高數(shù)二下練習(xí)題答案全部

..高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______反常積分、定積分應(yīng)用〔一〕1、求無(wú)窮限積分〔〕。(過(guò)程略)2、求瑕積分。3、求由曲線與所圍成圖形的面積。求由曲線和直線，所圍成的平面圖形的面積?；颉舱?qǐng)自己畫(huà)草圖，體會(huì)兩種不同的求法〕5、拋物線與其在點(diǎn)和處的切線所圍成的圖形的面積。解：過(guò)點(diǎn)的切線方程為，而過(guò)處的切線方程為故求的兩切線交點(diǎn)為，那么所要求圖形的面為：6、設(shè)橢圓的參數(shù)方程為，求橢圓的面積。解：由橢圓的對(duì)稱性，橢圓的面積可表示為：〔簡(jiǎn)單的計(jì)算過(guò)程略，希望同學(xué)們自行補(bǔ)充完成〕7、在上給定函數(shù)，問(wèn)取何值時(shí)，右圖中曲邊三角形OACO與ADBA的面積之和最??？何時(shí)最大？高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______定積分應(yīng)用〔二〕求由曲線和圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：分別求由曲線,及軸所圍成的圖形繞軸、軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積求由曲線和直線、所圍成的平面圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積4、求曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積。〔參考課本第214頁(yè)〔4〕的〔6.37〕的做法，注意是按圓環(huán)體來(lái)分隔〕解：圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積5、一拋物線過(guò)軸上的兩點(diǎn)：〔1〕求證：兩坐標(biāo)軸與該拋物線所圍圖形的面積等于軸與該拋物線所圍圖形的面積?！?〕計(jì)算上述兩個(gè)平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周產(chǎn)生的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積。略?！灿捎跊](méi)給出拋物線二次項(xiàng)的系數(shù)a，此題大家可以隨意選個(gè)非零的a來(lái)做〕求由曲線,，所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：〔注意旋轉(zhuǎn)體界面圓的半徑是〕設(shè)某產(chǎn)品的邊際本錢(qián)〔萬(wàn)元/臺(tái)〕其中表示產(chǎn)量，固定本錢(qián)為〔萬(wàn)元〕，邊際收益〔萬(wàn)元/臺(tái)〕，求：〔1〕總本錢(qián)函數(shù)和總收益函數(shù)；〔2〕獲得最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量；〔3〕從最大利潤(rùn)時(shí)的產(chǎn)量又生產(chǎn)了4臺(tái)，總利潤(rùn)的變化。解：總本錢(qián)函數(shù)為總收益函數(shù)為；由〔1〕，利潤(rùn)函數(shù)為當(dāng)可求得駐點(diǎn)為，而，因此當(dāng)產(chǎn)量x=6臺(tái)時(shí)，獲得最利潤(rùn)；〔略〕高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______定積分綜合一、選擇題1、設(shè)函數(shù)在[]上連續(xù)，那么曲線與直線所圍成的平面圖形的面積等于〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2、設(shè)，，，那么(D)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、設(shè)連續(xù)，，那么(B)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4、以下結(jié)果正確的選項(xiàng)是(B)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5、設(shè)，那么在上(B)〔A〕單調(diào)增加〔B〕單調(diào)減少〔C〕有增有減〔D〕無(wú)界6、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，那么=(A)〔A〕0〔B〕1〔C〕〔D〕假設(shè)是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，那么是(B)〔A〕奇函數(shù)〔B〕偶函數(shù)〔C〕非奇非偶函數(shù)〔D〕既奇既偶函數(shù)8、以下反常積分發(fā)散的有(C)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、以下反常積分收斂的有(D)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕10、由曲線，〔，〕及直線，所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成立體的體積是(B)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題1、利用定積分的幾何意義，填寫(xiě)以下定積分的結(jié)果：(1)=(2)-42、利用定積分的性質(zhì)，填寫(xiě)以下各題：(1)651(2)3、設(shè)，那么=。4、在上連續(xù)，且，且設(shè)，那么-2。5、設(shè)由所確定，那么=。6、設(shè)為連續(xù)函數(shù)且滿足，那么。7、求以下定積分(1)=(2)(3)13(4)(5)0(6)(7)=0(8)=28、假設(shè)反常積分收斂，>1。