關(guān)于幾種行列式的拓展

關(guān)于幾種行列式的拓展

列出公式的計(jì)算方法有很多，通常使用性質(zhì)、展開公式和其他方法進(jìn)行計(jì)算。四階以上的行列式計(jì)算非常復(fù)雜。在這項(xiàng)工作中，我們研究了幾種特殊方法，并通過比較表明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中擴(kuò)展思路的重要性。一、計(jì)算行列方程的一般方法1.nn-133利用行列式的性質(zhì)把原來的行列式化為上(下)三角行列式.根本性質(zhì).上(下)三角行列式的值就是對角線各項(xiàng)的積.例:計(jì)算行列式|A|=|nn-1?321nn-1?331nn-1?521??????n2n-3?3212n-1n-1?321|解:本題可以用三角化的方法,將的第一行乘以(-1)加到第2,3,…,n行,再將其第n,n-1,…,2,1列通過相鄰兩列互換依次調(diào)為第1,2,…,n列,則得|A|=|nn-1?32100?01000?200??????0n-2?000n-10?000|=(-1)n(n-1))2|123?n10?02?0??┋n-1|=(-1)n(n-1))2(n-1)!2.角行列式的降階法求解利用按一行(列)展開定理或Laplace展開定理將n階行列式降為階較小且容易計(jì)算的行列式來計(jì)算行列式的方法稱為降階法.例:計(jì)算|A|=|122?2222?2223?2?????222?n|解:首先我們應(yīng)先考慮|A|能不能化為上(下)三角形式,若將第一行乘以(-2)加到第2,3,…,n行,數(shù)字反而復(fù)雜了,要使行列式盡可能多的出現(xiàn)“0”項(xiàng),將|A|的第一行乘以(-1)加到第2,3,…n行,得|A|=|122?2100?0101?0?????100?n-2|上式仍然不是上(下)三角行列式,這時(shí)我們可以用降階法,注意第二行除了第一項(xiàng)是1,后面的項(xiàng)都是0,我們按第二行展開,得|A|=|22?21?┋?┋n-2|=-2(n-2)!3.dn的一般法通過降階等途徑,建立所求n階行列式|A|和比它低階的但是結(jié)構(gòu)相同的行列式之間的關(guān)系,并求得A的方法叫遞推法.例如課本上的范得蒙行列式的計(jì)算就是應(yīng)用了遞推法.例:計(jì)算范得蒙行列式Dn=|111?1a1a2a3?ana21a22a23?a2n????an-11an-12an-13?an-1n|解:Dn的第i行乘以(-a1)加到第i+1行,i=n-1,n-2,…,1則得Dn=|111?10a2-a1a3-a1?an-a10a2(a2-a1)a3(a3-a1)?an(an-a1)????0an-22(a2-a1)an-23(a3-a1)?an-2n(an-a1)|=(a2-a1)(a3-a1)?(an-a1)|11?1a2a3a3?a22a23?a2n????an-22an-23?an-2n|=(a2-a1)(a3-a1)?(an-a1)Dn-1類似地,則Dn-1=(a3-a2)(a4-a2)…(an-a2)Dn-2依此下去,并注意到Dn-1=|11an-1an|=an-an-1則Dn-1=∏1≤i≤j≤n(aj-ai),其中∏是連乘號.以上幾種方法是我們平常計(jì)算行列式時(shí)所常用的,也是課本介紹過的常規(guī)方法,下面介紹幾種非常規(guī)的解法.1常規(guī)行列式我們學(xué)習(xí)了矩陣的分塊,知道一個(gè)矩陣(A00B)通過分塊若能轉(zhuǎn)化為對角矩陣或下(上)三角矩陣(A0CB),那么行列式|A00B|=|A0CB|=|A|?|B|,其中A,B分別是s,r階可逆矩陣,C是r×s階矩陣,0是s×r階矩陣.可以看出,這樣可以把s+r階行列式的計(jì)算問題,通過矩陣分塊轉(zhuǎn)化為較低階的s階和r階行列式計(jì)算問題,下面先根據(jù)上面的途徑給出計(jì)算公式.設(shè)矩陣其中A,B分別是s階和r階的可逆矩陣,C是r×s階矩陣,D是s×r階矩陣,則有下面公式成立.下面推導(dǎo)公式,事實(shí)上當(dāng)|A|≠0時(shí).有(E0-CA-1E)(ADCB)=(AD0BCA-1D)(E-DB-10E)(ADCB)=(A-DB-1C0CB)上面兩式兩邊同取行列式即可得出上面的公式.例:計(jì)算這道題的常規(guī)解法是將其化為上三角行列式進(jìn)行計(jì)算解法1:若用前面的介紹的公式則可以直接得出結(jié)果.解法2∶則有,由公式(1)知原行列式=|ADCB|=|A|?|B-CA-1D|=|1001|?|(5678)-(1001)(1001)(1234)|=1?|(5678)-(1234)|=|4444|=0這道題還有個(gè)特點(diǎn),那就是A=C,如果我們把公式變形,即解法3∶令A(yù)=(1001),B=(5678),C=(1001),D=(1234).因?yàn)锳=C,所以原行列式這種方法是把行列式看成含有其中的一個(gè)或一些字母的多項(xiàng)式,經(jīng)過變換后,發(fā)現(xiàn)它可被一些線性因子整除,這意味著它也可被這些因子的積所整除,利用這一特性,可求得行列式的值.計(jì)算行列式本題用常規(guī)方法解如下:雖然可以得出結(jié)果,但是過程過于復(fù)雜。如果用分離線性因子法把第2、3、4列都加到第1列上,由多項(xiàng)式整除的概念,有(X+Y+Z)|D,如果第1列加上第2列再減去第3列和第4列(X+Z-X)|D,同樣有,如果第1列加上第3列再減去第2列和第4列有(X+Y-Z)|D,若第1列加上第4列減去第2列和第3列有(X+Y-Z)|D,因?yàn)橐陨线@些整式互素所以有(X+Y+Z)(Y+Z-X)(X+Z-Y)(X+Y-Z)|D,因?yàn)檫@四個(gè)因子的乘積包括帶有的系數(shù)為-1,而行列式本身包含同一項(xiàng)的系數(shù)為+1,所以得出D=-(X+Y+Z)(Y+Z-X)(X+Z-Y)(X+Y-Z)=X4+Y4+Z4-2X2Y2-2Y2Z2-2X2Z2.3范得蒙行列式的dn當(dāng)所求行列式是由幾個(gè)元素組成的,若用曾經(jīng)求解過的行列式作系數(shù)行列式,構(gòu)造一個(gè)n元線性方程組,所求行列式中可作為線性方程組解的組成部分.例:求如果使用常規(guī)的方法,解這道題是非常復(fù)雜的,而且困難的是因?yàn)镈n不是范得蒙行列式,若我們用剛剛介紹的代數(shù)方程組法求解這道題就變得十分容易了,因?yàn)镈n類似于范得蒙行列式,我們構(gòu)造一個(gè)n階的范得蒙行列式D=|11?1a1a2?ana12a22?an2???a1n-1a2n-1?ann-1|=∏1≥i>j≥n(aj-ai)于是當(dāng)ai≠aj時(shí),比值DnD是線性方程組{x1+a1x2+?+a1n-1xn=a1n???x1+a1x2+?+a1n-1xn=a1n的解中的xn值,又這個(gè)方程組tn-xntn-1-…-x2t-x1=D可以看作是(t是未知數(shù))有n個(gè)根:a1,a2…an,于是由高次方程與系數(shù)的關(guān)系有xn=a1+a+a2