四川省眉山市高三高考數(shù)學(xué)三診試卷（理科）

2021年四川省眉山市高考數(shù)學(xué)三診試卷（理科）一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分。1．復(fù)數(shù)＝（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D．+i2．某校高三（1）班有50名學(xué)生，春季運動會上，有15名學(xué)生參加了田賽項目，有20名學(xué)生參加了徑賽項目，已知田賽和徑賽都參加的有8名同學(xué)，則該班學(xué)生中田賽和徑賽都沒有參加的人數(shù)為（）A．27 B．23 C．15 D．73．在△ABC中，角A＜B是sinA＜sinB的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．某部門為了解某平臺“直播帶貨”商品銷售反饋情況，隨機(jī)抽取了A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這8類商品，收集了這幾類商品分別在新規(guī)實施前后的消費者評價得分，繪制成如圖所示的雷達(dá)圖，根據(jù)統(tǒng)計圖判斷，下面的敘述一定不正確的是（）A．新規(guī)實施后，D類商品的評價得分提升幅度最大 B．新規(guī)實施后，H，F(xiàn)類商品的評價得分低于新規(guī)實施前 C．這8類商品評價得分的平均分高于新規(guī)實施前的平均分 D．有7類商品的評價得分高于新規(guī)實施前5．直線l經(jīng)過圓C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0的圓心C，且傾斜角為，則直線l的方程為（）A．x﹣y++1＝0 B．x﹣y﹣﹣1＝0 C．x﹣3y++3＝0 D．x﹣3y﹣﹣3＝06．某四棱臺的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．44+12 B．40+12 C．40+12 D．44+127．已知函數(shù)f（x）＝sin（4x﹣），若將f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后向右平移φ（φ＞0）個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，且函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的最小值是（）A． B． C． D．8．如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成）．現(xiàn)給圖中△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點的區(qū)域）不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是（）A．48 B．54 C．72 D．1089．已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0），給出以下條件：①實軸長為3；②過點（，﹣5）；③漸近線方程為3x±4y＝0；④離心率為．上述條件中，使雙曲線C的方程為﹣＝1的所有條件是（）A．② B．①③ C．②③ D．②③④10．2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒驚天下”的三星堆遺址向世人展示了其重大考古新發(fā)現(xiàn)﹣﹣6個三星堆文化“祭祀坑”現(xiàn)已出土500余件重要文物．為推測文物年代，考古學(xué)者通常用碳14測年法推算，碳14測年法是根據(jù)碳14的衰變程度來計算出樣品的大概年代的一種測量方法.2021年，考古專家對某次考古的文物樣本上提取的遺存材料進(jìn)行碳14年代測定，檢測出碳14的殘留量約為初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間）是5730年，以此推算出該文物大致年代是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．公元前1400年到公元前1300年 B．公元前1300年到公元前1200年 C．公元前1200年到公元前1100年 D．公元前1100年到公元前1000年11．阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內(nèi)到兩定點的距離的比值為常數(shù)λ（λ＞0，λ≠1）的動點的軌跡，已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sinA＝2sinB，acosB+bcosA＝3，則△ABC面積的最大值為（）A．3 B．3 C．6 D．612．若函數(shù)f（x）＝x2ex﹣ax﹣alnx有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，e） B．（0，2e） C．（e，+∞） D．（2e，+∞）二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量＝（t，1），＝（1，2），且|﹣|＝，則實數(shù)t＝．14．計算＝．15．中國古代數(shù)學(xué)家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個面均為直角三角形的四面體為“鱉臑”，如圖所示的鱉臑ABCD中，AB⊥面BCD，CD⊥BC，若CD＝1，AC＝，且頂點A，B，C，D均在球O上，則球O的表面積為．16．