北京第十八中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)51平面向量的數(shù)量積(或內(nèi)積)教學(xué)案(教師版)

教案51平面向量的數(shù)量積（或內(nèi)積）一、課前檢測.（北京市東城區(qū)08年高三）已知RtAABC的斜邊BC=5,則瓦?前+?包+與?荏的值等于.答案：一25。.（湖北省荊門市08屆上期末）如圖，在AABC中,BD=1DC,AE=3ED,若AB=A2At=b,則BE=()AI 1TA.—a+—b3 31一17B.——a+—b2 41 17C.—a+—b2 41 17D.——a+—b3 3二、知識梳理.向量的夾角：如下圖，已知兩個非零向量a和B,作OA=A,OB=B,則NAOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量B與B的夾角，記作〈B,B〉∈[0,兀]。注意：必須把兩向量平移到共起點。解讀:.數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量B和B，它們的夾角為θ,則數(shù)量1B1|B|cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作B?B，即B?B=|B1|b∣cosθ.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.注意：B?B=0,0?B=b,a+（-a）=0。解讀：.數(shù)量積的幾何意義：①|(zhì)a|cos〈a,B〉叫做a在B方向上的投影；|B|cos〈a,B〉叫做B在B方向上的投影；②B?B的幾何意義：B?B等于|B1與B在B方向上的投影|B|cos〈B，B〉乘積或等于1B1與B在B方向上的投影|B|cos〈B，B〉乘積。解讀:.數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)B是單位向量，〈B，B>=θBB?B=B?B=|B|cosθ.與B同向的單位向量的求法：B=?。平行的單位向量呢?Ba「二 fCBB L 八a?ba在b方向上的投影為：acosθ；B在a方向上的投影|b∣cosθ=^∈RoIaI3)當(dāng)B與B同向時，B?B=|B1|B|；當(dāng)B與B反向時，B?B=一|B1|B|,特別地，IB?B=|B12,或|B|=\:B2.、-2 -2a=a.L、T曰a=√a-k→ —?—a±boa?b=0.a?bcosθ= .?a??b?①為銳角Oa?b〉0,a,b不同向；Ia,b〉為直角oa?b=0；{a,&為鈍角→ → ff。a?b<0,a,b不反向.②B〃BOB?B=IBi?IBi或B?B=-IBi?IBiOB=λB(B≠0,λ惟一確定)|B?B|<|b1|B|.解讀：5.數(shù)量積的運算法則(運算律)?a?β=β?a@(a+B)?c≠a?c+B?c@(λa)?β=λ(a?E)=a?(入E)注意：i)數(shù)量積不滿足結(jié)合律(A?B)?3≠A?(B?3)2)已知向量通二Z和軸/,己是/上與/同方向的單位向量，作點A在/上的射影4,作點B在I上的射影B，,則叫做向量存在軸I上或在。上的正射影.可以證明W的長度IArBfI=IAB?cos<a,e>=?a?e?.3)數(shù)量積的物理意義一一力作功：一個物體在力下的作用下產(chǎn)生位移s,那么力不所作的功W=IRlI[∣cosθ,其中θ是下與1的夾角，從而W=F?[.解讀：三、典型例題分析例1已知1〉=4,|/=5,且[與/；的夾角為60°,求：(2l+3Q?(31-2b).解：(2a+3b)(3a—2b)=-4變式訓(xùn)練1已知|αl=3,∣bl=4,∣a+b1=5,求|2a-3bI的值.解：6√5變式訓(xùn)練2若向量a與b的夾角為60°,∣b∣=4,(a+2b)?(a-3b)=-72,則向量a的模是(C)A.2 B.4 C.6 D.12解析：(a+2b)?(a-3b)=∣a∣2-∣a∣∣b∣cos60°-6∣b∣2=∣a∣2-2∣a∣-96=-72,Λ∣a∣2-2∣a∣-24=0.Λ(∣a∣-6)?(∣a∣+4)=0.Λ∣a∣=6.小結(jié)與拓展：例2如圖，在等腰直角ΔABC中，NC=90°,∣AB∣=2√5. ? ?- ? * L ? ?求(1)AC?AB的值；(2)CA?AB的值；(3)BC?(CA+AB).變式訓(xùn)練3在^ABC中，a=5,b=8,C=60。，則BC?CA的值為（）A.20B.-20C.20√3 D.-20v-3答案：B變式訓(xùn)練4已知ΔABC中A：B?BC>0,則ΔABC為（C）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定小結(jié)與拓展：例3已知|才|二五，|B|=3,1和B夾角為45。，求當(dāng)向量才+λB與λ1+8夾角為銳角時，λ的取值范圍。答案：λ<11-Y'85,或λ>-11+“85?λ≠16 6變式訓(xùn)練5 已知|2|=10,力|=12，且（3a）-（1b）=—36,則a與b的夾角是（B）5A.60° B.120° C.135° D.150°解析：由（3a）?（1b）=-36得a?b=-60.5.?.cos〈a,b〉a?b -60 _1?a??b?10X12 2又0°≤<a,b>≤180°,.?.<a,b〉=120°.變式訓(xùn)練6.若向量C垂直于向量a和b,d=λa+μb（λ?μ∈R，且λμ≠0），則（B）A.c〃dB.c⊥d C.c不平行于d,也不垂直于d D.以上三種情況均有可能解析：?.'c⊥a,c⊥b