9、某廠生產(chǎn)的邊際本錢(qián)函數(shù)，且固定本錢(qián)，那么總本錢(qián)函數(shù);當(dāng)產(chǎn)量由2個(gè)單位增至4個(gè)單位時(shí)，總本錢(qián)的增量是。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______一階微分方程1、求的通解。解：原方程可化為積分，得〔其中C’為任意常數(shù)〕令，不難看出C為任意常數(shù)，故，方程的通解為〔C為任意常數(shù)〕求微分方程，滿足的特解。解：原方程可化為積分得(其中C’為任意常數(shù))即，令，不難看出C為任意常數(shù)，故原微分方程通解可表示為：，其中C為任意常數(shù)，當(dāng)時(shí)，故滿足條件的方程的特解為3、求微分方程的通解。解：方程可化為：所以微分方程的通解。解：當(dāng)x>0時(shí)，原微分方程可等價(jià)為齊次微分方程設(shè)那么有對(duì)應(yīng)的通解為即〔其中C為任意常數(shù)〕當(dāng)x<0,易得原微分方程的通解為同樣的形式。綜上所述，微分方程的通解為〔其中C為任意常數(shù)〕求微分方程，滿足的特解。解：令，那么原微分方程變?yōu)榉e分得即〔其中C為任意常數(shù)〕由初始條件，代入上式，可求得C=2，所以原微分方程在此初始條件下的特解為求微分方程的通解。解：易知原微分方程對(duì)應(yīng)的齊次微分方程可表示成其通解為〔其中C為任意常數(shù)〕由常數(shù)變易法，令原微分方程的通解形式為，那么，代入原微分方程，得，積分得(其中C為任意常數(shù))。于是，所求微分方程的通解為〔其中C為任意常數(shù)〕設(shè)為連續(xù)函數(shù)，由所確定，求。解：對(duì)積分方程兩邊求導(dǎo)數(shù)得，即且當(dāng)時(shí)，代入上方程得故8、巳知生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定本錢(qián)是，生產(chǎn)單位的邊際本錢(qián)與平均單位本錢(qián)之差為：，且當(dāng)產(chǎn)量的數(shù)值等于時(shí)，相應(yīng)的總本錢(qián)為，求總本錢(qián)與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題二階微分方程1、求方程的通解。解：特征方程為，得特征根為所以方程的通解2、求微分方程的通解，其中常數(shù)。解：特征方程為：，求得特征根所以方程的通解3、求方程，，的特解。解：特征方程為，解得特征根為所以方程的通解為把，代入上二式，得故所求方程滿足條件的解為4、求微分方程的一個(gè)特解。5、求微分方程的通解。6、設(shè)函數(shù)求微分方程滿足初始條件的特解。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______微分方程綜合一、選擇題1、以下各微分方程中為一階線性微分方程的是〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2、滿足方程的解是〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、，是方程的解，那么(為任意常數(shù))〔B〕〔A〕是方程的通解〔B〕是方程的解，但不是通解〔C〕是方程的一個(gè)特解〔D〕不一定是方程的解．4、具有特解，的二階常系數(shù)齊次線性方程是〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5、微分方程，，的特解是〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6、微分方程的一個(gè)特解應(yīng)具有形式〔式中為常數(shù)〕〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕7、微分方程的特解應(yīng)設(shè)為〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕8、設(shè)微分方程有特解，那么它的通解是〔A〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二、填空題1、微分方程的通解是2、微分方程，滿足的特解為3、微分方程的通解為4、微分方程的通解是5、微分方程的通解是6、具有特解和的二階常系數(shù)齊次線性方程為7、設(shè)為某方程的通解，其方程為8、方程的特解可設(shè)為.9、方程的特解可設(shè)為.10、方程的特解可設(shè)為.11、方程的特解可設(shè)為.注意:特解的表達(dá)式里面出現(xiàn)的常數(shù)，可說(shuō)成"其中。。。。為常數(shù)〞或者"其中。。。。為待定常數(shù)〞兩者都可以。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______空間解析幾何、多元函數(shù)概念和性質(zhì)一．選擇題1、方程表示〔D〕〔A〕平面〔B〕柱面〔C〕球〔D〕拋物面2、函數(shù)的定義域〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、設(shè)，且當(dāng)時(shí)，那么=〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4、假設(shè)，那么=〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕二．填空題1、方程表示表示空間的準(zhǔn)線是xOy平面上的半徑為，原點(diǎn)為圓心的圓，母線平行于Oz軸的圓柱面2、假設(shè)一球面以點(diǎn)為球心且過(guò)原點(diǎn)，那么其方程為3、球面：的球心是點(diǎn)___________，半徑_____4_____；4、的定義域5、設(shè)函數(shù)，那么6、，那么=7、，那么三．計(jì)算題1、解：當(dāng)時(shí)，那么原式＝22、解：原式＝3、解：原式＝＝(注意：如何應(yīng)用變量替換法，把二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的情形，利用一元函數(shù)的常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小來(lái)計(jì)算！