xiàn)介紹不同點如下：1、角度閉合差的計算與調(diào)整αβ設(shè)有附合導線如圖5.5中所示，根據(jù)起始邊已知坐標方位角及觀測角，利用前面BAiαααα公式，可以連續(xù)算出、、……、′（′為終邊CD坐標方位角之計算值）A1αα12＝＋180°＋βCDCDA1BAAαα＝＋180°＋β12A11αα＝＋180°＋β231228αα＝＋180°＋β3C233αα＋）＝＋180°＋β′CD4CCααβ測＝＋5×180°＋∑′CDBA計算終邊坐標方位角的一般公式為：ααnβ測′＝＋·180°＋∑始邊（5.21）（5.22）終邊n式中為導線觀測角個數(shù)。角度閉合差的計算公式為：ααf＝′－終邊β終邊αα終邊f(xié)的調(diào)整:當用左角計算′時，改正數(shù)與f反號；當用右角計算′時，改β終邊β正數(shù)與f同號。β2、坐標增量閉合差的計算按附合導線的要求，各邊坐標增量代數(shù)和的理論值，應等于終、起兩點的已知坐標值之差。因此，縱、橫坐標增量閉合差可按下式計算f＝∑Δx―（x―x）（5.23）（5.24）x測終起f＝∑Δy―（y―y）y測終起（四）測角交會點交會法定點也是加密控制點的一種方法，適用于少量控制點的加密。交會定點包括前方交會、側(cè)方交會、后方交會和邊長交會等幾種，采用測邊交會和測角交會時，其交會角應在30°～150°之間，施測技術(shù)要求與圖根導線一致。這里僅介紹前方交會和后方交會兩種方法。1、前方交會如圖5.8所示，A、B為地面兩上已知點，αβ分別在A、B點安置儀器，觀測水平角和，根據(jù)A、B點的已知坐標，則可用下列公式直接用計算器求得未知點P的坐標。βαBαβx＝(x·ctg＋x·ctg－y＋y)/(ctg＋ctg)(5.25)(5.26)pABAβy＝(y·ctg＋y·ctg＋x－x)/(ctg＋ctg)ααβpABAB使用式上時要特別注意已知點的編號應如圖5.8所示，為了檢核，一般要求布設(shè)有三個已知點組成的前方交會。2.后方交會如圖5.9所示，如果已知點距離待定點較遠，也可以在待定點P上瞄準三個已知點A、B、C，αβ觀測及角，根據(jù)計算公式計算出待定點P的坐標，這種方法稱為后方交會法。后方交會法選點時不必到達已知點，上也不必在已知點觀上測，只需在所求點上安置一次儀器，即可完成外業(yè)測角任務，可以隨選隨9測，比較節(jié)省時間。但是，后方交會法的計算比前方交會法復雜，可靠性也比前方交會法差一些。采用后方交會法計算待定點P的坐標的公式很多，下面介紹其中的一種。這種計算方α法的基本思路是：根據(jù)三個已知點的坐標(x，y)、(x，y)、(x，y)及兩觀測角值、AABBCCβ，先計算一個已知點至待定點P的坐標方位角，然后根據(jù)此坐標方位角，不用邊長而求出該已知點至待定點的坐標增量，最后由坐標增量求出待定點P的坐標x和y。計算PP中，設(shè)αN＝(x－x)＋(y－y)ctg1ACACαββN＝(y―y)―(x―x)ctg2ACACN＝(x―x)―(y―y)ctg3BCBCN＝(y－y)＋(x－x)ctg4BCBCα則tg＝(N―N)/(N―N)(5.27)CP3124Δx＝(N＋Ntgα)/(1＋tg2α)＝(N＋Ntgα)/(1＋tg2α)(5.28)CP12CPCP34CPx.tgCPCPΔy＝ΔαCPCP(5.29)待定點P的坐標：(5.30)X＝x＋ΔxPCCPY＝y(tǒng)＋ΔyCP(5.31)PC選擇后方交會點P時，若P點剛好選在過A、B、C的圓周上，無論P點位于圓周上任何位置，所測得角值都是不變的，因此，P點位置不定，測量上把該圓叫做危險圓。P點若位于危險圓上則無解。因此，選點時應使P點距危險圓周的距離大于該圓半徑的1/5。為了進行檢核，須在P點觀測第四個方向K，測得ε角。同時，由P點坐標以及B、測ααααK點坐標，按坐標反算公式求得及。計算出ε＝－，以及較差Δε＝εPBPK算PKPB算－ε，一般規(guī)范規(guī)定Δε≤″M·ρ″/10000·S，式中M為測圖比例尺分母，S為檢查邊測邊長，以米為單位。二、高程控制測量（一）圖根水準測量圖根水準測量用于測定測區(qū)首級平面控制點和圖根點高程。圖根水準測量的水準路線形式可根