圓與圓的位置關(guān)系（重難點(diǎn)突破）

專題2.5.2圓與圓的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一、圓與圓的位置關(guān)系1.兩圓的位置關(guān)系外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含.2.兩圓的位置關(guān)系的判定(1)代數(shù)法:設(shè)兩圓的一般方程為C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯(lián)立得方程組?消元后得到一元二次方程(若得到的是一元一次方程,則要求出方程組的解進(jìn)行判斷),計(jì)算判別式Δ的值,按(2)的表中的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.(2)幾何法:兩圓的半徑分別為r1,r2,計(jì)算兩圓連心線的長(zhǎng)為d,按表中標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷.位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示?????公共點(diǎn)個(gè)數(shù)01210位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含Δ的值Δ<0Δ=0Δ>0Δ=0Δ<0d與的關(guān)系

公切線條數(shù)4

32

10

3.兩圓的公共弦所在直線方程的求法設(shè)☉C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(),☉C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(),聯(lián)立?①②,得(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0.③若兩圓交點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標(biāo)適合方程①②,也適合方程③,因此方程③就是經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程.故當(dāng)兩圓相交時(shí),(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程,即公共弦所在直線的方程.當(dāng)兩圓外離時(shí),(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線方程.當(dāng)兩圓相切時(shí),(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是兩圓的一條公切線的方程.若兩圓是等圓,則(D1D2)x+(E1E2)y+F1F2=0是以兩圓圓心為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的方程.重難點(diǎn)題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1、（1）、（2021秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）圓與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切【答案】C【分析】根據(jù)方程寫出兩圓的圓心坐標(biāo)以及半徑，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合兩圓位置關(guān)系的判別，可得答案.【詳解】由可得其圓心，半徑；由可得其圓心，半徑；，，，顯然，所以兩圓的位置關(guān)系為相交.故選：C.（2）、（2023春·廣西·高二校聯(lián)考期中）已知圓心在原點(diǎn)的單位圓和圓外切，．【答案】16【分析】根據(jù)兩圓的圓心距以及半徑即可由外切列方程求解.【詳解】圓圓心為，半徑為1，圓，圓心為，且，半徑為，所以圓心距，因?yàn)閮蓤A外切，所以，所以．故答案為：16【變式訓(xùn)練11】、（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由兩圓方程相減即可得公共弦的方程.【詳解】將兩個(gè)圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.【變式訓(xùn)練12】、（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若圓與圓內(nèi)切，則的值是．【答案】1或25【分析】先求出兩圓的圓心和半徑，再由題意可得圓心距離等于兩半徑的差列方程可求得結(jié)果.【詳解】由，得，則圓心為，半徑為，由，得，則圓心為，半徑，因?yàn)閳A與圓內(nèi)切，所以，所以或，解得或，故答案為：25或1例2、（1）、（2023秋·高一單元測(cè)試）已知點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得兩圓心之間的距離，根據(jù)三點(diǎn)共線可知當(dāng)共線且點(diǎn)在之間時(shí)，最小，由勾股定理即可求解.【詳解】切線長(zhǎng)，所以當(dāng)共線且點(diǎn)在之間時(shí)，最小，由于,所以min，所以.故選：.（2）、（2023秋·高一單元測(cè)試）已知圓與圓內(nèi)切，則的最小值為【答案】2【分析】計(jì)算兩圓的圓心距，令圓心距等于兩圓半徑之差，結(jié)合基本不等式求解最小值即可．【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內(nèi)切，，可得，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．【變式訓(xùn)練21】、（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）圓與圓外切，則的值為（

）A． B． C．2 D．5【答案】AC【分析】由兩圓外切，結(jié)合圓心坐標(biāo)及半徑列出關(guān)于參數(shù)的方程，求值即可.【詳解】圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為3，圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為2．依題意，即，解得或．故選：AC【變式訓(xùn)練22】、（2023秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓與圓的公共弦長(zhǎng)為2，則m的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)圓的圓心和半徑公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，以及公共線弦方程的求法即可求解.【詳解】聯(lián)立和,得，由題得兩圓公共弦長(zhǎng)，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以，平方后整理得,，所以或（舍去）；故選：A.例3、（2022秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知圓方程：，圓相交點(diǎn)A、B．(1)求經(jīng)過點(diǎn)A、B的直線方程.(2)求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）判斷兩圓相交，再將兩圓方程相減即可作答.（2）由（1）的結(jié)論，求出點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求出弦長(zhǎng)，求出三角形面積作答.【詳解】（1）圓：的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，且有，則圓與圓相交，由消去二次項(xiàng)得，所以直線的方程為.（2）由（1）知，點(diǎn)到直線：的距離，于是，所以的面積.【變式訓(xùn)31】、（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)為何值時(shí)，兩圓和.(1)外切；(2)相交；(3)外離.【答案】(1)或(2)或(3)或【分析】（1）化兩圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)與半徑，再求出兩圓的圓心距，由列式，即可求解.（2）由列不等式組，即可求出的范圍.（3）由列不等式，即可求出的范圍.【詳解】（1）設(shè)圓，半徑為，得，圓心，.，半徑為，得，圓心，.圓心距，因?yàn)閮蓤A外切，則，所以，解得或.（2）因?yàn)閮蓤A相交，則，即，所以，解得或.（3）因?yàn)閮蓤A外離，則，即，所以，解得或.例4、（2023春·上海黃浦·高二格致中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓和圓(1)若圓與圓相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍，并求直線的方程（用含有的方程表示）(2)若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)兩圓相交，得到，求出的取值范圍，兩圓相減得到相交弦即直線的方程；（2）聯(lián)立直線與圓，得到兩根之和，兩根之積，利用求出的值，并結(jié)合根的判別式舍去不合要求的根.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為2，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓相交于兩點(diǎn)，則，解得，與相減得，直線的方程為；（2）設(shè)，則聯(lián)立，得，則，則，，，解得，或，其中不滿足，舍去，滿足要去，則實(shí)數(shù)的值為.【變式訓(xùn)練41】、（2022秋·福建莆田·高二?？计谥校┮阎獔A.(1)若圓的半徑為，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，圓與圓交于，兩點(diǎn)，求直線的方程和弦的長(zhǎng).【答案】(1)；(2)直線MN的方程為，弦MN的長(zhǎng)度為.【分析】(1)將圓C的一般方程配方為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出半徑；(2)聯(lián)立兩圓方程求出直線得方程，再運(yùn)用垂徑定理求出即可.【詳解】（1）由圓C的方程，得，所以半徑為，解