已知F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，A是C的準(zhǔn)線上一點，面積為4的等邊△AFB的頂點B恰在拋物線C上，若直線BF與拋物線C的另一個公共點為D，則|BD|＝．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an?Sn＝（Sn﹣1）2．（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式．18．某城市為改善保障性租賃住房的品質(zhì)，對保障性租賃住房進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽取了200名保障性租賃住房的租賃人進(jìn)行問卷調(diào)查，并對租賃房屋的品質(zhì)進(jìn)行滿意度測評，收集整理得到如下2×2列聯(lián)表：30歲及以下30歲以上小計滿意60110不滿意30小計（1）完成上述列聯(lián)表；通過計算判斷是否有90%的把握認(rèn)為租賃人對保障性租賃住房品質(zhì)的滿意程度與年齡段（“30歲及以下”和“30歲以上”）有關(guān)系？（2）現(xiàn)從滿意度評分為“不滿意”的人中按照表中年齡段分層抽取了6名租賃人進(jìn)行座談，若從這6人中隨機(jī)抽取3人給予一定的租賃優(yōu)惠，記“所抽取的3人中年齡在30歲及以下”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：K2＝．P（K2≥k0）0.001k019．如圖1是由正方形ACC1A1和長方形BCC1B1組成的平面圖形，且AC＝2BC＝4，D，E分別是A1C1，BC的中點將其沿CC1折起，使得二面角A﹣CC1﹣B的平面角大小為60°，如圖2，在圖2中，（1）判斷直線C1E與平面ABD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）求直線BC與平面ABD所成角的正弦值．20．已知O為坐標(biāo)原點，A，B分別為橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的右頂點和上頂點，△AOB的面積為1，設(shè)M，N是橢圓C上的兩個動點，且OM⊥ON，當(dāng)|OM|＝|ON|時，|MN|＝．（1）求a，b的值；（2）過O作線段MN的垂線，垂足為H，求?的取值范圍．21．已知f（x）＝ex﹣cosx+ax2﹣x．（1）當(dāng)a＝1時，求f（x）的極值；（2）若f（x）≥（a﹣1）x，求α的值．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知射線l：y＝x（x≥0），曲線C1：（t為參數(shù)）．以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sinθ．（1）寫出射線l的極坐標(biāo)方程以及曲線C1的普通方程；（2）設(shè)射線l與C1交于點M，與C2交于O，N，求|MN|的值．[選修45：不等式選講]23．已知f（x）＝|x+|+|1﹣2x|．（1）解不等式f（x）≤﹣x；（2）令f（x）的最小值為M，正數(shù)a，b滿足a+2b＝M，求證；a2b2+≥．參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)＝（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D．+i解：＝．故選：A．2．某校高三（1）班有50名學(xué)生，春季運動會上，有15名學(xué)生參加了田賽項目，有20名學(xué)生參加了徑賽項目，已知田賽和徑賽都參加的有8名同學(xué)，則該班學(xué)生中田賽和徑賽都沒有參加的人數(shù)為（）A．27 B．23 C．15 D．7解：設(shè)高三（1）班有50名學(xué)生組成的集合為U，參加田賽項目的學(xué)生組成的集合為A，參加徑賽項目的學(xué)生組成的集合為B，由題意可得，集合A中有15個元素，集合B中有20個元素，A∩B中由8個元素，所以A∪B中由15+20﹣8＝27個元素，所以該班學(xué)生中田賽和徑賽都沒有參加的人數(shù)為50﹣27＝23．故選：B．3．在△ABC中，角A＜B是sinA＜sinB的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解：（1）△ABC中，角A＜B：若0＜A＜B≤，根據(jù)y＝sinx在（0，]上單調(diào)遞增得到sinA＜sinB；若0＜A，，∵0＜A+B＜π，∴，所以sinA＜sin（π﹣B）＝sinB；∴角A＜B能得到sinA＜sinB；即A＜B能得到sinA＜sinB；∴角A＜B是sinA＜sinB的充分條件；（2）若sinA＜sinB：A，B∈（0，]時，y＝sinx在上單調(diào)遞增，所以由sinA＜sinB，得到A＜B；A，B時，顯然滿足A＜B；即sinA＜sinB能得到A＜B；∴A＜B是sinA＜sinB的必要條件；綜合（1）（2）得角A＜B，是sinA＜sinB的充要條件．故選：C．4．某部門為了解某平臺“直播帶貨”商品銷售反饋情況，隨機(jī)抽取了A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這8類商品，收集了這幾類商品分別在新規(guī)實施前后的消費者評價得分，繪制成如圖所示的雷達(dá)圖，根據(jù)統(tǒng)計圖判斷，下面的敘述一定不正確的是（）A．新規(guī)實施后，D類商品的評價得分提升幅度最大 B．新規(guī)實施后，H，F(xiàn)類商品的評價得分低于新規(guī)實施前 C．