第2講倍數(shù)與因數(shù)最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)-五年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)同步精講精練(西師大版)

第二講倍數(shù)與因數(shù)(最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)(1))【知識(shí)概述】aba如果一個(gè)非零自然數(shù)能被非零自然數(shù)整除,我們就可以說(shuō)是b的倍數(shù),b是a的因數(shù)。幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)稱為這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中除零以外的最小的一個(gè)大于零的公倍數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的,]表示、46,]=12,abab的最小公倍數(shù),例如[最小公倍數(shù)。一般用[[,,6812]=24。幾個(gè)自然數(shù)公有的因數(shù),叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)。公因數(shù)中最,)表示、abab的最大的一個(gè)數(shù),稱為這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。一般用(,),(,,)。若(,),稱69=36812=2=1aba與b互質(zhì)。大公因數(shù)。如(例題精學(xué)、、302442例1五年級(jí)三個(gè)班分別有人參加課外科技活動(dòng),現(xiàn)在要把參加的人分成人數(shù)相等的小組,且各班同學(xué)不能打亂,那么每組最多多少人?此時(shí)一共可以分成多少個(gè)小組?【思路點(diǎn)撥】第一個(gè)班有30人參加活動(dòng),要把這30人分成人數(shù)相等的小組,那么每組的人數(shù)必須是30的因數(shù)。同樣道理,第二、三班每組的人數(shù)也應(yīng)該是24和42的因數(shù)。那么要想每組人數(shù)盡量多,所以每組人數(shù)、、302442必須是的最大公因數(shù)。而30=2×3×524=23×342=2×3×7所以(302442,,)=2×3=6,每組最多應(yīng)有6人。137同步精練1.求(180840150,,)。2.某廠召開(kāi)職工代表大會(huì),三個(gè)車間分別有32人、40人、24人參加?，F(xiàn)在大會(huì)要編成若干組進(jìn)行討論交流,編組時(shí)各車間人員不打亂而且每組人數(shù)要相等,每組最多有幾人?要編成多少組?3.有336個(gè)蘋(píng)果、252個(gè)梨子、210個(gè)桔子,用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物?在每份禮物中,三種水果各有多少個(gè)?138例2有一種長(zhǎng)16厘米、寬12厘米的塑料扣板,如果用這種扣板拼成一個(gè)正方形,最少需要多少塊?【思路點(diǎn)撥】用若干塊這樣的扣板拼成一個(gè)正方形后,這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的厘米數(shù)應(yīng)該是長(zhǎng)方形長(zhǎng)的厘米數(shù)的倍數(shù),也是長(zhǎng)方形寬的厘米數(shù)的倍數(shù)。從而,正方形邊長(zhǎng)的厘米數(shù)就是長(zhǎng)和寬厘米數(shù)的公倍數(shù),要使用的長(zhǎng)1612,]=方形扣板塊數(shù)最少,邊長(zhǎng)應(yīng)是長(zhǎng)與寬厘米數(shù)的最小公倍數(shù),即[48(厘米)。同步精練,,1.求5636284的最小公倍數(shù)。2.三個(gè)人繞環(huán)行跑道練習(xí)騎自行車,他們騎一圈的時(shí)間分別是半分鐘、45秒和1分15秒。三人同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā),最少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能再次同時(shí)在起點(diǎn)相會(huì)?3.晨風(fēng)機(jī)械廠加工一批機(jī)器零件,要經(jīng)過(guò)三道工序。