考慮下什么情形下是平安的！)高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及微分1、設(shè)函數(shù)，求。解：求函數(shù)的全微分。解：由全微分公式那么3、設(shè)，而，，求。解：由鏈?zhǔn)椒敲?，〔注意，最后的答案?yīng)寫(xiě)成u,v的形式，因要求的表達(dá)式默認(rèn)是u，v的函數(shù)！〕設(shè)，求及。解：由z=z(x,y),原方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)整理可求得因此故z的全微分可表示為：＝設(shè)，而，，求。解：(要特別注意上面式子z在不同地方表示不同自變量的函數(shù)，如t的函數(shù)，x,y的函數(shù)；這是把原來(lái)z是t的一元函數(shù)表示成z是二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的情形)設(shè)，求，其中有二階偏導(dǎo)數(shù)。解：〔注：下標(biāo)1,2的表示對(duì)應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)，參見(jiàn)課本p251例7.25〕7、設(shè)，求。解法一：方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)整理得上式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)8、設(shè)由所確定的函數(shù)，求。解：方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)整理得因此高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______多元函數(shù)極值和最值求函數(shù)的駐點(diǎn)。解：解方程得駐點(diǎn)求函數(shù)的極值點(diǎn)。解：由得駐點(diǎn)，,,求二階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)點(diǎn):故(1/3,1/3)為極大值點(diǎn)。對(duì)點(diǎn):，不是極值點(diǎn).對(duì)點(diǎn)(0,1)和點(diǎn)(1,0)，，故(0,1)和(1,0)都不是極值點(diǎn)；3、求的極值。解法1〕：由得駐點(diǎn)計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)地，，，故(0,0)是極大值點(diǎn)，極大值為(2,2)是極小值點(diǎn)，極小值為.解法2〕：解：駐點(diǎn)為在處，，為極大值點(diǎn)，在處，不是極值點(diǎn)在處，不是極值點(diǎn)在處，，為極小點(diǎn)，4、設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要甲、乙兩種原料，甲種原料的價(jià)格為2，乙種原料的價(jià)格為1，而用單位的甲種原料和y單位的乙種原料可生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為，假設(shè)該產(chǎn)品的單位價(jià)格為5，試求最大利潤(rùn)．解：收入本錢(qián)利潤(rùn)＝，，，，故最大利潤(rùn)為5、工廠的同一種產(chǎn)品分銷(xiāo)兩個(gè)獨(dú)立市場(chǎng)．兩個(gè)市場(chǎng)的需求情況不同，設(shè)價(jià)格函數(shù)分別為，，廠商的總本錢(qián)函數(shù)為，,工廠以最大利潤(rùn)為目標(biāo)，求投放每個(gè)市場(chǎng)的產(chǎn)量，并確定此時(shí)每個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格．解：總收入：總利潤(rùn)：＝，不難驗(yàn)證(8,2)為最大利潤(rùn)對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)某廠為促銷(xiāo)產(chǎn)品需作兩種手段的廣告宣傳．當(dāng)廣告費(fèi)分別為，時(shí)，銷(xiāo)售量，假設(shè)銷(xiāo)售產(chǎn)品所得利潤(rùn)，兩種手段的廣告費(fèi)共25(千元)，問(wèn)如何分配兩種手段的廣告費(fèi)才能使利潤(rùn)最大？解：作函數(shù)求偏導(dǎo)得兩種廣告分別為15〔千元〕和10〔千元〕的時(shí)候使得利潤(rùn)最大高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題二重積分1、設(shè)區(qū)域D由所圍成，求。解：原式(X型累次積分)＝＝原式(Y型累次積分)＝2、設(shè)是由直線，及所圍成的平面區(qū)域，求。解：原式〔X型〕＝3、設(shè)區(qū)域由軸與曲線〔〕所圍成，求。解：原式〔Y型〕＝4、設(shè)，為正方形：，計(jì)算。解：原式(矩形區(qū)域)＝=5、求積分。解：把原式Y(jié)型的累次積分轉(zhuǎn)化為X型即原式＝6、設(shè)積分區(qū)域由，及所圍成，求。解：原式＝＝＝7、設(shè)積分區(qū)域?yàn)椋?。解：令原式＝＝?、計(jì)算，其中由，所圍成。