這8類商品評價得分的平均分高于新規(guī)實施前的平均分 D．有7類商品的評價得分高于新規(guī)實施前解：對于A，由雷達(dá)圖可知，D類商品在新規(guī)實施前后的評價得分差最大，故選項A正確；對于B，由雷達(dá)圖可知，新規(guī)實施后，H，F(xiàn)類商品的評價得分低于新規(guī)實施前，故選項B正確；對于C，新規(guī)實施后，除H，F(xiàn)類商品外，其余6類商品的評價得分高于新規(guī)實施前，且增長幅度超過H，F(xiàn)評價得分下降的幅度，則這8類商品評價得分的平均分高于新規(guī)實施前的平均分，故選項C正確；對于D，H，F(xiàn)兩類商品評價得分低于新規(guī)實施前，其余6類商品的評價得分高于新規(guī)實施前，故選項D錯誤．故選：D．5．直線l經(jīng)過圓C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0的圓心C，且傾斜角為，則直線l的方程為（）A．x﹣y++1＝0 B．x﹣y﹣﹣1＝0 C．x﹣3y++3＝0 D．x﹣3y﹣﹣3＝0解：由C：x2+y2﹣2x+2y+1＝0，得（x﹣1）2+（y+1）2＝1，則圓心坐標(biāo)為C（1，﹣1），又直線l的傾斜角為，∴直線l的斜率為tan，則直線l的方程為y+1＝，即．故選：B．6．某四棱臺的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．44+12 B．40+12 C．40+12 D．44+12解：很具幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：四棱臺；如圖所示：所以＝44+12．故選：D．7．已知函數(shù)f（x）＝sin（4x﹣），若將f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后向右平移φ（φ＞0）個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，且函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，則φ的最小值是（）A． B． C． D．解：函數(shù)f（x）＝sin（4x﹣），若將f（x）的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，可得y＝sin（2x﹣）的圖象，然后向右平移φ（φ＞0）個單位長度，得到函數(shù)g（x）＝sin（2x﹣2φ﹣）的圖象，∵函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，∴2φ+＝kπ+，k∈Z，則φ的最小值為，故選：B．8．如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”（由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成）．現(xiàn)給圖中△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點的區(qū)域）不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是（）A．48 B．54 C．72 D．108解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①對于“趙爽弦圖”ABCD，有4種選法，②對于△AEB，有3種選法，對于△AHD，有2種選法，③對于△DCG和△BCF，若△DCG與△AEB選的顏色相同，此時有2種選法，若△DCG與△AEB選的顏色不相同，此時有1種選法，則△DCG和△BCF有2+1＝3種選法則有4×3×2×3＝72種涂色方法；故選：C．9．已知雙曲線C：﹣＝1（a＞0，b＞0），給出以下條件：①實軸長為3；②過點（，﹣5）；③漸近線方程為3x±4y＝0；④離心率為．上述條件中，使雙曲線C的方程為﹣＝1的所有條件是（）A．② B．①③ C．②③ D．②③④解：雙曲線C的方程為﹣＝1，則a＝3，b＝4，c＝，雙曲線的實軸長為2a＝6，故①不正確；把點（，﹣5）代入雙曲線方程，可得，故②正確；雙曲線的漸近線方程為y＝，即3x±4y＝0，故③正確；雙曲線的離心率為e＝，故④不正確．∴使雙曲線C的方程為﹣＝1的所有條件是②③．故選：C．10．2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒驚天下”的三星堆遺址向世人展示了其重大考古新發(fā)現(xiàn)﹣﹣6個三星堆文化“祭祀坑”現(xiàn)已出土500余件重要文物．為推測文物年代，考古學(xué)者通常用碳14測年法推算，碳14測年法是根據(jù)碳14的衰變程度來計算出樣品的大概年代的一種測量方法.2021年，考古專家對某次考古的文物樣本上提取的遺存材料進(jìn)行碳14年代測定，檢測出碳14的殘留量約為初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間）是5730年，以此推算出該文物大致年代是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．公元前1400年到公元前1300年 B．公元前1300年到公元前1200年 C．公元前1200年到公元前1100年 D．公元前1100年到公元前1000年解：設(shè)樣本中碳14初始值為k，衰減率為p，經(jīng)過x年后，殘留量為y，則有y＝k（1﹣p）x，由碳14的半衰期是5730年，則，即，所以，由題意可知，＝68%k，所以≈3188，2021年之間的3188年大致是公元前1167年，則大致年代為公元前1200年到公元前1100年．故選：C．11．阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內(nèi)到兩定點的距離的比值為常數(shù)λ（λ＞0，λ≠1）的動點的軌跡，已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sinA＝2sinB，acosB+bcosA＝3，則△ABC面積的最大值為（）A．3 B．3 C．6 D．6解：法一：因為sinA＝2sinB，所以|BC|＝2|AC|，因為acosB+bcosA＝3，所以由正弦定理可得2R（sinAcosB+cosAsinB）＝3，R為△ABC外接圓的半徑，所以2Rsin（A+B）＝2RsinC＝3，可得c＝3，如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，可得A（0，0），B（3，0），C（x，y），因為|BC|＝2|AC|，所以（x﹣3）2+y2＝4（x2+y2），即（x+1）2+y2＝4，所以y2＝4﹣（x+1）2≤4，y≠0，所以y∈[﹣2，0）∪（0，2]，可得0＜|y|≤2，所以S△ABC＝|AB|?|y|＝?|y|≤3，即△ABC面積的最大值為3．法二：∵acosB+bcosA＝3，∴a?+b?＝3，即+＝3，∴c＝3，∵sinA＝2sinB，由正弦定理可得a＝2b，∵，∴1＜b＜3，由余弦定理可得：cosC＝＝，∴△ABC面積S2＝sin2C＝b4[1﹣（）2]＝9﹣（b2﹣5）2，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)b2＝5即b＝時，面積取得最大值3．故選：A．12．若函數(shù)f（x）＝x2ex﹣ax﹣alnx有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，e） B．（0，2e） C．（e，+∞） D．（2e，+∞）解：，令t＝x+2lnx（x＞0），易知函數(shù)t（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且t∈（﹣∞，+∞），則原問題等價于有兩個零點，，當(dāng)a≤0時，f′（t）＞0，f（t）在R上單調(diào)遞增，f（t）至多有一個零點，不合題意；當(dāng)a＞0時，易知函數(shù)f（t）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，解得a＞2e，又當(dāng)t→﹣∞時，f（t）→+∞，t→+∞時，f（t）→+∞，∴f（t）在，各存在一個零點，符合題意．綜上，a＞2e．故選：D．二.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量＝（t，1），＝（1，2），且|﹣|＝，則實數(shù)t＝0或2．解：根據(jù)題意，向量＝（t，1），＝（1，2），則﹣＝（t﹣1，﹣1），若|﹣|＝，則（t﹣1）2+1＝2，解可得t＝0或2，故t＝0或2，故答案為：0或2．14．計算＝2．解：＝．故答案為：2．15．中國古代數(shù)學(xué)家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個面均為直角三角形的四面體為“鱉臑”，如圖所示的鱉臑ABCD中，AB⊥面BCD，CD⊥BC，若CD＝1，AC＝，且頂點A，B，C，D均在球O上，則球O的表面積為6π．解：由題意可知，球O為鱉臑ABCD的外接球，因為AB⊥平面BCD，BD，CD?平面BCD，所以AB⊥BD，AB⊥CD，又CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，所以CD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，所以CD⊥AC，取AD的中點E，連結(jié)BE，DE，因為AB⊥BC，所以BE＝AE＝DE，同理可得，CE＝AE＝DE，故點E與球O的球心O重合，則球O的半徑R＝＝，所以球O的表面積為＝6π．故答案為：6π．16．已知F是拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點，A是C的準(zhǔn)線上一點，面積為4的等邊△AFB的頂點B恰在拋物線C上，若直線BF與拋物線C的另一個公共點為D，則|BD|＝．解：因為△AFB為等邊三角形，所以|BF|＝|AB|，又由拋物線的定義可知，|BF|等于點B到拋物線l的距離，所以BA⊥l，所以BA∥x軸，因為S△AFB＝|AF|2sin＝|AF|2＝4，所以|AF|＝4，因為BA∥x軸，所以∠AFO＝∠BAF＝，所以cos∠AFO＝cos＝＝，解得p＝2．所以拋物線方程為y2＝4x，過點D作DG⊥x軸于G，設(shè)|DF|＝m，且∠DFG＝，所以|FG|＝，|DG|＝m，故點D的坐標(biāo)為（1﹣，﹣m），將D代入拋物線y2＝4x，得m2＝4（1﹣），解得m＝，所以|BD|＝|DF|+|BF|＝+4＝．故答案為：．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an?Sn＝（Sn﹣1）2．（1）證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項公式．解：（1）證明：∵an?Sn＝（Sn﹣1）2，∴n≥2時，（Sn﹣Sn﹣1）Sn＝（Sn﹣1）2，化為：﹣Sn﹣1Sn＝﹣2Sn+1，∴Sn﹣1＝2﹣，∴﹣＝﹣＝﹣＝﹣1，∴數(shù)列{}為等差數(shù)列，公差為﹣1．（2）解：由an?Sn＝（Sn﹣1）2，n＝1時，＝，解得a1＝．由（1）可得：＝﹣（n﹣1）＝﹣1﹣n，∴Sn＝．∴n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＝．