抽象函數(shù)經(jīng)典習(xí)題

抽象函數(shù)經(jīng)典習(xí)題教育VIP精品講義頁抽象函數(shù)問題有關(guān)解法由于函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生對解有關(guān)函數(shù)記號的問題感到困難，學(xué)好這部分知識，能加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)。現(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如下：一、解析式問題：1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。例1：已知,求.解：設(shè),則∴∴2.湊配法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求.此解法簡潔，還能進一步復(fù)習(xí)代換法。例2：已知，求解：∵又∵5、方程組法：通過變量代換，構(gòu)造方程組，再通過加減消元法消去無關(guān)的部分。例6.已知，求的表達式解：用代替得到（1）又（2）2（1）-（2）得到，于是二、求值問題例7.已知定義域為的函數(shù)，同時滿足下列條件：①；②，求的值。解：取，得因為，所以又取得評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取，這樣便把已知條件與欲求的溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、定義域問題例8.已知函數(shù)的定義域是［1，2］，求的定義域。解：的定義域是［1，2］，是指，所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是［1，4］評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求f(x)的定義域問題，相當(dāng)于已知中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問題。五、判斷函數(shù)的奇偶性：例11已知,對一切實數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。證明：令=0,則已知等式變?yōu)椤僭冖僦辛?0則2=2∵≠0∴=1∴∴∴為偶函數(shù)。六、單調(diào)性問題例12.設(shè)定義于實數(shù)集上，當(dāng)時，，且對于任意實數(shù)有，求證：在R上為增函數(shù)。證明：在中取，得若，令，則，與矛盾所以，即有當(dāng)時，；當(dāng)時，而所以又當(dāng)時，所以對任意，恒有設(shè)，則所以所以在上為增函數(shù)。評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運算法則，則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。七、解抽象不等式（確定參數(shù)的取值范圍）例13：奇函數(shù)在定義域（-1，1）內(nèi)遞減，求滿足的實數(shù)的取值范圍。解：由得，∵為函數(shù)，∴又∵在（-1，1）內(nèi)遞減，∴鞏固練習(xí)練習(xí)一1．給出四個函數(shù)，分別滿足①；②；③；④，又給出四個函數(shù)圖象丁丁正確的匹配方案是（）（A）①—?、凇尧邸堋祝˙）①—乙②—丙③—甲④—?。–）①—丙②—甲③—乙④—?。―）①—?、凇注邸尧堋?．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，當(dāng)x<0時，,f(x)>0，則函數(shù)f(x)在[a,b]上

(

)

A有最小值f(a)

B有最大值f(b)

C有最小值f(b)

D有最大值f()3．

設(shè)函數(shù)的定義域為Ｒ，且對恒有若（）Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．4．若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關(guān)系式中成立的是（）A．B．C．D．5．定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，總有，且當(dāng)時，．（1）試舉出一個滿足條件的函數(shù)；（2）試求的值；（3）判斷的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（4）若解不等式1-4DCCD5．（1）如，（2）在中，令．得：．因為，所以，．（3）要判斷的單調(diào)性，可任取，且設(shè)．在已知條件中，若取，則已知條件可化為：．由于，所以．為比較的大小，只需考慮的正負即可．在中，令，，則得．∵時，，當(dāng)時，．又，所以，綜上，可知，對于任意，均有．∴．∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減，（4）若則，則不等式，由函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則，則不等式的解集為。練習(xí)二1.若奇函數(shù)，滿足，則等于（）A．0 B．1 C． D．2.設(shè)對任意實數(shù)、，函數(shù)滿足。（1）求證：；（2）求證：為偶函數(shù)。3.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且滿足對于任意的正實數(shù)、，都有，且（1）求的值；（2）解不等式4.已知函數(shù)對于任意的正實數(shù)、，都有，若，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．B．C．D．5.設(shè)定義在上的函數(shù)對于任意都有成立，且，當(dāng)時，。（1）判斷f(x)的奇偶性，并加以證明；（2）試問：當(dāng)-3≤≤3時，是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有，說明理由。6.若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在（0，+）內(nèi)是增函數(shù)，又f(2)=0，則的解集為（）A．（-2，0）（0，2）B．（-，-2）（0，2）C．（-，-2）（2，+）D．（-2，0）（2，+）7.設(shè)對滿足的所有實數(shù)，函數(shù)滿足，求的解析式。8.已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有，試判斷函數(shù)的奇偶性。9.（09年東城區(qū)示范校質(zhì)檢一）（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)的定義域為全體，當(dāng)時，，且對任意的實數(shù)，有成立，數(shù)列滿足，且（Ⅰ）求證：是上的減函數(shù)；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；10.（09屆華南師大附中綜合測試題）設(shè)函數(shù)滿足，且對任意，都有.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足：且,

求數(shù)列的通項；1.解析：對于，令，得即，從而，所以，選D。2.解析：（1）令，得，所以。令，得，所以。（2）令，得，令，得，從而我們有：，所以，為偶函數(shù)。3.解析：（1）（2）由函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則即，依題設(shè)，有，，從而不等式的解集為。4.解析：滿足對一切正實數(shù)、都成立的函數(shù)模型是對數(shù)函數(shù)。由，可知，從而可知是減函數(shù)，所以，應(yīng)選B。5.解析：⑴令x=y=0，可得f(0)=0令y=-x，則f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)⑵設(shè)－3≤x1＜x2≤3，y=－x1，x=x2則f(x2－x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2)－f(x1)，因為x＞0時，f(x)＜0，故f(x2－x1)＜0，即f(x2)－f(x1)＜0?！鄁(x2)＜f(x1)、f(x)在區(qū)間[－3，3]上單調(diào)遞減∴x=－3時，f(x)有最大值f(－3)=－f(3)=－f(2+1)=－[f(2)+f(1)]=－[f(1)+f(1)+f(1)]=6。x=3時，f(x)有最小值為f(3)=－6。6.解析：因為f(x)是定義域上的奇函數(shù)，所以f(x)的圖像關(guān)于原點對稱。根據(jù)題設(shè)條件可以作出函數(shù)f(x)在R上的大致圖象，由得：x與f(x)異號。由圖像可得解集為（-2，0）（0，2），選擇（A）。7.解析：在（1）中以代換其中，得：再在(1)中以代換x，得化簡得：評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。8.解析：取得：，所以又取得：，所以再取則，即因為為非零函數(shù)，所以為偶函數(shù)。9.解析：（Ⅰ）令，得，由題意知，所以，故．

當(dāng)時，，，進而得．

設(shè)且，則，．即，是