解：令原式＝高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題多元函數(shù)微積分綜合一、選擇題1、設(shè)，那么=〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2、假設(shè)，那么等于〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3、設(shè)均為可微函數(shù)，那么〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4、設(shè)積分區(qū)域是，那么=〔B〕〔A〕1〔B〕2〔C〕4〔D〕85、設(shè)平面區(qū)域由與兩坐標(biāo)軸所圍成，假設(shè)，，，那么它們之間的大小順序?yàn)椤睠〕〔A〕〔B〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕6、設(shè)是以為頂點(diǎn)的梯形所圍成的有界閉區(qū)域，是區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，那么二重積分〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕7、二次積分的另一種積分次序是〔A〕(A)(B〕(C)(D)8、的值等于〔A〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、積分〔C〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕積不出二、填空題1、設(shè)，那么=2、設(shè)，那么3、設(shè)，那么=4、設(shè)，那么=5、設(shè)，而，，那么=6、設(shè)，那么7、設(shè)是由與圍成的平面區(qū)域，假設(shè)，那么；假設(shè)積分區(qū)域是，那么=.8、假設(shè)區(qū)域由，圍成，那么二重積分化成先對(duì)，后對(duì)的二次積分為.9、=.10、設(shè)區(qū)域由，所確定，那么=0.11、改換積分的次序=12、化二次積分為極坐標(biāo)的二次積分=高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、求級(jí)數(shù)的和。解：級(jí)數(shù)的局部和，此級(jí)數(shù)的和即.2、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。3、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。4、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。5、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。6、判斷級(jí)數(shù)的斂散性，并求.7、判斷級(jí)數(shù)的斂散性?！布僭O(shè)收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂〕解：由8、判斷級(jí)數(shù)的斂散性。〔假設(shè)收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂〕高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)1、求級(jí)數(shù)的收斂域。求級(jí)數(shù)的收斂域。解：故級(jí)數(shù)收斂半徑為即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散故級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?、求級(jí)數(shù)的收斂域和和函數(shù)。解：由比值判別法可知當(dāng)，即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)或時(shí)，易知級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?；又，逐?xiàng)求導(dǎo)到4、求級(jí)數(shù)的收斂域和和函數(shù)。解：故級(jí)數(shù)收斂半徑為即當(dāng)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)，級(jí)數(shù)為，收斂；故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槎傻?、將函數(shù)展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù)。6、將在點(diǎn)處展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。7、將函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。解：8、將函數(shù)展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)。高等數(shù)學(xué)II練習(xí)題________學(xué)院_______專業(yè)班級(jí)__________學(xué)號(hào)_______級(jí)數(shù)綜合一、選擇題1、假設(shè)級(jí)數(shù)收斂，記，那么〔B〕〔A〕〔B〕存在〔C〕可能不存在〔D〕為單調(diào)數(shù)列2、假設(shè)收斂，那么〔B〕〔A〕與必同時(shí)收斂〔B〕與可能同時(shí)收斂，也可能同時(shí)發(fā)散〔C〕必收斂〔D〕收斂，發(fā)散3、假設(shè)級(jí)數(shù)收斂于，那么收斂于〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4、以下級(jí)數(shù)中，收斂的是〔A〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5、級(jí)數(shù)的收斂圍是(D)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6、以下級(jí)數(shù)中，收斂的是〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕7、在以下級(jí)數(shù)中，發(fā)散的是〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕8、以下級(jí)數(shù)中，收斂的是〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、以下級(jí)數(shù)中發(fā)散的是