n＝1時，上式也成立．∴an＝．18．某城市為改善保障性租賃住房的品質(zhì)，對保障性租賃住房進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽取了200名保障性租賃住房的租賃人進(jìn)行問卷調(diào)查，并對租賃房屋的品質(zhì)進(jìn)行滿意度測評，收集整理得到如下2×2列聯(lián)表：30歲及以下30歲以上小計滿意60110不滿意30小計（1）完成上述列聯(lián)表；通過計算判斷是否有90%的把握認(rèn)為租賃人對保障性租賃住房品質(zhì)的滿意程度與年齡段（“30歲及以下”和“30歲以上”）有關(guān)系？（2）現(xiàn)從滿意度評分為“不滿意”的人中按照表中年齡段分層抽取了6名租賃人進(jìn)行座談，若從這6人中隨機(jī)抽取3人給予一定的租賃優(yōu)惠，記“所抽取的3人中年齡在30歲及以下”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．附表及公式：K2＝．P（K2≥k0）k0解：（1）列聯(lián)表如下：30歲及以下30歲以上合計滿意6050110不滿意603090合計12080200由題意可得K2＝＞2.706，所以有90%的把握認(rèn)為租賃人對保障性租賃住房品質(zhì)的滿意程度與年齡段有關(guān)系；（2）所抽取的6人紅，30歲及以下的有4人，30歲以上的有2人，所以ξ的可能取值為1，2，3，則P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列為：ξ123P故E（ξ）＝1×+2×+3×＝2．19．如圖1是由正方形ACC1A1和長方形BCC1B1組成的平面圖形，且AC＝2BC＝4，D，E分別是A1C1，BC的中點將其沿CC1折起，使得二面角A﹣CC1﹣B的平面角大小為60°，如圖2，在圖2中，（1）判斷直線C1E與平面ABD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）求直線BC與平面ABD所成角的正弦值．解：（1）C1E∥平面ABD，證明如下：取AB得中點N，連結(jié)EN，DN，因為N，M分別為AB，BC的中點，所以NE∥AC且NE＝AC，因為四邊形ACC1A1是正方形，D是A1C1的中點，所以DC1∥AC且DC1＝，所以DC1∥NE，且DC＝NE，則四邊形NEC1D是平行四邊形，所以C1E∥DN，因為C1E?平面ABD，DN?平面ABD，所以CE1∥平面ABD；（2）由題意可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，所以∠ACB即為二面角A﹣CC1﹣B的平面角，即∠ACB＝60°，在△ABC中，因為AC＝4，BC＝2，∠ACB＝60°，則由余弦定理可得，AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB＝12，所以AB＝，因為AB2+BC2＝AC2，所以AB⊥BC，因為CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC∩BC＝C，AC，BC?平面ABC，所以CC1⊥平面ABC，因為BB1∥CC1，所以BB1⊥平面ABC，以點B為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以，設(shè)平面ABD的法向量為，則有，令x＝4，則y＝0，z＝﹣1，故，所以＝，故直線BC與平面ABD所成角的正弦值為．20．已知O為坐標(biāo)原點，A，B分別為橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的右頂點和上頂點，△AOB的面積為1，設(shè)M，N是橢圓C上的兩個動點，且OM⊥ON，當(dāng)|OM|＝|ON|時，|MN|＝．（1）求a，b的值；（2）過O作線段MN的垂線，垂足為H，求?的取值范圍．解：（1）因為△OAB的面積為1，所以ab＝2，由對稱性，當(dāng)OM⊥ON，|OM|＝|ON|時，點M，N在直線y＝±x上，而，不妨取，代入+＝1，可得，解得a＝2，b＝1；（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為y＝kx+m，聯(lián)立方程組，可得（1+4k2）x2﹣18kmx+4m2﹣4＝0，①，由OM⊥ON，可得x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，將①式代入上式，化簡整理可得5m2＝4k2+4，所以原點到直線的距離，故點H在圓O：上運動，當(dāng)直線MN的斜率不存在時，由（1）可知，點H仍在圓O：上運動，記線段AB的中點為D，，注意到直線AB與圓O：相切，則＝，因為＝，故，所以?的取值范圍為．21．已知f（x）＝ex﹣cosx+ax2﹣x．（1）當(dāng)a＝1時，求f（x）的極值；（2）若f（x）≥（a﹣1）x，求α的值．解：（1）當(dāng)a＝1時，f（x）＝ex﹣cosx+x2﹣x，則f′（x）＝ex+sinx+2x﹣1，f''（x）＝ex+cosx+2＞0，∴f′（x）在R上單調(diào)遞增，又f′（0）＝0，則當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，f（x）單減，當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，f（x）單增，∴f（x）在x＝0處取得極小值f（0）＝0；（2）f（x）≥（a﹣1）x即為ex﹣cosx+ax2﹣ax≥0，設(shè)g（x）＝ex﹣cosx+ax2﹣ax，則g′（x）＝ex+sinx+2ax﹣a，g''（x）＝ex