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抽象函數(shù)經(jīng)典習(xí)題教育VIP精品講義頁抽象函數(shù)問題有關(guān)解法由于函數(shù)概念比較抽象,學(xué)生對(duì)解有關(guān)函數(shù)記號(hào)的問題感到困難,學(xué)好這部分知識(shí),能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解,更好地掌握函數(shù)的性質(zhì),培養(yǎng)靈活性;提高解題能力,優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)?,F(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如下:一、解析式問題:1.換元法:即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式,從而求出,這也是證某些公式或等式常用的方法,此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。例1:已知,求.解:設(shè),則∴∴2.湊配法:在已知的條件下,把并湊成以表示的代數(shù)式,再利用代換即可求.此解法簡潔,還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。例2:已知,求解:∵又∵5、方程組法:通過變量代換,構(gòu)造方程組,再通過加減消元法消去無關(guān)的部分。例6.已知,求的表達(dá)式解:用代替得到(1)又(2)2(1)-(2)得到,于是二、求值問題例7.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù),同時(shí)滿足下列條件:①;②,求的值。解:取,得因?yàn)?,所以又取得評(píng)析:通過觀察已知與未知的聯(lián)系,巧妙地賦值,取,這樣便把已知條件與欲求的溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、定義域問題例8.已知函數(shù)的定義域是[1,2],求的定義域。解:的定義域是[1,2],是指,所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是[1,4]評(píng)析:一般地,已知函數(shù)的定義域是A,求f(x)的定義域問題,相當(dāng)于已知中x的取值范圍為A,據(jù)此求的值域問題。五、判斷函數(shù)的奇偶性:例11已知,對(duì)一切實(shí)數(shù)、都成立,且,求證為偶函數(shù)。證明:令=0,則已知等式變?yōu)椤僭冖僦辛?0則2=2∵≠0∴=1∴∴∴為偶函數(shù)。六、單調(diào)性問題例12.設(shè)定義于實(shí)數(shù)集上,當(dāng)時(shí),,且對(duì)于任意實(shí)數(shù)有,求證:在R上為增函數(shù)。證明:在中取,得若,令,則,與矛盾所以,即有當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),而所以又當(dāng)時(shí),所以對(duì)任意,恒有設(shè),則所以所以在上為增函數(shù)。評(píng)析:一般地,抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式,應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則,則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。七、解抽象不等式(確定參數(shù)的取值范圍)例13:奇函數(shù)在定義域(-1,1)內(nèi)遞減,求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍。解:由得,∵為函數(shù),∴又∵在(-1,1)內(nèi)遞減,∴鞏固練習(xí)練習(xí)一1.給出四個(gè)函數(shù),分別滿足①;②;③;④,又給出四個(gè)函數(shù)圖象丁丁正確的匹配方案是()(A)①—丁②—乙③—丙④—甲(B)①—乙②—丙③—甲④—?。–)①—丙②—甲③—乙④—?。―)①—?、凇注邸尧堋?.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),當(dāng)x<0時(shí),,f(x)>0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上

(

)

A有最小值f(a)

B有最大值f(b)

C有最小值f(b)

D有最大值f()3.

設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋遥覍?duì)恒有若()A. B.1 C. D.4.若偶函數(shù)在上是增函數(shù),則下列關(guān)系式中成立的是()A.B.C.D.5.定義在R上的函數(shù)滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù),總有,且當(dāng)時(shí),.(1)試舉出一個(gè)滿足條件的函數(shù);(2)試求的值;(3)判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論;(4)若解不等式1-4DCCD5.(1)如,(2)在中,令.得:.因?yàn)?,所以,.?)要判斷的單調(diào)性,可任取,且設(shè).在已知條件中,若取,則已知條件可化為:.由于,所以.為比較的大小,只需考慮的正負(fù)即可.在中,令,,則得.∵時(shí),,當(dāng)時(shí),.又,所以,綜上,可知,對(duì)于任意,均有.∴.∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減,(4)若則,則不等式,由函數(shù)在R上單調(diào)遞減,則,則不等式的解集為。練習(xí)二1.若奇函數(shù),滿足,則等于()A.0 B.1 C. D.2.設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)、,函數(shù)滿足。(1)求證:;(2)求證:為偶函數(shù)。3.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù),且滿足對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)、,都有,且(1)求的值;(2)解不等式4.已知函數(shù)對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)、,都有,若,則下列結(jié)論中不正確的是()A.B.C.D.5.設(shè)定義在上的函數(shù)對(duì)于任意都有成立,且,當(dāng)時(shí),。(1)判斷f(x)的奇偶性,并加以證明;(2)試問:當(dāng)-3≤≤3時(shí),是否有最值?如果有,求出最值;如果沒有,說明理由。6.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在(0,+)內(nèi)是增函數(shù),又f(2)=0,則的解集為()A.(-2,0)(0,2)B.(-,-2)(0,2)C.(-,-2)(2,+)D.(-2,0)(2,+)7.設(shè)對(duì)滿足的所有實(shí)數(shù),函數(shù)滿足,求的解析式。8.已知函數(shù)對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)都有,試判斷函數(shù)的奇偶性。9.(09年東城區(qū)示范校質(zhì)檢一)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槿w,當(dāng)時(shí),,且對(duì)任意的實(shí)數(shù),有成立,數(shù)列滿足,且(Ⅰ)求證:是上的減函數(shù);

(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;10.(09屆華南師大附中綜合測(cè)試題)設(shè)函數(shù)滿足,且對(duì)任意,都有.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)若數(shù)列滿足:且,

求數(shù)列的通項(xiàng);1.解析:對(duì)于,令,得即,從而,所以,選D。2.解析:(1)令,得,所以。令,得,所以。(2)令,得,令,得,從而我們有:,所以,為偶函數(shù)。3.解析:(1)(2)由函數(shù)是定義在上的增函數(shù),則即,依題設(shè),有,,從而不等式的解集為。4.解析:滿足對(duì)一切正實(shí)數(shù)、都成立的函數(shù)模型是對(duì)數(shù)函數(shù)。由,可知,從而可知是減函數(shù),所以,應(yīng)選B。5.解析:⑴令x=y=0,可得f(0)=0令y=-x,則f(0)=f(-x)+f(x),∴f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù)⑵設(shè)-3≤x1<x2≤3,y=-x1,x=x2則f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1),因?yàn)閤>0時(shí),f(x)<0,故f(x2-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0。∴f(x2)<f(x1)、f(x)在區(qū)間[-3,3]上單調(diào)遞減∴x=-3時(shí),f(x)有最大值f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=6。x=3時(shí),f(x)有最小值為f(3)=-6。6.解析:因?yàn)閒(x)是定義域上的奇函數(shù),所以f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。根據(jù)題設(shè)條件可以作出函數(shù)f(x)在R上的大致圖象,由得:x與f(x)異號(hào)。由圖像可得解集為(-2,0)(0,2),選擇(A)。7.解析:在(1)中以代換其中,得:再在(1)中以代換x,得化簡得:評(píng)析:如果把x和分別看作兩個(gè)變量,怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下,給某些變量適當(dāng)賦值,使之在關(guān)系中“消失”,進(jìn)而保留一個(gè)變量,是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。8.解析:取得:,所以又取得:,所以再取則,即因?yàn)闉榉橇愫瘮?shù),所以為偶函數(shù)。9.解析:(Ⅰ)令,得,由題意知,所以,故.

當(dāng)時(shí),,,進(jìn)而得.

設(shè)且,則,.即,是

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