第一道工序每人每小時(shí)做18件;第二道工序每人每小時(shí)做12件;第三道工序每人每小時(shí)做24件。各道工序上最少應(yīng)安排多少人,才能使生產(chǎn)順利進(jìn)行(不在某道工序上出現(xiàn)積壓或等待)?139例3甲對(duì)乙說(shuō):“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍,過(guò)幾年是你的6倍,再過(guò)若干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍?！痹嚽蟪黾?、乙現(xiàn)在的年齡?！舅悸伏c(diǎn)撥】甲和乙的年齡變化時(shí),他們的年齡差始終不會(huì)改變。甲現(xiàn)在的年齡是乙的7倍,說(shuō)明他們的年齡差是6的倍數(shù);同理,他們的年齡差也是,,,的倍數(shù)。由此可見(jiàn),甲、乙的年齡差是65,,,,432的公倍5432數(shù)。[65432,,,,]=60,說(shuō)明甲、乙的年齡差應(yīng)是60的整數(shù)倍,考慮到年齡的實(shí)際情況,甲和乙的年齡差應(yīng)是60歲。同步精練1.有一個(gè)鐘,每走9分鐘亮一次燈,每到整點(diǎn)時(shí)響一次鈴。中午12點(diǎn)時(shí),既響鈴又亮燈。問(wèn):下一次既響鈴又亮燈是幾點(diǎn)鐘?2.一段長(zhǎng)90厘米的繩子,每隔2厘米點(diǎn)一個(gè)點(diǎn),再每隔3厘米點(diǎn)一個(gè)點(diǎn),最后在有點(diǎn)的地方將繩子剪斷,共剪成了多少段?3.有兩個(gè)相互嚙合的齒輪,小齒輪有200個(gè)齒,大齒輪有300齒,當(dāng)小齒輪比大齒輪多轉(zhuǎn)15轉(zhuǎn)時(shí),大、小齒輪各轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)?140例4寫(xiě)出三個(gè)小于20的自然數(shù),它們的最大公因數(shù)為1,但兩兩均不互質(zhì),共有幾組?【思路點(diǎn)撥】這三個(gè)數(shù)兩兩均不互質(zhì),所以每?jī)蓚€(gè)數(shù)的最大公因數(shù)都大于1,每?jī)蓚€(gè)都有公共的質(zhì)因數(shù)。設(shè)p是第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù),qr是第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù),是第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。,所以、、由于三個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是1pqr各不相同,第一個(gè)數(shù)被prpqqr整除,第二個(gè)數(shù)被整除,第三個(gè)數(shù)被整除。,所以、、,,(2353×7已經(jīng)大于20),只能是、、;、、。這三個(gè)數(shù)都小于20,,10=2×56=2×315=3×5或101215101815pqr三個(gè)數(shù)是同步精練,,,這個(gè)數(shù)最大是多少?1.用一個(gè)數(shù)去除都余3161761,,,2.6789能同時(shí)被整除的五位數(shù)有多少個(gè)?3.在被除數(shù)小于100的條件下,在方格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。=4……4ì???÷=5……5í?=6……6??141練習(xí)卷1.求[607590,,];(483684,,)。2.把一張長(zhǎng)120厘米、寬80厘米的長(zhǎng)方形紙裁成同樣大小的正方形紙(紙不能有剩余),至少能裁成多少?gòu)?3.育才中學(xué)初一(3)班有男同學(xué)27人,女同學(xué)18人,全班同學(xué)去劃船(每條船不超過(guò)6人),要保證每條船上男、女同學(xué)都分別相等,至少應(yīng)該租幾條船?4.有一種地板磚,長(zhǎng)20厘米,寬15厘米,至少需要多少塊這樣的地磚才能拼成一個(gè)實(shí)心的正方形?1425.小紅、小明和小李三名同學(xué)沿環(huán)形跑道跑步,小紅跑完一圈需6分鐘,小明跑完一圈需4分鐘,小李跑完一圈需7分鐘,三人同時(shí)從地同AA向出發(fā),幾分鐘后,三人又會(huì)在地相會(huì)?6.一條路長(zhǎng)96米,從一端起,在一側(cè)每隔4米栽一棵松樹(shù)(兩端都栽)。現(xiàn)在再每隔6米栽一棵柏樹(shù),已栽上松樹(shù)的地方就不再栽柏樹(shù),這條路上一共需栽多少棵樹(shù)?7.一箱雞蛋,四個(gè)四個(gè)數(shù)多3個(gè),五個(gè)五個(gè)數(shù)多4個(gè),七個(gè)七個(gè)數(shù)多6個(gè),這箱雞蛋至少有多少個(gè)?1438.有一個(gè)班的同學(xué)包車旅游,如果增加一輛車,正好每輛車坐10人,如果減少一輛車,正好每輛車坐15個(gè),這個(gè)班共有多少人?,,,12162428整除的數(shù)有多少個(gè)?9.在1000~10000之間,能同時(shí)被10.從0~9這9個(gè)數(shù)字中選出四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù),使它能被3,5,,711整除,這四個(gè)數(shù)最大是多少?144次數(shù)之和是1+1=2。故知,不管是多少人參加象棋比賽,也不管比賽了多少盤,所有參加比賽的人比賽盤數(shù)之和都是2的倍數(shù),即為偶數(shù)。但6+5+6+4+3+2+5=31是個(gè)奇數(shù),故知統(tǒng)計(jì)員肯定統(tǒng)計(jì)錯(cuò)了。9.根據(jù)“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù),奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”及第一個(gè)數(shù)4是偶數(shù),第二個(gè)數(shù)5是奇數(shù),按照這列數(shù)的組成規(guī)律知,這列數(shù)的奇偶性依次為:偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、……可見(jiàn),這列數(shù)的排列規(guī)律是以3個(gè)數(shù)為一組,其中第一個(gè)是偶數(shù),后兩個(gè)是奇數(shù)。1000÷3=333……1333+1=334(個(gè))故知這列數(shù)前1000個(gè)數(shù)(含1000)中偶數(shù)有334個(gè)。10.分析:設(shè)某個(gè)五位數(shù)為abcde,它改變數(shù)字順序得到新的五位數(shù)是abcdebcde。如果+abcdea111111111199999,9,所以e+e=18<19,所以個(gè)位相加不可能進(jìn)位,即e+,,,,又因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)只是五個(gè)數(shù)ee因?yàn)?最大只能是1,同理e=9d+d=9c+c=9b+b=9a+a=911111字調(diào)換順序,因此2×abcde=abcde)+(a+b+c+d+e)=9+9+9()(++++++++11111+9+9=45++++)是偶數(shù),而45顯然2×(abcde是奇數(shù),因?yàn)槠鏀?shù)≠偶數(shù),所以這兩個(gè)數(shù)的和不能是99999。解:如果兩數(shù)的和為99999,各位數(shù)相加必沒(méi)有向前進(jìn)位,又因?yàn)檫@兩個(gè)五位數(shù)只是五個(gè)數(shù)字的順序不同,因此這兩個(gè)五位數(shù)的各位數(shù)字和一定是偶數(shù),而9+9+9+9+9=45是奇數(shù),奇數(shù)≠偶數(shù),所以這兩個(gè)數(shù)的和不可能是99999。第二講倍數(shù)與因數(shù)(最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)(1))例1(302442=6,,),(30+24+42÷6=16)(組)。答:每組最多6人,一共可以分成16組。[同步精練],,,(,,)1.180=2×3×5840=2×3×5×7150=2×3×5180840150=2×3×22325=30。(,,),(2.324024=832+40+24)÷8=12(組)。答:每組最多有8人,要編成12組。2933.336252210(,,)=42(份),336÷42=8(個(gè)),252÷42=6(個(gè)),210÷42=5(個(gè))。答:最多可以分成42份同樣的禮物,在每份禮物中蘋(píng)果有8個(gè),梨子有6個(gè),桔子有5個(gè)。例2[1612,]=48(厘米),(48÷16)×(48÷12)=3×4=12(塊)。答:至少需要12塊。[同步精練][,,]1.5636284=357842.304575=450[,,](秒)=7分30秒。答:三人最少需要7分30秒才能再次同時(shí)在起點(diǎn)相會(huì)。3.182412=72[,,],第一道工序要安排72÷18=4(人),第二道工序應(yīng)安排72÷12=6(人),第三道工序應(yīng)安排72÷24=3(人)。例3[,,,,]65432=6060÷,(7-1=10)(歲),10×7=70(歲)。答:甲現(xiàn)在70歲,乙現(xiàn)在10歲。[同步精練]1.960=180[,](分)=3(時(shí))。答:下一次既響鈴又亮燈是下午3時(shí)。2.90÷2=45(段),90÷3=30(段),[,]23=6(厘米),90÷6=15(段),45+30-15=60(段)。答:共可剪成60段。3.200300=600600÷200=3(轉(zhuǎn)),600÷300=2(轉(zhuǎn)),3-2=1(轉(zhuǎn)),3×[,](齒),()(轉(zhuǎn)),(轉(zhuǎn))。答:大齒輪轉(zhuǎn)了30轉(zhuǎn),小齒輪轉(zhuǎn)了45轉(zhuǎn)。15÷1=4545-15=30、、、、、、4106151012151018153例或或共組。[同步精練]1.這個(gè)數(shù)是31-1=3061-1=6076-1=75的最大公因數(shù)15。,,[,,,]。共,,,2.6789=504504×20=10080504×198=99792198-20+1=179有179個(gè)。3.60÷14=4……460÷11=5,……560÷9=6,……6練習(xí)卷[,,],(,,)1.607590=900483684=122.12080=40120÷40×80÷40=3×2=6(張)。答:至少能裁6張。(,),()()(,)(條)。答:至少要租9條船。3.2718=94.2015=60[,](厘米),(60÷20×)(60÷15=12)(塊)。答:至少要12塊才能拼成一個(gè)實(shí)心的正方形。5.647=84[,,](分)。答:84分鐘后,三人又會(huì)在A地相會(huì)。6.96÷4+1=25(棵),[,]46=1296÷6-96÷12=8,(棵),25+8=33(棵)。答:294這條路上一共需栽33棵樹(shù)。7.457[,,]=140(個(gè)),140-1=139(個(gè))。答:這箱雞蛋至少有139個(gè)。[,](人),(輛),(輛),()(),8.1015=3030÷10=330÷15=21+1÷3-2=230×2=60(人)。答:這個(gè)班共60人。[,,,],(個(gè))。,,9.12162428=336336×3=1008336×29=974429-3+1=27答:共有27個(gè)。[,,,],。答:這個(gè)四位數(shù)最大是9240。10.35711=11551155×8=9240第三講倍數(shù)與因數(shù)(最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)(2))例14×252÷28=36,答:另一個(gè)數(shù)是36。[同步精練]1.4×168÷24=28。答:另一個(gè)數(shù)是28。2.90÷6=15=3×55×6=303×6=18,,。答:這兩個(gè)數(shù)是。1830和3.6435=3×3×5×11×13。答:最大的奇數(shù)是13。例235-15=20或45-5=40。答:這兩個(gè)數(shù)的差是。2040或[同步精練]1.設(shè)這兩個(gè)數(shù)為7a7bab7a+7b=56a+b=8a=1b=7或a=3,,(,,,與互質(zhì)),b=5。這兩個(gè)數(shù)為7和49或21和35。,(,,,2.設(shè)這兩個(gè)數(shù)為31a31bab31a×31b=5766a×b=6a=1b=6與互質(zhì)),或a=2b=3,,這兩個(gè)數(shù)為31和186或62和93。,(,,,3.設(shè)這兩個(gè)數(shù)為7a7bab7a+7b=70a+b=10a=1b=9或a=與互質(zhì)),,,,,這兩個(gè)數(shù)的差為。3b7×9-7×1=567×7-7×3=285628或=7例321+126=147或42+63=105,這兩個(gè)數(shù)的和是147或105。[同步精練],(?；?jiǎn)得,1.設(shè)這兩個(gè)數(shù)為7a7bab7a+7b=777a×7b=7×210與互質(zhì)),a+b=11a×b=30a=5b=6,,